Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

открытым лучом. Знак « +¥ » читается : «плюс бесконечность».

Аналогично, рассматривают луч вида (-¥, b] (числа, удовлетворяющие неравенству x £ b ) и открытый

ëó÷ âèäà (-¥, b) (числа, удовлетворяющие неравен-

ñòâó õ < b). Знак « -¥ » читается: «минус бесконеч- ность».

В приведенной ниже таблице для каждого вида числового промежутка даны его геометрическое изображение, обозначение и запись с помощью неравенств.

41

На практике не всегда используют термины «интервал», «отрезок», «полуинтервал», «луч», заменяя их общим названием числовой промежуток.

28. Модуль действительного числа. Модулем (абсолютной величиной) действительного числа à íà-

зывается само это число, если a ³ 0, и противоположное число – à, åñëè à < 0. Модуль числа à обознача-

åòñÿ a. Èòàê,

ìa, åñëè a ³ 0, a = í

î- a, åñëè a < 0.

Например: p - 3 = p - 3, òàê êàê p - 3 > 0(p =

= 3,14...) ; - 3,7 = -(-3,7) = 3,7, òàê êàê -3,7 < 0.

Геометрически a означает расстояние на коор-

динатной прямой точки à от точки Î (рис. 6). Отметим свойства модулей:

29. Формула расстояния между двумя точками координатной прямой. Åñëè à è b — две точки координатной прямой, то расстояние между ними

r (à; b) выражается формулой r (à; b) = à – b (ðèñ. 7).

42

ßñíî, ÷òî r (à; b) = r (b; a). Òàê, r (–2; 5) = ½–2 –5½ =

=½–7½ = – (–7) = 7.

Ïр и м е р. Найти все такие точки õ, которые

удовлетворяют: а) уравнению x - 1 = 3; б) неравен-

ñòâó x + 1 £ 2; в) неравенству x + 1 > 2.

q а) Данному уравнению удовлетворяют такие точки õ, расстояние которых от точки 1 равно 3. Это точки –2 и 4 (рис. 8). Значит, уравнение имеет два корня: –2; 4.

б) Данному неравенству удовлетворяют такие точ- ки õ, которые удалены от точки –1 на расстояние, меньшее или равное 2. Это точки отрезка [–3, 1] (рис. 9).

в) Данному неравенству удовлетворяют точки õ, удаленные от точки –1 на расстояние, большее 2. Это точки двух открытых лучей: от - ¥ äî –3 è îò 1 äî

+ ¥ (на рис. 9 эти лучи заштрихованы). Используя

43

знак объединения множеств (см. п. 24), ответ можно записать так: (-¥, - 3) 7 (1, + ¥). n

30. Правила действий над действительными числами. Сумма двух чисел одного знака есть число того же знака; чтобы найти модуль такой суммы, надо сложить модули слагаемых. Например, (+12) + (+8) = = +20; (–12) + (–8) = –20.

Сумма двух чисел с разными знаками есть число, которое имеет тот же знак, что и слагаемое с большимX модулем; чтобы найти модуль этой суммы, надо из большего модуля вычесть меньший. Например, (+12) + + (–8) = + (12–8) = 4; (–12) + (+8) = – (12 – 8) = –4.

Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Например, 12 – (–8) = 12 + (+8) = 20; 12 – (+8) = 12 + (– 8) = 4.

Произведение (частное) двух чисел одного знака есть число положительное, а произведение (частное) двух чисел разных знаков есть число отрицательное; чтобы найти модуль произведения (частного), надо перемножить (разделить) модули данных чисел. Например, (–12) · (–8) = +12 · 8 = 96; (–24) : (+3) =

=-24 : 3 = - 8.

31.Свойства арифметических действий над действительными числами.

44

Эти свойства называют иногда основными законами алгебры, причем свойства 10 è 50 выражают

переместительный закон соответственно сложения è умножения, свойства 20 è 60 — сочетательный закон, а свойство 70 — распределительный закон умножения относительно сложения.

32. Пропорции. Пусть a, b, c, d — действительные числа, отличные от нуля, и пусть имеет место равенство a : b = c : d. Это равенство называют пропорцией, числа à è d — крайними членами, а числа b è ñ — средними членами пропорции. Для пропорции

используют и запись a = c . b d

Например, из чисел 2,5; –4; –5 и 8 можно соста-

вить пропорцию: 2,5 = - 5 . - 4 8

Ò.1.13. Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Ò.1.14. Крайние члены пропорции можно поменять

члены пропорции также можно поменять места-

45

33.Целая часть числа. Дробная часть числа. Пусть

õ— действительное число. Его целой частью называется наибольшее целое число, не превосходящее õ. Целая часть числа õ обозначается [x].

