Глава 3,4
.pdfГлава 3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
3.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Функция f (x) : X ® ¡ возрастает (убывает) в точке x = x0 X ,
если существует некоторая окрестность этой точки, в которой |
|
|
|
||||||||||||||||||
ì f |
( |
x |
) |
> f |
( |
x |
при x > x |
; |
æ |
ì f |
( |
x |
) |
< f |
( |
x |
при x > x ;ö |
(3.1) |
|||
ï |
|
|
0 ) |
0 |
|
ç |
ï |
|
|
0 ) |
|
0 |
÷ |
||||||||
ï |
( |
x |
) |
< f |
( |
0 ) |
0 |
|
ç |
ï |
( |
x |
) |
> f |
( |
0 ) |
|
0 |
|
|
|
í f |
|
|
|
x |
при x < x , |
í f |
|
|
|
x |
при x< x .÷ |
|
|
||||||||
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
Если обозначить |
x = x − x0 , |
|
Df = f (x) |
- f (x0 ) , то определение |
|||||||||||||||||
можно переформулировать следующим |
образом: |
функция f (x) |
|||||||||||||||||||
возрастает |
|
(убывает) |
в точке |
x = x0 , |
если |
при |
Dx ¹ 0 |
|
f |
> 0 |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dx |
( Dfx < 0). Точка, в которой функция возрастает (убывает), называет-
ся точкой возрастания (убывания) функции f (x).
|
Функция f (x): X → ¡ называется: |
|||||||
– неубывающей на множестве A , если |
|
|
|
|
||||
"x1 |
, x2 Î A I X x1 ¹ x2 |
Þ |
f (x1 ) - f |
(x2 ) |
³ 0; |
|||
x1 |
- x2 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
– невозрастающей на множестве A , если |
|
|
|
|||||
"x1 |
, x2 Î A I X x1 ¹ x2 |
Þ |
f (x1 ) - f |
(x2 ) |
£ 0; |
|||
x |
- x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
– возрастающей на множестве A, если 1 |
|
2 |
|
|
||||
"x1 |
, x2 Î A I X x1 ¹ x2 |
Þ |
f (x1 ) - f |
(x2 ) |
> 0; |
|||
x1 |
- x2 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
– убывающей на множестве A, если |
|
|
|
|
||||
"x1 |
, x2 Î A I X x1 ¹ x2 |
Þ |
f (x1 ) - f |
(x2 ) |
|
< 0. |
||
x1 |
- x2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
Неубывающие, невозрастающие, убывающие и возрастающие функции объединяются общим наименованием монотонные функции;
убывающие и возрастающие функции называются также строго мо-
нотонными.
67
Определение предела функции по Коши
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Символическая запись |
|
Определение предела для функции |
|
f (x) , определенной на множестве X |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→x0 |
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
x ® x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < x - x0 < d |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim f |
|
|
x |
|
|
|
= p |
|
|
|
|
|
d = d(e) > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
lim |
f (x) = p |
|
|
x ® x0 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < x - x0 |
< d |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x→x0 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f (x) = p |
f (x) ® p |
при |
x ® x0 - |
ε > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
"x |
|
( |
x Î X |
, |
-d < x - x0 |
< 0 |
) Þ |
|
f (x) - p |
|
< e |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→x0 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
lim f |
( |
x |
) |
= p |
|
|
x → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
> D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim f |
( |
x |
) |
= p |
|
|
x → +∞ |
|
|
D = D |
( |
e |
) |
> |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim f (x) = p |
|
|
x → −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x < -D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ® x0 |
|
|
d = d(e) > 0 |
|
|
|
|
|
|
0 < |
|
x - x0 |
|
< d |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ® x0 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < x - x0 < d |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) ® p + 0 при |
x ® x0 - |
ε > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
( |
x |
|
X |
, |
-d < x - x0 |
< 0 |
) Þ 0 |
< f (x) - p < e |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
> D |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = D(e) > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x < − |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ® x0 |
|
|
d = d(e) > 0 |
