Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с
.PDFАЛГЕБРА
§13. Преобразования графиков
132.Построение графика функции y = f(x - a) +
+b. Для построения графика функции y = f(x) + b надо перенести график функции y = f(x) на вектор
(0; b) вдоль оси ординат. Далее, для построения графика функции y = f(x - a) надо перенести график
функции y = f(x) на вектор (a; 0) вдоль оси абсцисс. Наконец, для построения графика функции y =
= f(x - a) + b надо выполнить параллельный перенос графика функции y = f(x) и на вектор (a; 0), è
на вектор (0; b) , т. е. в итоге на вектор (à; b).
На практике это правило удобно использовать в следующей формулировке. Чтобы построить график
функции y = f(x - a) + b , нужно:
|
à) |
|
á) |
Ðèñ. 61 |
|
Ðèñ. 62 |
|
|
|
171
АЛГЕБРА
Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
1)выполнить параллельный перенос плоскости, выбрав в качестве начала новой системы координат x¢O¢y¢ точку O¢ (à; b);
2)в плоскости x¢O¢y¢ построить график функции y¢ = f(x¢).
П р и м е р. Построить график функции
y = x - 2 + 4.
q 1) Выполним параллельный перенос плоскости, поместив начало новой системы координат x¢O¢y¢ в точку O¢ (2; 4).
2) В плоскости x¢O¢y¢ построим график функции
y¢ = x¢. Это и есть требуемый график (рис. 61).n
Íà ðèñ. 62, à изображены графики функций y = = f(x), y = f(x) - 2, y = f(x) + 3, à íà ðèñ. 62, á — графики функций y = f(x) , y = f(x - 2), y = f(x + 3).
133. График квадратичной функции. Квадратичной называют функцию, которую можно задать
формулой вида y = ax2 + bx + c, ãäå a, b, c |
— ëþ- |
бые действительные числа, причем a ¹ 0. |
Äëÿ ïî- |
строения графика этой функции выполним следующие преобразования (называемые выделением пол-
ного квадрата) квадратного трехчлена ax2 + bx + c :
|
æ |
b |
ö |
|
ax2 |
+ bx + c = a çx2 + |
|
x÷ |
+ c = |
|
||||
|
è |
a |
ø |
|
172
АЛГЕБРА
§ 13. Преобразования графиков
|
|
|
æ æ |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
b |
2 |
ö |
|
|
b |
2 |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= a ç çx2 |
+ 2 × |
x + |
|
|
÷ - |
|
|
|
|
|
÷ |
+ c = |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
ç ç |
|
|
|
|
|
2a |
|
|
4a |
2 |
÷ |
|
4a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
è è |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
æ |
æ |
|
b ö |
2 |
|
b |
2 |
ö |
|
|
|
|
æ |
|
|
|
b ö |
2 |
|
b |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
ç |
|
|
- |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= a |
ç |
çx + |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
+ c = aç x + |
|
|
|
|
|
÷ |
|
- |
|
|
|
+ c = |
|
||||||||
|
|
4a2 ÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
è |
|
2a ø |
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
2a ø |
|
|
4a |
|
|
|
||||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
b ö2 |
+ |
4ac - b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
= açx + |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
2a ø |
|
|
|
4a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Èòàê, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
b ö2 |
|
|
|
|
4ac - b2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
y = ax2 + bx + c = açx + |
|
|
÷ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(1) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
2a ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
4a |
|
|
|
|
|
à) |
|
á) |
|
|
|
Ðèñ. 63
173
АЛГЕБРА
Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
Для построения графика функции (1) нужно выполнить параллельный перенос плоскости (см. п. 132),
поместив начало новой системы координат x¢O¢y¢ â
|
æ |
|
b |
|
4ac - b |
2 |
ö |
|
|
|
|
|
точку |
ç |
- |
; |
|
÷ |
, |
и в плоскости |
¢ ¢ |
¢ |
ïîñò- |
||
O¢ç |
2a |
4a |
|
÷ |
x O y |
|
||||||
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
роить параболу — график функции y¢ = a(x¢)2. Ïðÿ-
ìàÿ x = - b называется осью симметрии парабо-
2a
ëû, служащей графиком квадратичной функции (1), а точка, в которой парабола пересекается с ее осью симметрии, — вершиной параболы.
