Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 14. Уравнения с одной переменной

П р и м е р 2. Решить уравнение

sin5x + sin x + 2 sin2 x = 1.

q Перенесем 1 в левую часть и, выполнив преобразования левой части, разложим ее на множители.

Применим к sin5x + sin x формулу суммы синусов

(см. п. 85) и воспользуемся тем, что 2sin2 x = = 1 - cos2x (см. п. 83). Тогда уравнение примет вид

2sin 3x cos2x + (1 - cos2x) - 1 = 0; cos2x(2sin3x - 1) = 0.

Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений: cos2x = 0; 2sin3x - 1 = 0.

Из уравнения cos2x = 0 находим 2x = p + pk, 2

ò. å. x = p + pk , k Î Z.

42

Из уравнения 2sin 3x - 1 = 0 находим sin 3x = 1 ,

211

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

161. Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной. Суть этого метода заключается в сведении тригонометрического уравнения к алгебраическому.

П р и м е р 1. Решить уравнение

2 cos2 x + 14 cos x = 3 sin2 x.

q Òàê êàê sin2 x = 1 - cos2 x, то уравнение можно переписать следующим образом:

2 cos2 x + 14cosx - 3(1 - cos2 x) = 0,

5 cos2 x + 14 cosx - 3 = 0.

Полагая cos x = y, получим квадратное уравнение 5y2 + 14y - 3 = 0. Решив его находим y1 = 0,2, y2 = -3. Значит, либо cos x = 0,2, откуда x = ä arccos

= ± arccos0,2 + 2pn, n Î Z. n

Иногда можно указать правило, облегчающее выбор новой переменной в тригонометрических уравнениях. Обозначим через R (sinx, cos x) рациональную функцию от sin x è cos x , т. е. функцию, полученную из sin x è cos x и постоянных величин с помощью операций сложения, умножения и деления. Рассмотрим уравнение вида R (sin x, cos x) = 0. Такое урав-

нение заменой cos2 x íà 1 - sin2 x сводится к ал-

212

АЛГЕБРА

§ 14. Уравнения с одной переменной

гебраическому уравнению относительно sin x, åñëè cos x входит в уравнение лишь в четных степенях;

аналогично, заменой sin2 x íà 1 - cos2 x оно сводится к алгебраическому уравнению относительно cos x,

åñëè sin x входит в уравнение лишь в четных степенях.

П р и м е р 2. Решить уравнение

cos4 x + 3 sin x - sin4 x - 2 - 0.

q Òàê êàê cos x входит в уравнение лишь в четвертой степени, то, согласно указанному пра-

вилу, заменим cos2 x íà 1 - sin2 x, ò. å. cos4 x íà

(1 - sin2 x)2. Тогда данное уравнение примет вид

(1 - sin2 x)2 + 3sin x - sin4 x - 2 = 0.

Полагая sin x = y, приходим к алгебраическому

уравнению (1 - y2)2 + 3y - y4 - 2 = 0, ò. å. 2y2 - 3y + +1 = 0, откуда y1 = 1, y2 = 0,5. Наконец, решив сово-

купность уравнений sin x = 1, sin x = 0,5, получаем

x = p + pk, x = (-1)n p + pn; k, n Î Z. n

2 6

162. Однородные тригонометрические уравнения. В ряде случаев тригонометрическое уравне-

íèå âèäà R (sin x, cos x) = 0 можно свести к алгеб-

раическому относительно tg x. Такие уравнения характеризуются тем, что они не меняются при од-

213

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

новременной замене sin x íà –sin x è cos x íà –cos x. Примерами таких уравнений являются однородные уравнения:

a sinx + b cosx = 0;

a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0

(соответственно первой и второй степени).

Рассмотрим случай, когда a ¹ 0. Разделим обе части первого уравнения на cos x, а обе части второ-

ãî — íà cos2 x. В результате получим уравнения, алгебраические относительно tg x :

a tg x + b = 0; a tg2 x + b tg x + c = 0.

Заметим, что при a ¹ 0 однородному уравнению не удовлетворяют те значения õ, при которых

cos x = 0. Поэтому деление на cos x (èëè cos2 x )

обеих частей однородного уравнения в случае a ¹ 0 не приводит к потере корней.

П р и м е р 1. Решить уравнение sin2 x + 2 sin x cos x - 3 cos2 x = 0.

q Разделив обе части уравнения на cos2 x, ïîëó-

÷èì tg2 x + 2 tg x - 3 = 0. Далее положим u = tg x,

тогда приходим в квадратному уравнению u2 + 2u -

-3 = 0, откуда u1 = -3, u2 = 1. Наконец, решив совокупность уравнений tg x = -3, tg x = 1, находим

x = arctg (-3) + pk, x = p + pn; k, n Î Z. n 4

214

АЛГЕБРА

§ 14. Уравнения с одной переменной

П р и м е р 2. Решить уравнение

5 sin2 x + 3 sin x cosx + 6 cos2 x = 5. q Имеем

5 sin2 x + 3 sin x cos x + 6 cos2 x = 5 (sin2 x + cos2 x);

В уравнении (1) отсутствует член вида a sin2 x,

ò. å. à = 0. Здесь делить обе части уравнения на cos2 x

нельзя, так как те значения õ, при которых cos2 x = = 0, удовлетворяют уравнению (1), а потому деление

íà cos2 x приведет к потере корней. Поступим ина- че: разложив левую часть уравнения (1) на множите-

ли, получим cos x ( 3 sin x + cosx) = 0.