|
|
|
|
|
|
0 < |
|
x - x0 |
|
< d |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ® x0 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < x - x0 < d |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) ® p - 0 при |
x ® x0 - |
ε > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
( |
x |
|
X |
, |
-d < x - x0 |
< 0 |
) Þ - e < f (x) - p |
< 0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
> D |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = D(e) > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x < -D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Символическая запись |
|
Определение предела для функции |
f (x) , определенной на множестве X |
||||||||||||||||||||||
lim f (x) = ¥ |
|
|
x ® x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < |
|
|
x - x0 |
|
|
< d |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d = d(E ) > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f (x) = ¥ |
|
|
x ® x0 + |
|
|
|
|
|
|
|
0 < x - x0 |
< d |
|
|
|
|
||||||||||||||||
x→ x0 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f (x) = ¥ |
f (x) ® ¥ при |
x ® x0 - |
Ε > 0 |
|
x ( x X |
, |
-d < x - x0 |
< 0 |
) Þ |
|
f (x) |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x→ x0 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> E |
||||||||||||
lim f |
(x) |
= ¥ |
x → ∞ |
|
|
|
|
x |
|
> D |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = D(E ) > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f |
( |
x |
) |
= ¥ |
|
|
x → +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > D |
|
|
|
|
|
||||||||||
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim f (x) = ¥ |
|
|
x → −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x < − |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x→ −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f |
|
( |
x |
) |
|
= +¥ |
|
|
x ® x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < |
|
x - x0 |
|
< d |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d = d(E ) > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
lim |
f (x) = +¥ |
|
|
x ® x0 + |
|
|
|
|
|
|
|
0 < x - x0 |
< d |
|
|
|
|
||||||||||||||||
x→x0 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f (x) = +¥ |
f (x) ® +¥ при |
x ® x0 - |
Ε > 0 |
|
"x ( x Î X |
, |
-d < x - x0 |
< 0 |
) Þ f (x) > E |
|||||||||||||||||||||||
x→x0 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
lim f |
(x) |
= +¥ |
x → ∞ |
|
|
|
|
x |
|
> D |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = D(E ) > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f |
( |
x |
) |
= +¥ |
|
|
x → +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > D |
|
|
|
|
|
||||||||||
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim f (x) = +¥ |
|
|
x → −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x < − |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x→ −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f (x) = -¥ |
|
|
x ® x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < |
|
x - x0 |
|
|
< d |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d = d(E ) > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f (x) = -¥ |
|
|
x ® x0 + |
|
|
|
|
|
|
|
0 < x - x0 |
< d |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x→x0 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f (x) = -¥ |
f (x) ® -¥ |
при |
x ® x0 - |
Ε > 0 |
|
|
x |
( |
x |
|
X |
|
-d < x - x0 |
< 0 |
) Þ f (x) < -E |
||||||||||||||||||
x→x0 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim f |
(x) = -¥ |
|
|
x → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
> D |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = D(E ) > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f |
( |
x |
) |
= -¥ |
|
|
x → +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > |
|
|
|
|
|
||||||||||
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim f (x) = -¥ |
|
|
x → −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x < − |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x→ −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р 3.1. Докажем по определению, что lim x2 = 4.