Åñëè à > 0, то ветви параболы, служащей графиком функции (1), направлены вверх (рис. 63, à); â ýòîì ñëó-
æ |
- ¥, - |
b ù |
|
|
чае функция убывает на ç |
|
ú |
и возрастает на |
|
|
||||
è |
|
2a û |
|
é |
b |
|
ö |
ê- |
|
, + ¥ |
÷. Åñëè æå à < 0, то ветви параболы направ- |
|
|||
ë |
2a |
|
ø |
ëåíû âíèç (ðèñ. 63, á); в этом случае функция возрас-
æ |
- ¥, - |
b ù |
|
|
òàåò íà ç |
|
ú |
и убывает на |
|
|
||||
è |
|
2aû |
|
é
ê-
ë
bö
,+ ¥÷. 2a ø
134. Способы построения графика квадратичной
функции. Графиком функции y = ax2 + bx + c, ãäå a ¹ 0, является парабола (см. п. 133). Для ее построения на практике используются три способа, которые мы проиллюстрируем на следующем примере.
174
АЛГЕБРА
§13. Преобразования графиков
Ïр и м е р. Построить график функции
y = -0,5x2 - x + 4.
q I способ: отыскание координат вершины па-
раболы по формулам x = - |
b |
; y = |
|
4ac - b2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
2a |
0 |
|
|
4a |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
= |
-1 |
= |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Здесь à = –0,5, b = –1, c = 4. Значит, x0 |
0= – |
2 (-0,5) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= -1; |
ó0 |
= |
4(-0,5) × 4 - 1 |
= 4,5. |
Èòàê, (–1; 4,5) — |
|||||||
|
||||||||||||
|
|
4(-0,5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вершина параболы. Для построения графика найдем координаты еще нескольких точек; например, (0; 4), (1; 2,5), (2; 0). Отметив вершину параболы, полученные точки и точки, симметричные им относительно оси параболы, строим требуемый график (рис. 64).
õ =–1
Ðèñ. 64
II способ: построение параболы по точкам с ординатой, равной свободному члену квадратного трехчлена.
175
АЛГЕБРА
Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
Найдем точки графика, имеющие ординату, равную свободному члену квадратного трехчлена. Для
этого решим уравнение - 0,5x2 - x + 4 = 4, ò. å.
0,5x2 + x = 0, откуда x1 = 0, x2 = -2.
Итак, мы нашли две точки графика À (0; 4) è Â (– 2; 4).
Так как точки À è Â лежат на параболе и имеют одинаковую ординату, то они симметричны относительно оси симметрии параболы, а потому указанная ось проходит перпендикулярно отрезку ÀÂ через его середину. Абсцисса точки À равна нулю, а абсцисса точки Â равна – 2, поэтому уравнение оси параболы имеет вид õ = –1. Подставив значение õ = – 1 â ðà-
венство ó = – 0,5õ2 – õ + 4, получим ó =
= 4,5. Значит, вершина Ñ параболы, т. е. единственная точка параболы, лежащая на ее оси симметрии,
имеет координаты õ0 = – 1, ó0 = 4,5. Отметив на коор-
динатной плоскости точку Ñ (– 1; 4,5), построим па-
раболу, проходящую через три точки À, Â, Ñ. Это и есть искомый график (рис. 64).
III способ: построение параболы по корням квадратного трехчлена.
Из уравнения - 0,5x2 - x + 4 = 0 находим x1 = -4, x2 = 2. Поэтому мы знаем две точки искомой
параболы: D (– 4; 0) è E (2; 0). Так как ось симмет-
рии параболы перпендикулярна отрезку DE и проходит через его середину, то уравнение этой оси имеет вид õ = – 1. Подставив значение õ = – 1 â
равенство y = -0,5x2 - x + 4, находим ó = 4,5. Èòàê,
вершиной параболы служит точка Ñ (–1; 4,5). По трем точкам D, E è Ñ строим искомый график (рис. 64). n
176
АЛГЕБРА
§ 13. Преобразования графиков
135. Построение графика функции y = f (kx).
