D = 0,
АЛГЕБРА
§ 16. Системы уравнений
10. Если определитель системы D = |
a11 |
a12 |
¹ 0, |
|
a21 |
a22 |
|
то система (1) имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:
x = |
b2 a22 |
= |
D |
|
, y = |
a1221 b2 |
= |
Dy |
(2) |
D |
D |
D |
D . |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
Здесь Dx è Dy — определители, получающиеся из определителя системы D заменой столбцов коэффициентов при соответствующем неизвестном столбцом свободных членов.
20. Åñëè íî Dx ¹ 0 (èëè Dy ¹ 0 ), то система (1) не имеет решений (система несовместная).
30. Åñëè D = Dx = Dy = 0, то система (1) имеет
бесконечное множество решений (система неопределенная).
П р и м е р. Решить систему уравнений:
ì5x - 2y = 7, |
|
ì5x - 2y = 4, |
à) í |
á) |
í |
î10x + 7y = 3; |
|
î35x - 14y = 200; |
ì0,2x + 3,1y = -2,3, â) í
îx + 15,5y = -11,5.
q а) Находим определитель системы:
D = 5 - 2 = 35 + 20 = 55. 10 7
АЛГЕБРА
Раздел IV. УРАВНЕНИЯ
Заменив теперь в нем первый столбец столбцом свободных членов, получим
Dx = 7 - 2 = 49 + 6 = 55.
37
Аналогично имеем
Dy = 5 7 = 15 - 70 = -55. 10 3
Теперь по формуле (2) находим x = 55 = 1, y =
55
= -55 = -1, т. е. (1; –1) — решение системы. Гео-
55
метрически это означает, что прямые, задающие уравнения системы, пересекаются в точке (1; –1).
б) Найдем определитель системы:
D = 5 - 2 = -70 + 70 = 0. 35 - 14
Теперь вычислим Dx; имеем
Dx |
= |
4 |
- 2 |
= -56 + 400 ¹ 0. |
|
|
200 |
- 14 |
|
Отсюда следует, что система несовместна. Этот вывод можно было сделать без помощи определителей, если заметить, что в данной системе коэффициенты при õ è ó пропорциональны, а свободные члены им не пропорциональны: 5 : 35 = (–2) : ( –14) ¹ ¹ 4 : 200. Геометрически это означает, что данные прямые параллельны.
в) Имеем
D = 0,2 3,1 = 3,1 - 3,1 = 0.
115,5
АЛГЕБРА
§ 16. Системы уравнений
Далее находим
Dx |
= |
- 2,3 |
3,1 |
|
= -35,65 + 35,65 = 0, |
|
|
- 11,5 |
15,5 |
|
|
|
Dy = |
|
0,2 |
- 2,3 |
|
|
|
= -2,3 + 2,3 = 0. |
|
|
|
|
1 |
- 11,5 |
|
Значит, система является неопределенной (это видно и из того, что все коэффициенты системы пропорциональны: второе уравнение системы получается из первого умножением на 5). Геометрически это означает, что данные прямые совпадают. n
175. Симметрические системы. Многочлен
P (x, y) называется симметрическим, если при замене õ íà ó è ó íà õ выражение P (x, y) не изменяет-
ся. Например, многочлены P1 (x, y) = x3 + 3xy + y3 è
P2 (x, y) = x2 + y2 + 4x + 4y являются симметрическими.
Система уравнений называется симметрической, если оба ее уравнения — симметрические. Симметрическую систему можно решить методом замены переменных, если в качестве новых переменных выбрать основные симметрические многочлены, ò. å.
õ+ ó è õó.
Ïр и м е р. Решить систему уравнений
ì |
3 |
+ x |
3 |
y |
3 |
+ y |
3 |
= 17, |
ïx |
|
|
|
|
í |
+ xy |
+ y = 5. |
|
ïx |
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
q Это — симметрическая система. Положим õ + |
+ ó = è, õó = v. Òàê êàê |
|
x3 + y3 = (x + y) (x2 - |
- xy + y2) = (x + y) ((x + y)2 - 3xy) = u (u2 - 3v) = u3 -
|
|
|
|
|
АЛГЕБРА |
|
|
|
|
Раздел IV. УРАВНЕНИЯ |
-3uv, то заданная система примет вид |
ì |
3 |
- 3uv |
+ v |
3 |
= 17, |
ïu |
|
|
í |
|
|
|
|
|
îïu |
+ v = 5. |
|
|
Из этой системы, которую легко решить методом |
подстановки, находим |
u1 = 3, v1 = 2 è u2 = 2, |
v2 = 3.
