Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с
.PDFАЛГЕБРА
§ 12. Виды функций
125. Свойства и график функции y = ctg x.
10. Область определения: x ¹ pk, k Î Z.
20. Множество значений — вся числовая прямая.
30. Функция периодическая с основным периодом p.
40. Функция нечетная.
50. Функция убывает на промежутках (pk, p + pk), k Î Z.
60. Прямые x = pk, k Î Z — вертикальные асимптоты.
График функции y = ctgx изображен на рис. 51.
126. Функция y = arcsin x. Функция y = sin x
возрастает на отрезке [–p/2, p/2] принимает на нем
Ðèñ. 51
161
АЛГЕБРА
Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
все значения от –1 до 1 (см. рис. 48). Значит, для
функции y = sin x , -p / 2 £ x £ p /2, существует обратная функция (см. п. 115). Эту функцию обозна-
÷àþò y = arcsin x (читается: «арксинус õ»). График функции y = arcsin x можно получить из
графика функции y = sinx , -p / 2 £ x £ p /2, с помощью преобразования симметрии последнего относительно прямой ó = õ (ðèñ. 52).
Перечислим свойства функции y = arcsin x : 10. Область определения — отрезок [–1, 1].
20. Множество значений — отрезок [-p / 2, p /2]. 30. Функция нечетная: arcsin (-x) = - arcsin x. 40. Функция возрастающая.
Ðèñ. 52 |
Ðèñ. 53 |
162
АЛГЕБРА
§ 12. Виды функций
Из сказанного выше следует, что записи y = arcsin x è x = sin y , -p / 2 £ y £ p / 2, эквивалентны. Подставив в равенство x = sin y вместо ó åãî âû-
ражение, т. е. arcsin x, получим x = sin (arcsin x) . Следовательно, для любого õ из [–1, 1] имеем
sin (arcsin x) = x, - p /2 £ arcsin x £ p / 2.
127. Функция y = arccos x. Функция y = cos x
убывает на отрезке [0, p], принимает на нем все зна- чения от –1 до 1 (см. рис. 49). Значит, для функции y = cos x , рассматриваемой на отрезке [0, p], существует обратная функция. Она обозначается y = arccos x (читается: «арккосинус õ»).
График функции y = arccos x получается из графика функции y = cos x , 0 £ x £ p, с помощью преобразования симметрии относительно прямой ó = õ (ðèñ. 53).
Перечислим свойства функции y = arccos x : 10. Область определения — отрезок [–1, 1]. 20. Множество значений — отрезок [0, p].
30. Функция не является ни четной, ни нечетной. 40. Функция убывающая.
Из сказанного выше следует, что записи y = = arccos x è x = cos y, 0 £ y £ p, эквивалентны. Подставив в равенство x = cos y вместо ó выражение
arccos x, получим cos (arccos x) = x . Следовательно, для любого õ из промежутка [–1, 1] имеем
cos (arccos x) = x, 0 £ arccos x £ p.
163
АЛГЕБРА
Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
128. Функции y = arctg x, y = arcctg x. Ôóíê-
öèÿ y = tgx возрастает на интервале (-p / 2, p / 2), принимает на нем все значения (см. рис. 50). Поэто-
му на указанном интервале для функции y = tg x существует обратная функция. Она обозначается
y = arctgx (читается: «арктангенс õ»).
График функции y = arctg x получается из гра-
фика функции y = tg x, - p /2 < x < p / 2, с помощью преобразования симметрии относительно прямой ó = = õ (ðèñ. 54).
Перечислим свойства функции y = arctg x : 10. Область определения — множество R.
20. Множество значений — интервал (-p / 2, p / 2).
30. Функция нечетная: arctg (–x) = – arctg x.
40. Функция возрастающая.
50. Прямые y = p/2 è y = –p/2 — горизонтальные асимптоты соответственно при õ º +× è õ º –×.
Ðèñ. 54 |
Ðèñ. 55 |
164
АЛГЕБРА
§ 12. Виды функций
Из сказанного выше следует, что записи y =
= arctgx è x = tg y, - p /2 < x < p / 2, эквивалентны. Для любого õ имеем
tg(arctgx) = x, - p /2 < arctgx < p /2.
Функция y = ctgx убывает на интервале (0, p), принимает на нем все значения (см. рис. 51). Следовательно, на этом интервале для функции y = ctg x существует обратная функция. Она обозначается y = arcctgx (читается: «арккотангенс õ»).
График функции y = arcctgx получается из графика функции y = ctg x , 0 < x < p, с помощью преобразования симметрии относительно прямой ó = õ (ðèñ. 55).
Перечислим свойства функции y = arcctg x : 10. Область определения — множество R.
20. Множество значений — интервал (0, p).
30. Функция не является ни четной, ни нечетной. 40. Функция убывающая.
50. Прямые y = 0 è y = p — горизонтальные асимптоты соответственно при õ º +× è õ º –×.
Из сказанного выше следует, что записи y = = arcctg x è x = ctg y , 0 < x < p, эквивалентны. Для любого õ имеем
ctg (arcctgx) = x, 0 < arcctgx < p.
Функции ó = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x è y = arcctg x называются обратными тригонометрическими фукнциями.
129. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Определения и свойства обратных тригонометрических функций (см. пп. 126–128) позволяют истолковать их следующим образом:
165
АЛГЕБРА
Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
арксинусом числа a Î [-1, 1] |
называется такое |
|||||
число a О [-p /2, p / 2], синус которого равен à: |
||||||
arcsin a |
= a |
sin |
a = |
a è |
-p / 2 £ a £ p / 2; |
|
, åñëè |
|
|
|
|||
арккосинусом числа |
a О [-1, 1] называется та- |
|||||
кое число a О [0, p], |
косинус которого равен à: |
arccos a = a, åñëè cos a = a è 0 £ a £ p;
арктангенсом числа à называется такое число a О= (-p / 2, p / 2), тангенс которого равен à:
arctg a = a, åñëè tg a = a è -p / 2 < a < p / 2;
арккотангенсом числа à называется такое число a О (0, p), котангенс которого равен à:
arcctga = a, åñëè ctg a = a è 0 < a < p.
Справедливы следующие тождества:
arcsin (-a) = - arcsin a, arccos (-a) = p - arccos a, arctg (-a) = - arctg a, arcctg (-a) = p - arcctg a.
П р и м е р. Вычислить:
à) arcsin ( |
3 / 2); |
ä) arcctg 3; |
á) arcsin (-1/ 2); |
å) arctg (-1); |
|
â) arccos ( |
2 /2); |
æ) arcctg 0; |
ã) arccos (- |
2 / 2); |
ç) arcctg (- 3). |
q а) По определению, a = arcsin ( 3 / 2) — ýòî
такое число, что sin a = 3 / 2 è -p / 2 £ a £ p /2. Îò-
сюда следует, что a = p / 3, т. е. arcsin ( 3 /2) = p / 3.
166
АЛГЕБРА
§ 12. Виды функций
б) Рассуждая аналогично, получаем arcsin (1/2) = = p/ 6. Но arcsin (-1/2) = - arcsin (1/2), значит,
arcsin (-1/ 2) = - p / 6.
в) По определению, a = arccos ( 2 / 2) — ýòî òà-
кое число, что cos a = 2 / 2 и 0 |
£ a £ p. Отсюда сле- |
äóåò, ÷òî a = p / 4, ò. å. arccos ( |
2 / 2) = p / 4. |
ã) Òàê êàê arccos (-a) = p - arccos a, то получаем
arccos (- 2 / 2) = p - arccos ( 2 /2) = p - p / 4 = 3p / 4.
д) По определению, a = arctg 3 — это такое число, что tg a = 3 и -p / 2 < a < p / 2. Отсюда следует,
÷òî a = p / 3, ò. å. arctg 3 = p / 3.
е) Рассуждая аналогично, получаем arctg1 = p / 4.
Но arctg (-1) = - arctg1, значит, arctg(-1) = -p / 4.
ж) По определению, a = arcctg0 — это такое чис-
ëî, ÷òî ctg a = 0 è |
0 < a < p. Отсюда следует, что |
||
a = p / 2, |
ò. å. arcctg 0 = p / 2. |
|
|
з) Рассуждая аналогично, находим arcctg |
3 = |
||
= p / 6. |
Òàê êàê |
arcctg(-a) = p - arcctga, |
òî |
arcctg (- |
3) = p - arcctg 3 = p - p / 6 = 5p / 6. n |
|
167
АЛГЕБРА
Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
§13. Преобразования графиков
130.Построение графика функции y = mf(x).
Задача I. Построить график функции y = mf(x),
ãäå m > 0, m ¹ 1, зная график функции y = f(x). q Ординаты точек графика функции y = mf(x) ïî-
лучаются умножением на m соответствующих ординат точек графика функции y = f(x). Такое преобразование графика функции y = f(x) называется его растяжением îò îñè Îõ с коэффициентом ò, åñëè m > 1, è сжатием ê îñè Îõ, åñëè 0 < m < 1. n
На рис. 56 изображены графики функций y = log2 x è y = 0,5 log2 x.
Ðèñ. 56 |
Ðèñ. 57 |
168
АЛГЕБРА
§ 13. Преобразования графиков
Задача II. Построить график функции y = -f(x),
зная график функции y = f(x).
q При одном и том же значении õ ординаты
точек графиков функций y = f(x) è y = -f(x) отли- чаются только знаками. Значит, график функции
y = -f(x) можно получить из графика y = f(x) преобразованием симметрии последнего относительно оси Îõ. n
На рис. 57 изображены графики функций ó = = 10õ è ó = –10õ.
Задача III. Построить график функции y = mf(x),
ãäå m < 0, m ¹ -1, зная график функции y = f(x).
q Òàê êàê mf(x) = - m f(x), то график функции
y = mf(x) можно получить растяжением (сжатием) графика функции y = f(x)
îò îñè Îõ с коэффициентом m и последующим преобразованием симметрии относительно оси Îõ (см. задачи I и II). n
На рис. 58 изображены графики функций ó = õ4 è
ó= –3õ4.
131.Графики функций ó =
= àõ2, ó = àõ3. Графиком функции ó = õ2 является парабола. Чтобы построить гра-
фик функции ó = àõ2, нужно |
Ðèñ. 58 |
169
АЛГЕБРА
Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
осуществить растяжение (сжатие) параболы ó = õ2 îò
îñè Îõ с коэффициентом a; ïðè ýòîì åñëè a < 0, òî
график функции y = a x2 нужно еще отобразить
симметрично относительно оси Îõ (ñì. ï. 130).
На рис. 59 изображены графики функции ó = = àõ2 для значений à, равных 1; –1; 3; – 0,5. Все эти графики называют параболами. Ïðè à > 0 ветви параболы, служащей графиком функции ó = àõ2, направлены вверх, а при a < 0 — âíèç.
Аналогично, зная график функции ó = õ3, можно построить график функции вида ó = àõ3. На рис. 60 изображены эти графики для значений à, равных 1; –1; 3.
Ðèñ. 59 |
Ðèñ. 60 |
170