Задача I. Построить график функции y = f (kx),
ãäå k > 0, k ¹ 1, зная график функции y = f (x).
q Пусть y0 = f (x0). Поставим вопрос: какое зна- чение аргумента õ нужно взять, чтобы функция y = f (kx) приняла значение ó0? Ясно, что это значе- ние õ должно удовлетворять условию kx = x0, ò. å. x = x0 / k. Таким образом, точка (õ0; ó0), лежащая на графике заданной функции y = f (x), преобразуется в точку (x0 / k;y0), лежащую на графике функции y = f (kx). Это преобразование есть сжатие графика y = f (x) с коэффициентом k ê îñè Îó (åñëè
0 < k < 1, то фактически получается растяжение îò
îñè Îó с коэффициентом 1/ k). n
На рис. 65 изображены графики функций y = arccos x è y = arccos 2x, а на рис. 66 — графики
функций y = x è y = x / 3.
Задача II. Построить график функции y = f(-x),
зная график функции y = f(x).
q Пусть y0 = f(x0). Для того чтобы функция y =
= f(-x) приняла значение ó0, значение õ должно удовлетворять условию õ0 = –õ, ò. å. õ = –õ0. Точка (õ0; ó0) графика функции y = f(x) преобразуется в
177
АЛГЕБРА
Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
Ðèñ. 65 Ðèñ. 66
точку (–õ0; ó0) графика функции y = f(-x) . Это зна- чит, что график функции y = f(-x) можно получить
из графика функции y = f(x) преобразованием симметрии последнего относительно оси Îó. n
На рис. 67 изображены графики функций y = = log3 x è y = log3(-x).
Задача III. Построить график функции y = f (kx), ãäå k < 0, k ¹ –1, зная график функции y = f(x).
q Имеем f(kx) = f (- k x). Поэтому график функции y = f (kx) можно получить сжатием графика
функции y = f(x) с коэффициентом k ê îñè Îó è
симметрией полученного графика y = f( k x) относительно оси Îó. n
На рис. 68 изображены графики функций y = x3/2
è y = (-2x)3/2.
178
АЛГЕБРА
§ 13. Преобразования графиков
Ðèñ. 67 |
Ðèñ. 68 |
136. Сжатие и растяжение графиков тригонометрических функций. Здесь речь идет о построе-
нии графиков функций вида y = m sin kx, y =
= m cos kx, y = m tg kx, y = m ctg kx.
П р и м е р. Построить график функции
y = -3 cos2x.
q Построим одну полуволну графика функции y = cos x. Осуществив ее сжатие к оси Îó с коэффи-
циентом 2, получим график функции y = cos2x. Теперь произведем растяжение построенного графика от оси Îõ с коэффициентом 3, а затем преобразование симметрии относительно оси Îõ. В результате будет построена полуволна графика фун-
êöèè y = -3 cos2x. Íà ðèñ. 69, à показана одна полуволна искомого графика, а на рис. 69, á — весь график. n
179
АЛГЕБРА
Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
à) |
|
á) |
|
|
|
Ðèñ.69
137.График гармонического колебания ó =
=Asin (wx + a). Тригонометрические функции используются для описания колебательных процессов. Один из наиболее важных процессов такого рода описывается формулой
y = A sin (wx + a),
которая называется формулой гармонических (èëè
синусоидальных) колебаний. Величина À называется амплитудой колебания, она характеризует размах колебания. Величина w называется частотой колебания. Чем больше w, тем больше число колебаний за единицу времени. Наконец, a называется
начальной фазой колебания.
П р и м е р. Построить график функции
æ x |
|
p |
ö |
|
y = 2 sin ç |
|
- |
|
÷. |
|
|
|||
è |
3 |
|
6 |
ø |
180