Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 18. Доказательство неравенств

Íî ab × cd = 4 abcd. Èòàê,

a + b + c + d ³ 4 abcd. 4

Равенство имеет место в случае, когда à = b = c =

=d. n

198.Доказательство неравенств методом от противного. Суть этого метода заключается в следую-

щем. Пусть нужно доказать истинность неравенства

Предполагают противное, т. е. что хотя бы для одного набора переменных справедливо неравенство

Используя свойства неравенств, выполняют преобразования неравенства (2). Если в результате этих преобразований получается ложное неравенство, то это означает, что предположение о справедливости неравенства (2) неверно, а потому верно неравенство (1).

П р и м е р. Доказать справедливость неравенства

cos (a + b) cos(a - b) £ cos2 a.

q Предположим противное, т. е. будем считать, что существуют такие a и b , для которых выполня-

ется неравенство cos (a + b) cos(a - b) > cos2 a.

269

АЛГЕБРА

Раздел V. НЕРАВЕНСТВА

Воспользовавшись формулами cos (a + b) cos (a -

при любых значениях b , то мы получили противоре-

чие. Значит, сделанное предположение неверно, а поэтому справедливо исходное неравенство. n

199. Использование неравенств при решении уравнений. Пусть нужно решить уравнение f (x) =

= g (x) и пусть существует такое число À, которое представляет собой одновременно наибольшее значе-

ние функции y = f (x) и наименьшее значение функции y = g (x). Тогда корнями уравнения f (x) = g (x)

являются общие корни уравнений f (x) = A, g (x) = A,

и только они. Этот метод служит частным случаем функционального метода решения уравнений (см.

ï.165).

Ïр и м е р. Решить уравнение

x2 + 1 = 2 - (x - 1)4. x2

(см. п. 196). С другой, при всех õ выполняется нера-

270

АЛГЕБРА

§ 18. Доказательство неравенств

венство 2 - (x - 1)4 £ 2. Значит, корнями данного уравнения являются общие корни уравнений

общие корни есть). Из уравнения x2 + 1 = 2 íàõî- x2

äèì x1= 1, x2 = -1; из уравнения 2 - (x - 1)4 = 2 íà-

ходим õ = 1. Общий корень этих уравнений — зна- чение õ = 1, которое и является единственным корнем заданного уравнения. n

271

Раздел VI

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

§19. Размещения, перестановки, сочетания

200.Размещения. Размещениями èç n различ- ных элементов по k элементов называются всевозможные комбинации, содержащие k элементов, взятых из данных n элементов, и отличающиеся друг от друга либо составом элементов, либо их порядком.

Существуют два вида размещений:

à) без повторений — каждый входящий в комбинацию элемент представлен единственным экземпляром (например, размещения без повторений из n = 3 элементов a, b, c ïî k = 2 элемента таковы: ab, ba, ac, ca, bc, cb );

á) с повторениями — каждый входящий в комбинацию элемент может быть представлен более чем одним экземпляром (например, размещения с повторениями из n = 3 элементов a, b, c ïî k = 2 элемента таковы: aa,ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc ; размещения с повторениями из n = 2 элементов a, b ïî k = 3 элемента таковы: aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba,bbb ).

Число размещений без повторений из n элементов по k элементов выражается формулой

272

АЛГЕБРА

§ 19. Размещения, перестановки, сочетания Cnk

а число размещений с повторениями из n элементов по k элементов — формулой

Символ n! (читается «эн факториал») — это сокращенное обозначение произведения 1 · 2 · 3... n.

П р и м е р 1. Комиссия состоит из председателя, заместителя и еще четырех человек. Сколькими способами члены комиссии могут распределить между собой обязанности председателя и заместителя?

q При выборе председателя и его заместителя из данных шести человек имеет значение не только то, какие два человека выбраны, но и то, как распределены должности между ними (т. е. важен и состав, и порядок следования выбранных элементов). Таким образом, речь идет о размещениях (без повторений) из шести элементов по два. Используя формулу (1),

П р и м е р 2 . Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

q Каждое трехзначное число, составленное из указанных цифр, можно рассматривать как размещение с повторениями, составленное из трех цифр, взятых из данных семи цифр. Количество таких чисел най-

дем по формуле (2): A~73 = 73 = 343. n

201. Перестановки. Перестановками èç n различных элементов называются всевозможные комбинации из этих n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения элементов.

Перестановки можно считать частным случаем размещений (а именно, размещениями из m элементов по m).