Остается решить совокупность систем
ìx + y = |
3, |
ìx + y = |
2, |
í |
|
í |
|
îxy = 2; |
|
îxy = 3. |
|
Первая имеет решения (1; 2) и (2; 1), а вторая не имеет решений. Итак, (1; 2), (2; 1) — решения данной системы. n
176. Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными. Чтобы графически ре-
шить систему двух уравнений с двумя переменными, нужно в одной системе координат построить графики уравнений и найти координаты точек пересе- чения этих графиков.
П р и м е р. Решить графически систему уравнений
ïxy = 12.
î
q Графиком уравнения x2 + y2 = 25 является ок-
ружность с центром в начале координат и радиусом, равным 5. Графиком уравнения õó = 12 ÿâëÿ-
АЛГЕБРА
§ 16. Системы уравнений
Ðèñ. 75
ется гипербола y = 12 (см. п. 75). Построив графи- x
ки в одной системе координат (рис. 75), найдем координаты точек пересечения окружности и гиперболы: À (4; 3), Â (3; 4), Ñ (–4; –3), D (–3; –4). Значит, (4; 3), (3; 4), (–4; –3), (–3; –4) — решения данной системы. n
177. Системы трех уравнений с тремя переменными. Рассмотрим систему трех уравнений с
тремя переменными
ìf (x, y, z) = 0, ïíg (x, y, z) = 0, ïîh (x, y, z) = 0.
АЛГЕБРА
Раздел IV. УРАВНЕНИЯ
Решением такой системы называется всякая тройка чисел, удовлетворяющая каждому уравнению системы.
П р и м е р 1. Решить систему уравнений
ìïx + y + z = 2,
í2x + 3y + z = 1,
ïîx2 + (y + 2)2 + (z - 1)2 = 9.
q Применим метод подстановки. Выразим из первого уравнения õ через ó è z и подставим результат во второе и третье уравнения. Имеем
ìïx = 2 - y - z,
í2 (2 - y - z) + 3y + z = 1,
ïî(2 - y - z)2 + (y + 2)2 + (z - 1)2 = 9;
ìïx = 2 - y - z, íy - z = -3,
ïîy2 + z2 + yz - 3z = 0.
Последние два уравнения полученной системы в свою очередь образуют систему двух уравнений с двумя переменными. Решим эту систему методом подстановки. Имеем
ìy = z - |
3, |
ìy = z - 3, |
|
|
ï |
|
ï |
|
|
|
í |
+ z2 + z (z - 3) - 3z = 0, |
í |
- 4z + |
|
= 0. |
ï(z - 3)2 |
ïz2 |
3 |
î |
|
î |
|
|
|
Решив уравнение z2 - 4z + 3 = 0, находим z1 = 1, z2 = 3. Из уравнения y = z - 3 получаем соответ-
АЛГЕБРА
§ 16. Системы уравнений
ственно y1 = -2, y2 = 0, а из уравнения x = 2 - y - z
находим x1 = 3, x2 = -1.
Итак, получили следующие решения: (3; –2; 1), (–1; 0; 3). n
П р и м е р 2. Решить систему уравнений
ì- x + 4y + z = 4, ïí2x + y - z = 7, ïî3x + 2y + 2z = 1.
