Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

чисел равно произведению этих чисел. Например, K (15, 16) = 15 · 16 = 240.

7. Признаки делимости. В некоторых случаях, не выполняя деления натурального числа n на натуральное число à, можно ответить на вопрос, делится ли n íà à без остатка или нет. Это достигается с помощью различных признаков делимости.

Иногда удобно пользоваться сокращенной записью

nMa , означающей, что натуральное число n делится на натуральное число à (без остатка).

Ò.1.2. Если в сумме натуральных чисел каждое слагаемое делится на натуральное число а, то и вся сумма делится на число а (теорема о делимости суммы).

Кратко это можно записать так:

åñëè mMa, nMa, kMa, òî è (m + n + k)Ma.

Однако не следует считать, что если каждое слагаемое суммы не делится на какое-то число, то и сумма не делится на это число. Например, сумма 37 + 19 делится на 4, хотя ни 37, ни 19 не являются кратными числа 4. Вместе с тем, заметим, что если все слагаемые, кроме одного, делятся на некоторое число, то сумма не делится на это число.

Ò.1.3. Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число (теорема о делимости произведения).

Например, не выполняя умножения, можно утверждать, что произведение 105 · 48 · 93 · 54 делится на 5, так как 105 делится на 5.

Ò.1.4. Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2 (признак делимости на 2).

11

Ò.1.5. Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра либо 0,

ëèáî 5 (признак делимости на 5).

Ò.1.6. Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0 (признак делимости на 10).

Ò.1.7. Натуральное число, содержащее не менее трех цифр, делится на 4 тогда и только тогда, когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа (признак делимости на 4).

Например, 4724 делится на 4, так как двузначное число 24 делится на 4; 4318 не делится на 4, поскольку двузначное число 18 не делится на 4.

Ò.1.8. Натуральное число, содержащее не менее трех цифр, делится на 25 тогда и только тогда, когда делится на 25 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа (признак делимости на 25).

Ò.1.9. Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (признак делимости на 3).

Например, 27 426 делится на 3, поскольку сумма его цифр, т. е. число 21, делится на 3. В то же время 17 945 не делится на 3, так как сумма его цифр, т. е. число 26, не делится на 3.

Ò.1.10. Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9 (признак делимости на 9).

Ò.1.11. Если натуральное число n имеет своими делителями числа а и b, то оно делится и на их наименьшее кратное.

П р и м е р. Не выполняя деления, установить, делится ли 26 775 на 225.

12

qНайдем сумму цифр числа 26 775. Она равна

27.Так как 27M9 , то по теореме 1.10 и 26 775M9.

Далее, так как 75M25 то по теореме 1.8 и 26 775M25. Наконец, так как числа 9 и 25 взаимно простые, то K (9, 25) = 9 · 25 = 225 (см. п.6), а по теореме 1.11 заданное число 26 775 делится на К (a, b), ò. å. íà 225. n

8.Употребление букв в алгебре. Переменные.

Âалгебре часто конкретные свойства чисел записывают с помощью букв. Например, переместительное свойство сложения записывают так: a + b = b + a, где вместо a è b можно подставить любые числа: 3 + 5 = = 5 + 3; 100 + 3501 = 3501 + 100 и т. д. Число, подставляемое вместо буквы, называют ее значением. В некоторых случаях (например, в уравнениях) вместо буквы можно подставить только определенные числа, чтобы написанное равенство было верным. Например, 7 + õ = 10 обращается в верное равенство лишь при õ = 3. Употребляемые в алгебре буквы называют переменными; смысл такого названия состоит в том, что числовое значение буквы можно изменить: например, в равенстве a + b = b + a можно положить à = 3, b = 5, а можно à = 7, b = 19 и т. д. — во всех случаях равенство будет верно. В равенстве 7 + õ = 10 можно положить õ = 3, а можно õ = 5; разница в том, что в первом случае получается верное числовое равенство, а во втором — неверное.

§2. Рациональные числа

9.Обыкновенные дроби. Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа. Обыкновенная

дробь — это число вида m , ãäå m è n — натураль- n

13

ные числа, например 12 , 15 . Число m называют ÷èñ-

17 8

лителем дроби, n — знаменателем. В частности,

может быть n = 1, в этом случае дробь имеет вид m , 1

но чаще пишут просто m. Это означает, что всякое натуральное число можно представить в виде обык-

новенной дроби со знаменателем 1. Запись m — n

другой вариант записи m : n.

Среди обыкновенных дробей различают правиль-

ные и неправильные. Дробь m называется правиль- n

íîé, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дро-

áè (или в виде натурального числа, если дробь m n

такова, что m кратно n).