x→2
4Так как понятие предела функции в точке локальное, то, не нарушая общности, можно рассматривать всюду определенную функцию f (x) лишь на интервале X = (1,3). Тогда
ε > 0 δ = ε /5 > 0 "x Î X 0 < |
|
x - 2 |
|
< d |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
x2 - 4 |
|
= |
|
x - 2 |
|
× |
|
x + 2 |
|
< 5 |
|
x - 2 |
|
£ 5 |
|
|
ε |
= e .3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лемма 3.1 (О связи предела функции с односторонними пре-
делами): |
Обозначим AΡ U{+¥,-¥}, |
B Î{+¥,-¥} , C = {+¥,-¥,¥}. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
lim |
f |
(x) = lim f (x) = A |
|
Û lim f (x) = A . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2. |
|
x→x0 |
+ |
f |
|
|
|
x→x0 − |
(x) = A |
|
|
|
x→x0 |
(x) = A. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
lim |
|
(x) = lim f |
Û lim f |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
x→+∞ |
|
|
|
|
x→−∞ |
|
f (x) = B |
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
lim |
f |
(x) = - lim |
|
|
|
Þ lim f (x) = ¥ . |
|
||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
x→x0 |
+ |
f |
|
|
|
|
x→x0 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
lim |
|
(x) = - lim |
f (x) = B |
|
Þ lim f (x) = ¥. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
5. |
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
x→−∞ |
|
|
|
|
f (x)ÎC |
x→∞ |
|
|
|
|
(x)ÎC . |
|
||||||||||||||
|
lim f (x) = ¥ |
Þ lim |
|
|
lim |
|
f |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→x0 |
|
( |
x |
) |
|
|
|
x→x0 + |
f |
( |
x |
) |
ÎC |
|
x→x0 − |
( |
x |
) |
ÎC . |
|
||||||||||||
6. lim f |
= ¥ |
Þ |
|
lim |
|
lim f |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
x→−∞ |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Определение предела функции по Гейне |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Символическая запись |
|
|
|
|
Определение предела для функции f (x) , |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
определенной на множестве X |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim f (x) = S |
|
|
|
f (x) ® S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"n xn Î X , |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
при x®x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn¹x0 , |
|
||||||||||||||||
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
lim xn = x0 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
f |
( |
x |
) |
= S |
|
|
f (x) ® S |
|
|
|
|
|
|
|
"n |
|
xn Î X , |
|
|||||||||||||||
|
|
при x®x0 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
xn>x0 , |
|
||||||||||||||||
x→ x0 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
f |
( |
x |
) |
|
= S |
|
|
f (x) ® S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n xn Î X , |
|
||||||||||||
|
|
|
при x®x0- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
<x0 , |
|
|||||||||||||||
x→ x0 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"{xn } |
( |
|
|
|
|
|
|
) Þ lim f (xn ) = S |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) ® S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim f |
( |
x |
) |
= S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"n |
|
xn Î X |
n→∞ |
||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
f |
(x) = S |
|
|
f (x) ® S |
|
|
|
|
|
|
|
lim xn =∞ и |
"n xn Î X , |
|
|||||||||||||||||||
|
|
при x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn>0 |
|
|||||||||||||||||||||
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
f |
( |
x |
) |
|
= S |
|
|
f (x) ® S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n xn Î X , |
|
||||||||||||
|
|
|
при x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn<0 |
|
||||||||||||||||
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е ч а н и е : S Ρ U{¥,+¥,-¥} .
70
З а м е ч а н и е 1. Чтобы доказать, используя определение предела
функции по Гейне, что предел lim f (x) не существует, достаточно |
|
x→S |
при n → ∞ последовательно- |
найти две различные, сходящиеся к S |
сти аргументов функции {xn′} и {xn′′} такие, что при n → ∞ соответ-
ствующие последовательности значений функции сходятся к раз- ным значениям:
lim f (xn′ |
) = A, lim f (xn′′) = B , A ¹ B , A, B, S Ρ U{+¥,-¥,¥} . |
|
n→∞ |
|
n→∞ |
З а м е ч а н и е |
2. Чтобы доказать, используя определение предела |
функции по Гейне, что предел lim f (x) существует, достаточно по-
x→S
казать, что для двух произвольных, сходящихся к S при n → ∞ , по- следовательностей аргументов функции {xn′} и {xn′′} соответствую-
щие последовательности значений функций сходятся к одному зна-
чению, то есть lim f (xn′ |
) = lim f (xn′′), где S Î ¡U{+¥,-¥,¥} . |
n→∞ |
n→∞ |
З а м е ч а н и е 3. Чтобы найти предел lim f (x), используя опреде-
x→S
ление предела функции по Гейне, необходимо сначала доказать,
что он существует, а потом, взяв некоторую последовательность
аргументов {xn } , сходящуюся к S , вычислить предел lim f (xn ) , ко- |
||||
x→S |
( |
x |
) |
n→∞ |
торый, при наличии предела lim f |
|
|
, существует и равен ему по |
значению.
