АЛГЕБРА
§ 21. Числовые последовательности
212. Понятие о пределе последовательности.
Число b называется пределом последовательности (àn), если, какое бы положительное число e ни взять,
найдется номер N, начиная с которого (т. е. при n ³ N )
отличие àn |
îò b по модулю будет меньше e, |
ò. å. |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
a - b |
< e. |
lim a |
èëè |
|
В этом случае пишут: lim an ==0.b, |
|
n |
|
n |
|
|
|
|
n ® ¥. |
|
|
|
|
|
|
|
|
n®¥ n |
|
an ® b ïðè n ® ¥. Говорят, что последовательность
(àn) сходится ê b.
Геометрический смысл предела последовательности: åñëè b — предел последовательности (àn), òî,
какую бы окрестность точки b ни выбрать, вся последовательность, начиная с некоторого номера N, будет изображаться точками, лежащими в этой окрест-
ности; окрестность точки b — это интервал с центром в точке b .
Ï ð è ì å ð. à) 1, 1 , 1 , 1 ,..., 1 ,... . Чем больше
2 3 4 n
номер члена последовательности, тем меньше этот член отличается от числа 0. Эта последовательность
сходится, ее предел равен нулю, т. е. lim 1 = 0.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n®¥ n |
|
á) |
1 |
, |
1 |
, |
1 |
,..., |
1 |
,... . Эта последовательность |
|
|
|
|
3 |
32 |
33 |
3n |
сходится, ее предел равен нулю, т. е. lim |
1 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n®¥ 3n |
|
в) 2, 0, 3, 2, 0, 3, 2, 0, 3, ... . Эта последовательность не имеет предела.