273

АЛГЕБРА

Cnk Раздел VI. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Существуют два вида перестановок:

à) без повторений — каждый входящий в комбинацию элемент представлен единственным экземпляром (например, перестановки без повторений из

n = 3 элементов a, b, c таковы: abc, acb, bac, bca,

cab, cba );

á) с повторениями — каждый входящий в комбинацию элемент может быть представлен более чем одним экземпляром (запишем, например, все перестановки с повторениями из элементов a è b такие, что элемент à повторяется трижды, а элемент

b — дважды: aaabb, aabab, aabba, abaab, ababa,

abbaa, baaab, baaba, babaa, bbaaa ).

Число перестановок без повторений из n элементов находится по формуле

а число перестановок из n элементов с повторениями, содержащих k1 элементов первого типа, k2 элементов второго типа,..., kn элементов n-го типа, — по формуле

ãäå k1 + k2 + ... + kn = n.

П р и м е р 1. Найти количество различных четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если каждая цифра в изображении числа встречается один раз.

q Каждое четырехзначное число, составленное из указанных цифр, можно рассматривать как перестановку из цифр 0, 1, 2, 3, в которой первая цифра от-

274

АЛГЕБРА

§ 19. Размещения, перестановки, сочетания Cnk

лична от нуля. Так как число перестановок из четырех цифр равно P4 = 4! и среди них P3 = 3! ïåðå-

становок начинаются с нуля, то искомое количество равно 4! – 3! = 3 · 3! = 1 · 2 · 3 · 3 = 18. n

П р и м е р 2. Сколькими способами можно нанизать на нить 4 зеленых, 5 синих и 6 красных бус?

q Здесь речь идет об отыскании числа перестановок с повторениями, которые можно составить из k1 = 4 элементов первого типа (зеленых бус), k2 = 5 элементов второго типа (синих бус) и k3 = 6 элементов третьего типа (красных бус). Используя формулу (2), находим

202. Сочетания и их свойства. Треугольник Паскаля. Сочетаниями èç n различных элементов по k элементов называются всевозможные комбинации, содержащие k элементов, взятых из данных n элементов, и отличающиеся друг от друга по крайней мере одним элементом.

Существуют два вида сочетаний:

à) без повторений — каждый элемент, входящий в комбинацию, представлен единственным экземпляром (например, сочетания без повторений из n = 4

элементов a,b,c,d ïî k = 2 элемента таковы:

ab, ac, ad, bc, bd, cd );

á) с повторениями — каждый элемент, входящий в комбинацию, может быть представлен более чем одним экземпляром (например, сочетания с по-

275

АЛГЕБРА

Cnk Раздел VI. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

вторениями из n = 4 элементов a,b,c,d ïî k = 2

элемента таковы: aa, ab, ac, ad, bb, bc, bd, cc, cd,

dd; сочетания с повторениями из n = 2 элементов à,

b ïî k = 4 элемента таковы: aaaa, abab, abbb, bbbb ).

а число сочетаний с повторениями из n элементов по k элементов — по формуле

Справедливы следующие свойства числа сочетаний без повторений:

П р и м е р 1. Сколькими способами из десяти человек можно избрать комиссию, состоящую из че- тырех членов?

q Искомое количество способов равно числу со- четаний без повторений, которые можно составить из десяти элементов по два. Используя формулу (1),

получим C104 = 10! = 210. n 6! 4!

П р и м е р 2. В кондитерском отделе продаются три сорта пирожных: безе, эклеры и бисквиты. Сколько можно составить различных наборов по 9 пирожных в каждом?

276

АЛГЕБРА

Cnk Раздел VI. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Ясно, что следующая строка этой таблицы содержит числа C40, C41, C42, C43, C44. Крайние члены этой строки равны 1, а каждый из остальных членов равен сумме двух расположенных над ним членов предыдущей строки. Точно так же получаются и остальные строки. В результате получим треугольную таблицу, которая называется треугольником Паскаля:

1

11

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

Ïðè ýòîì n-ÿ строка таблицы состоит из чисел Cn0, Cn1, Cn2, ..., Cnn.

§20. Формула бинома Ньютона

203.Бином Ньютона. Ранее (см. п. 62) уже была приведена формула бинома Ньютона. Здесь мы рассмотрим ее более подробно. Запишем выражения

äëÿ (a + b)n ïðè n = 1, 2, 3, 4 : (a + b)1 = a + b;

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2;

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;

278