Теперь задача сводится к решению совокупности

уравнений: cos x = 0; 3 sin x + cosx = 0. Из первого уравнения находим x = p + pk, k Î Z. Разделив обе

получаем две серии решений:

x = p + pk, x = - p + pn; k, n Î Z. n

26

215

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

163.Универсальная подстановка. Известно (см.

ï.84), ÷òî sinx è cos x выражаются рационально

через tg x , а именно:

2

универсальной. Ее можно использовать при решении любого уравнения вида R (sin x, cos x) = 0.

Поскольку использование универсальной подстановки возможно лишь при x ¹ p + 2pn, нужно прове-

рять, не являются ли числа вида x = p + 2pn решениями заданного уравнения.

П р и м е р 1. Решить уравнение

216

АЛГЕБРА

§ 14. Уравнения с одной переменной

= 2arctg 1 + 2pn, n Î Z. Проверкой убеждаемся, что

3

значения x = p + 2pn не удовлетворяют уравнению

(2). Èòàê, x = 2arctg 1 + 2pn, n Î Z. n 3

П р и м е р 2. Решить уравнение

3 sin2x + cos2x + 1 = 0.

q Воспользуемся универсальной подстановкой. Выразив sin2x è cos2x через tgx и полагая tg x =

Однако нужно еще проверить, не удовлетворяют ли заданному уравнению те значения õ, при которых

2x = p + 2pn, т. е. значения x = p + pn. Имеем

2

3 sin (p + 2pn) + cos (p + 2pn) + 1 = = 3 sin p + cos p + 1 = 3 × 0 - 1 + 1 = 0,

p + pn также являются решениями

2

217

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

уравнения. Итак, заданное уравнение имеет следующие решения:

164. Метод введения вспомогательного аргумента. Иногда при решении тригонометрических уравнений оказывается полезным заменить выражение

случае j называют вспомогательным аргументом.

П р и м е р. Решить уравнение

8 cos x + 15 sin x = 17.

q Разделив обе части данного уравнения на

82 + 152 = 17, получим

ние (1) следующим образом: sin j cos x + sin x cos j = = 1. Íî sinj cosx + sinx cosj = sin(x + j). Значит,

218

АЛГЕБРА

§ 14. Уравнения с одной переменной

sin (x + j) = 1, откуда x = p + 2pn - j. Учитывая, что

2

j = arcsin 8 , окончательно получаем решение дан-

17

ного уравнения:

x = p - arcsin 8 + 2pn, n Î Z. n

217

165.Графическое решение уравнений. На практике довольно часто оказывается полезным графи- ческий метод решения уравнений.Он заключается

âследующем: для решения уравнения f(x) = 0 ñòðî-

ят график функции y = f(x) и находят абсциссы то- чек пересечения графика с осью Îõ; эти абсциссы и являются корнями уравнения.

Например, график функции ó = –0,5õ2 – õ + 4 (см. рис. 64) пересекает ось Îõ в точках (–4; 0) и (2; 0), значит, уравнение –0,5 õ2 – õ + 4 = 0 имеет два корня: õ = –4 è õ = 2. График функции ó = õ2 – 4õ +

12

+5 не пересекает ось Îõ, поэтому уравнение õ2 – 4õ +

+5 = 0 не имеет корней.

Часто уравнение f(x) = 0 заменяют равносильным g(x) = h(x), строят графики функций y = g(x)

è y = h(x) (если это проще, чем построение графика

функции y = f(x) ) и находят абсциссы точек пере-

сечения построенных графиков.

П р и м е р 1. Решить графически уравнение

x = x - 2 .

219

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

q Построим в одной системе координат графики

функций y = x è y = x - 2 (рис. 71). Они пересе-

каются в двух точках с абсциссами x1 = 1, x2 = 4. Это — два корня данного уравнения. n

С графическим методом решения уравнения f(x) = g(x) связаны и некоторые функциональные методы, основанные на использовании различных свойств функций f(x) è g(x). Укажем две теоремы, лежащие в основе этих методов.

Ò.4.7. Если одна из функций f(x), g(x) убывает, а другая возрастает в области определения уравнения f(x) = g(x), то это уравнение либо не имеет корней, либо имеет единственный корень.

Ò.4.8. Пусть функция f(x) возрастает (убывает) на промежутке Х, число а — любое из значений, принимаемых функцией f в этом промежутке.

220