З а м е ч а н и е 4. Определение предела по Гейне используется в основном в доказательствах теорем и для доказательства несущест- вования предела, в то время как определение предела по Коши
обычно используется для доказательства того, что lim f (x) = A, где |
||||||||||||||
AÎ ¡ U{+¥,-¥,¥} . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→S |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
П р и м е р 3.2. Докажем, что предел limsin |
|
1 |
|
не существует. |
||||||||||
x |
-1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
{xn¢¢} , для которых |
||||
4Выберем две последовательности: |
{xn¢} |
и |
||||||||||||
lim xn′ = lim xn′′ = 1, |
|
но |
lim f (xn′ ) ¹ lim f (xn′′). |
Например, если |
||||||||||
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|
|
||
xn¢ =1+ |
1 |
и xn¢¢ = 1+ |
|
|
|
2 |
, то |
|
|
|
|
|
||
|
|
(4n - 3)p |
|
|
|
|
|
|||||||
|
pn |
|
|
lim f (xn¢ ) = 0, lim f (xn¢¢) = 1. |
||||||||||
|
lim xn′ = 1, lim xn′′ = 1, |
|||||||||||||
|
n→∞ |
n→∞ |
|
n→∞ |
|
|
n→∞ |
|||||||
Значит, limsin |
1 |
|
|
не существует. 3 |
|
|
|
|
|
|||||
x -1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Свойства [конечных] пределов |
|
|
|
|
|
71
1. Един- ствен-
ность
2. Огра- ничен-
ность
Арифметические |
свойства |
3. |
|
|
4. Свойства пределов, связанные с неравенствами |
S = x0 |
S = x0 + |
S = x0 − |
|
|
|
Если lim f (x) = p1 |
и lim f (x) = p2 , то p1 = p2 |
x→S |
x→S |
Если f (x) ® p при x ® S , то существует d > 0, такое что f (x) ограничена на множестве
(x0 − δ, x0 + δ) |
|
|
|
|
(x0 , x0 + δ) |
|
|
(x0 − δ, x0 ) |
||
x→S |
( |
x |
) |
x→S |
( |
x |
) |
= q , то |
||
Если lim f |
|
|
|
= p и lim g |
|
|
lim( f (x) + g (x)) = p + q , lim( f (x) - g (x)) = p - q ,
x→S x→S
lim( f (x) g (x)) = pq
x→S
Если lim f |
( |
x |
) |
= p и lim g |
( |
x |
) |
= q и q ¹ 0, то lim |
f (x) |
= |
|
p |
|
||||
|
|
q |
|||||||||||||||
x→S |
|
x→S |
|
|
|
x→S |
g (x) |
||||||||||
Если f (x) ® p при x → S , и существует δ > 0, |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
такое что |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
"x Î(x0 - d, x0 + d) \ {x0} |
|
|
"x Î(x0 , x0 + d) |
|
"x Î(x0 - d, x0 ) |
||||||||||||
|
|
f (x) > q (или f (x) ³ q ), то p ³ q |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
Если f (x) ® p при x → S , и существует δ > 0, |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
такое что |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
"x Î(x0 - d, x0 + d) \ {x0} |
|
|
"x Î(x0 , x0 + d) |
|
"x Î(x0 - d, x0 ) |
||||||||||||
|
|
f (x) < q (или f (x) £ q ), то p ≤ q |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
Если f (x) ® p и g (x) ® q при x → S и существует |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
δ > 0, такое что |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
"x Î(x0 - d, x0 + d) \ {x0 } |
|
|
"x Î(x0 , x0 + d) |
|
"x Î(x0 - d, x0 ) |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
g (x) ³ f (x), то q ³ p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|||||||||||||||
Пусть f (x) ® p и g (x) ® p при x → S |
|
и существует |
|||||||||||||||
|
|
|
|
δ > 0, такое что |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
"x Î(x0 - d, x0 + d) \ {x0} |
|
|
"x Î(x0 , x0 + d) |
|
"x Î(x0 - d, x0 ) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g (x) ³ h(x) ³ f (x), то h(x) ® p при x → S
72
1. Един- ствен-
ность
2. Огра- ничен-
ность
Арифметические |
свойства |
3. |
|
|
4. Свойства пределов, связанные с неравенствами |
S = ∞ |
S = +∞ |
S = −∞ |
|
|
|
Если lim f (x) = p1 |
и lim f (x) = p2 , то p1 = p2 |
x→S |
x→S |
Если f (x) ® p при x → S , то существует δ > 0, такое что f (x) ограничена на множестве