q Умножив первое уравнение системы на 2 и сложив результат со вторым уравнением системы, придем к уравнению
Умножив первое уравнение системы на 3 и сложив результат с третьим уравнением системы, придем к уравнению
В уравнениях (1) и (2) отсутствует переменная õ, мы ее исключили. Рассмотрим эти уравнения относительно переменных y, z. Умножив уравнение (1) на 14, уравнение (2) — на 9 и вычтя второй результат
из первого, придем к уравнению 14(9y + z) -
-9 (14y + 5z) = 15 × 14 - 13 × 9, ò. å. - 31z = 93 , |
откуда |
z = -3. |
(3) |
Теперь, как видно, исключена переменная ó. Перепишем первое уравнение исходной системы
â âèäå x - 4y - z = -4, уравнение (1) — в виде
АЛГЕБРА
Раздел IV. УРАВНЕНИЯ
y + 1 z = 15 , а уравнение (3) оставим без измене-
99
ния. Получим «треугольную» систему
ìx - 4y - z = -4,
|
ï |
|
1 |
|
15 |
|
|
ï |
y + |
z = |
|
|
í |
|
|
, |
|
9 |
9 |
|
ï |
|
|
|
|
ï |
|
|
z = -3, |
|
î |
|
|
|
|
|
которая легко решается последовательными подстановками «снизу вверх»: так как z = -3, то из второ-
го уравнения находим y - 3 = 15 , ò. å. ó = 2. Íàêî- 9 9
нец, из первого уравнения «треугольной» системы находим õ – 8 + 3 =–4, ò. å. õ = 1.
Итак, (1; 2; –3) — решение данной системы. n Описанный метод последовательного исключения
неизвестных называется методом Гаусса.
178. Определители третьего порядка. Исследование систем трех линейных уравнений с тремя переменными. Определителем третьего порядка
называется число, определяемое равенством
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - |
|
a21 |
a22 |
a23 |
= |
|
- a |
a |
a |
- a a |
a |
- a |
a a |
. (1) |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
13 |
22 |
31 |
11 |
23 |
32 |
12 |
21 |
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, каждый член определителя третьего порядка представляет собой произведение трех его элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Эти произведения берутся с оп-
АЛГЕБРА
§ 16. Системы уравнений
ределенными знаками: со знаком «+» — три члена, состоящие из элементов главной диагонали и из элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали; со знаком «–» три члена, расположенные аналогичным образом относительно побочной диагонали.
Указанное правило, называемое правилом треугольников, иллюстрирует схема, изображенная на рис. 76.
Ðèñ. 76
Например, используя формулу (1), получим
2 |
4 |
1 |
|
2 × 3 × 3 + 4 × 5 × 4 + 1 × (-1) × (-1) - |
- 1 3 |
5 |
= |
4 |
- 1 |
3 |
|
- 1 × 3 × 4 - 2 × 5 (-1) - 4 (-1) × 3 = 109. |
|
|
|
|
|
|
|
Алгебраическим дополнением элемента aik îï-
ределителя называется число Aik, представляющее собой определитель второго порядка, получающийся
АЛГЕБРА
Раздел IV. УРАВНЕНИЯ
из исходного определителя вычеркиванием i-й строки и k-го столбца и взятый со знаком «+», если сумма номеров вычеркнутых строки и столбца четная, и со знаком «–» в противном случае.
Например, для определителя (1) имеем
A = |
a22 |
a23 |
, A |
32 |
= - |
a11 a13 |
. |
11 |
a32 |
a33 |
|
|
a21 |
a23 |
|
|
|
|
|
|
Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения (разложение определи-
теля по элементам какой-либо строки или столбца).
Вычислим, например, данный выше определитель разложением по элементам первой строки.
Имеем
2 |
4 |
1 |
|
3 5 |
|
- 1 5 |
|
- 1 3 |
|
- 1 3 |
5 |
= 2 |
- 4 |
+ 1 × |
= |
4 |
- 1 |
3 |
|
- 1 3 |
|
4 3 |
|
4 - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 × 14 - 4 (-23) + 1× (-11) = 109,
что совпадает с результатом, полученным по формуле (1) (см. с. 239).
Для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными
ìa |
x + a |
y + a z = b , |
|
ï 11 |
12 |
13 |
1 |
|
|
ía21x + a22y + a23z = b2 |
, |
(2) |
ïa |
x + a |
y + a z = b |
|
|
î 31 |
32 |
33 |
3 |
|
|
справедливо утверждение, аналогичное утверждению