Дробной частью числа õ называется разность между самим числом и его целой частью, т. е. õ –

– [x]. Дробная часть числа õ обозначается {x}. Значит, {x} = õ – [x].

Например,

34.Степень с натуральным показателем. Пусть

à— действительное число, а n — натуральное число, большее единицы; n-é степенью числа à называют произведение n множителей, каждый из которых равен à, ò. å.

an = a × a ×...× a.

" "!

n множителей

Число à — основание степени, n — показатель степени. Åñëè n = 1, то полагают a1 = a.

Справедливы следующие свойства:

46

Например,

23 × 25 = 23+5 = 28;(23)5 = 23×5 = 215;

35. Степень с нулевым показателем. Степень с отрицательным показателем. Полагают по опреде-

лению: åñëè a ¹ 0 , òî à0 = 1. Например, (2,7)0 = 1; (–5)0 = 1. Нулевая степень числа 0 не имеет смысла.

Полагают по определению: åñëè a ¹ 0 è n — íà-

36. Стандартный вид положительного действительного числа. Любое положительное число à ìîæ-

но представить в виде a1 × 10n, ãäå 1 £ a1 < 10, à n —

целое число. Если положительное число представлено указанным образом, то говорят, что число à записано в стандартном виде; при этом показатель n

называют порядком числа.

Для того чтобы положительное число à представить в стандартном виде, нужно поставить запятую

47

так, чтобы в целой части оказалась одна значащая цифра (см. п. 13), и умножить полученное число на 10n так, чтобы в результате умножения запятая вернулась на то место, которое она занимала в числе à.

П р и м е р. Записать в стандартном виде число: а) à = 395; á) à = 4,13; â) à = 0,0023.

q а) Отделив в числе 395 первую значащую цифру, получим 3,95; чтобы вернуться к исходному числу, надо запятую передвинуть на две цифры вправо — это равносильно умножению на 102. Значит, 395= = 3,95 · 102, ò. å. à1 = 3,95 è n = 2.

б) Здесь одна значащая цифра уже отделена запятой, поэтому 4,13 = 4,13 · 100, ò. å. à1 = 4,13; è n = 0.

в) Отделив запятой в числе 0,0023 первую зна- чащую цифру, получим 2,3; чтобы вернуться к исходному числу, надо запятую передвинуть на три цифры влево — это равносильно делению на 103 или умножению на 10–3. Èòàê, 0,0023 = 2,3 · 10–3, ò. å. à1 = 2,3 è n = –3. n

37. Определение арифметического корня. Свойства арифметических корней. Åñëè a ³ 0 è n —

натуральное число, большее 1, то существует, и только одно, неотрицательное число õ такое, что выполняется равенство õn = à. Это число õ называется арифметическим корнем n-й степени из неотрицательно-

го числа à и обозначается n a. Число à называется

подкоренным числом, n — показателем корня. Åñëè n = 2, то обычно пишут a и называют это вы-

ражение квадратным корнем. Часто вместо термина «корень» употребляют термин «радикал».

48

Итак, согласно определению запись n a = x, ãäå a ³ 0 ,означает, во-первых, что x ³ 0 и, во-вторых, что

Свойство 10 распространяется на произведение любого числа множителей. Например,

3 8 × 27 × 125 === 3 8 × 3 27 × 3 125 = 2 × 3 × 5 = 30.

П р и м е р. Упростить:

49

ã) 6 a4 = 3 a2 (показатели корня и подкоренного выражения разделили на 2). n

38. Корень нечетной степени из отрицательного числа. Пусть à < 0, à n — натуральное число, большее 1. Если n — четное число, то равенство xn = à не выполняется ни при каком действительном значении õ. Это значит, что в области действительных чисел нельзя определить корень четной степени из отрицательного числа. Если же n — нечетное число, то существует одно и только одно действительное число õ такое, что xn = a. Это число обозначают

n a и называют корнем нечетной степени n из отрицательного числа à.

Например, 3 - 8 = -2, òàê êàê (–2)3 = –8;

5- 243 = –3, òàê êàê (–3)5 = –243.

Âслучае нечетных показателей корней свойства радикалов, справедливые для неотрицательных значе- ний подкоренных выражений (см. п. 37), верны и для отрицательных значений подкоренных выражений.

Например, 3 ab = 3 a × 3 b для любых à è b.

39. Степень с дробным показателем. Полагают по определению: åñëè a ³ 0 è m, n — натуральные

a n

ла не имеет смысла.

50