(−∞, −δ) U(δ, +∞) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(δ, +∞) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(−∞, −δ) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→S |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→S |
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x |
) |
|
|
|
|
|
|
x |
= q |
, то |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x→S ( |
|
( |
Если lim f |
|
|
= p и lim g |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
f |
x |
) |
+ g |
( |
x |
)) |
= p |
|
|
|
|
x→S ( |
f |
( |
x |
) |
- g |
( |
x |
)) |
= p - q |
, |
|
|
|
||||||||||
lim |
|
|
|
|
+ q , lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→S ( |
f |
( |
x |
) |
g |
( |
x |
)) |
= pq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Если lim f |
(x) = p и lim g (x) = q и q ¹ 0, то lim |
f (x) |
= |
|
p |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
g (x) |
q |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x→S |
|
|
|
|
|
|
|
x→S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→S |
|
|
|||||||
Если f (x) ® p при x → S , и существует δ > 0, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
такое что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x (−∞,−δ)U(δ, +∞) |
|
|
|
|
|
|
|
x (δ,+∞) |
|
|
|
|
x (−∞,−δ) |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f (x) > q |
(или f (x) ³ q ), то p ³ q |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Если f (x) ® p при x → S , и существует δ > 0, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
такое что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x (−∞,−δ)U(δ, +∞) |
|
|
|
|
|
|
|
x (δ,+∞) |
|
|
|
|
x (−∞,−δ) |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f (x) < q (или |
|
f (x) £ q ), то p £ q |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Если f (x) ® p и g (x) ® q при x → S и существует |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ > 0, такое что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x (−∞,−δ)U(δ, +∞) |
|
|
|
|
|
|
|
x (δ,+∞) |
|
|
|
|
x (−∞,−δ) |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
g (x) ³ f (x), то q ³ p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть |
f (x) ® p и g (x) ® p при x → S и существует |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ > 0, такое что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x (−∞,−δ)U(δ, +∞) |
|
|
|
|
|
|
|
x (δ,+∞) |
|
|
|
|
x (−∞,−δ) |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g (x) ³ h(x) ³ f (x), то h(x) ® p при x → S
73
Функция f (x) : X ® ¡ называется:
– ограниченной сверху на мно- |
– неограниченной сверху на мно- |
||||||||
жестве A, если |
|
|
|
|
жестве A, если |
||||
$c "x Î A I X f (x) £ c ; |
"c $x Î A I X f (x) > c ; |
||||||||
– ограниченной cнизу на мно- |
– неограниченной снизу на мно- |
||||||||
жестве A, если |
|
|
|
|
жестве A, если |
||||
$c "x Î A I X f (x) ³ c ; |
"c $x Î A I X f (x) < c ; |
||||||||
– ограниченной на множестве A, |
– неограниченной намножестве A, |
||||||||
$ |
" Î |
A I X |
|
f (x) |
£ |
c ; |
если "c $x Î A I X |
f (x) |
> c . |
если c |
x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точные грани функции
Если f (x): X ® ¡ ограниченная функция, то
s = sup f |
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
1) x A I X f (x) ≤ s ; |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2) |
ε>0 x A I X |
|
f (x )> s −ε |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
< s |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
′ |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или s |
|
x A I X |
|
|
|
f (x |
) > s |
|||||||||||||||||||||||
i = inf |
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
1) x A I X i ≤ f (x); |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
f |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
ε>0 x A I X |