Например, 43 = 39 + 4 = 39 + 4 = 3 + 4 . 13 13 13 13 13

Принято сумму натурального числа и правильной дроби записывать без знака сложения, т. е. вмес-

виде, называется смешанным. Оно состоит из двух

14

частей: целой è дробной. Так, для числа 3 4 целая

13

часть равна 3, а дробная равна 4 . Всякую непра- 13

вильную дробь можно записать в виде смешанного числа (или в виде натурального числа). Верно и обратное: всякое смешанное или натуральное число можно записать в виде неправильной дроби. Например,

4 1 = 4 + 1 = 12 + 1 = 13 ; 3 = 3 .

þòñÿ равными, åñëè ad = bc. Например, равными яв-

bbm

использованы сочетательное и переместительное свойства умножения натуральных чисел (см. п. 2). Зна-

÷èò, a = am , ò. å. если числитель и знаменатель

bbm

данной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной. Это свойство называется основным свойством дроби.

15

Пользуясь основным свойством дроби, иногда можно заменить данную дробь другой, равной данной, но с меньшим числителем и меньшим знаменателем. Такую замену называют сокращением дроби.

Например, 45 = 15 (числитель и знаменатель мы 60 20

разделили на одно и то же число 3); полученную дробь снова можно сократить, разделив числитель и

знаменатель на 5, т. е. 15 = 3 .

204

Âобщем случае сокращение дроби возможно, если числитель и знаменатель — не взаимно простые числа (см. п. 5); если же числитель и знаменатель — взаимно простые числа, то дробь называется несокра-

тимой: например, 3 — несократимая дробь. Основ-

4

ная цель сокращения дроби — замена данной дроби равной ей несократимой дробью.

11. Приведение дробей к общему знаменателю.

Пусть даны дроби 2 è 15 . Они имеют разные зна-

38

менатели: 3 и 8, но, воспользовавшись основным свойством дроби (см. п. 10), можно заменить эти дроби другими, равными им, причем такими, что у полу- ченных дробей будут одинаковые знаменатели. Такое преобразование называется приведением дробей к общему знаменателю.

Привести дроби к общему знаменателю можно многими способами, но обычно стараются привести дроби к наименьшему общему знаменателю, который равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.

16

П р и м е р. Привести к наименьшему общему

знаменателю дроби 7 è 11 . 24 30

q Найдем наименьшее общее кратное чисел 24 и 30, т. е. К (24, 30) = 120 (см. п. 6). Имеем 120 : 24 =

= 5, поэтому чтобы привести дробь 7 к знаменате-

24

лю 120, надо ее числитель и знаменатель умножить

= 44 . Таким образом, дроби приведены к общему

120

знаменателю: 7 = 35 ; 11 = 44 .n 24 120 30 120

Числа 5 и 4 называют дополнительными множителями соответственно для первой и второй дроби. Используется следующая запись:

7 = 7È5 = 35 ; 11 = 11È4 = 44 . 24 24 120 30 30 120

Итак, чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:

1)найти наименьшее общее кратное знаменателей дробей;

2)вычислить дополнительные множители, разде-

17

лив наименьшее общее кратное на каждый знаменатель;

3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.

12. Арифметические действия над обыкновенными дробями. Сложение обыкновенных дробей выполняют так:

а) если знаменатели дробей одинаковы, то к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби и оставляют тот же знаменатель, т. е.

a + c = a + c ; b b b

б) если знаменатели дробей различны, то сначала приводят дроби к общему знаменателю, предпочтительнее к наименьшему, а затем применяют правило а).

Например,

Вычитание обыкновенных дробей выполняют следующим образом:

а) если знаменатели дробей одинаковы, то

a - c = a - c ; b b b

б) если знаменатели различны, то сначала приводят дроби к общему знаменателю, а затем применяют правило а).

Умножение обыкновенных дробей выполняют так: a × c = ac ,

b d bd

т. е. перемножают отдельно числители, отдельно зна-

18

менатели, первое произведение делают числителем, второе — знаменателем.

Деление обыкновенных дробей выполняют так: a : c = ad ,

b d bc

т. е. делимое a умножают на дробь d , обратную де-

П р и м е р 1. Найти значение числового выражения

менатель на 3 (это полезно сделать до выполнения умножения в числителе и знаменателе), получим

3) При нахождении значения выражения 16 +

15

19

+21 - 11 сложение и вычитание можно выполнять

20 30

одновременно. Наименьшим общим кратным чи- сел 15, 20, 30 является число 60. Приведем все три дроби к знаменателю 60, использовав дополнительные множители: для первой дроби 4, для второй 3, для третьей 2. Получим

q а) Обратим сначала каждое из данных смешанных чисел в неправильную дробь, а затем выполним сложение:

2 1 = 2 + 1 = 14 + 1 = 15 ; 3 2 = 3 + 2 = 9 + 2 = 11 ;

б) В случае умножения и деления смешанных чисел всегда переходят к неправильным дробям:

20