f (x )<i +ε |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
>i |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
) |
′ |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или i |
|
|
x A I X |
|
|
|
|
f (x |
<i |
|||||||||||||||||||
Если для функции |
f (x) |
на отрезке [a,b] |
точная верхняя грань и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точная нижняя грань достижимы, то |
|
A = sup |
f |
( |
x |
) |
|
называют мак- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x [a,b] |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
симальным |
значением |
|
f |
x |
, а B |
|
|
x [a,b] |
f |
( |
x |
|
|
– |
|
|
минимальным |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
inf |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
значением f |
( |
x |
) |
, и пишут A = max f |
( |
|
x |
) |
, |
B = min f |
( |
x |
) |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x [a,b] |
|
|
|
|
|
|
|
x [a,b] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Если f (x) : X → ¡ неограничена сверху (снизу) на множестве A , то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x A |
|
( |
x |
) |
|
|
|
|
|
x A |
f |
( |
x |
) |
= −∞ ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sup f |
|
|
= +∞ (inf |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция |
|
f (x) : X → ¡ является |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
бесконечно малой (БМ) |
|
|
|
|
бесконечно большой (ББ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в окрестности предельного значения S , если |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→S |
|
|
|
( |
x |
) |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→S |
|
|
( |
x |
) |
= ∞ . |
|
|
||||||||||||||
lim f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74
Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций
БМ функции |
ББ функции |
1. БМ функция ограничена |
1. ББ функция не ограничена. |
2. Сумма, разность и произве- |
2. Произведение ББ функций есть ББ функ- |
дение БМ функций есть БМ |
ция. Сумма и разность ББ функций не |
функция |
обязательно являются ББ функциями |
3.Пусть f (x) – БМ функция, а g (x) – ББ функция, тогда:
–функции g (x) + f (x) и g (x) - f (x) являются ББ функциями;
–функция g (x) f (x) может быть любой (то есть и БМ, и ББ, и не яв-
ляться ни ББ, ни БМ)
|
4. f |
( |
x |
) |
– БМ функция тогда и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→S |
|
|
( |
x |
) |
= ¥ , необходимо |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4. Для того чтобы lim f |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
только |
|
тогда, |
когда |
функция |
и достаточно, чтобы lim |
|
f |
( |
x |
) |
|
= +¥ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f (x) |
|
является БМ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
5. Если |
f (x) – БМ функция, и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в некоторой |
окрестности пре- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
дельного значения |
S |
f (x) ¹ 0 , |
5. Если |
|
|
f (x) |
|
– ББ, то |
|
|
|
|
|
|
|
– БМ функция |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f (x) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
то функция |
|
является ББ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Если |
|
|
|
f (x) |
|
– ББ функция и в некоторой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
окрестности предельного значения S |
|
функция |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g (x) удовлетворяет условию |
|
|
g (x) |
|
> c , то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6. Если |
f (x) |
– БМ функция, и |
произведение g (x) f (x) |
|
– ББ функция |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7а. Если lim f |
( |
x |
) |
= +¥ |
|
|
7б. Если lim f |
( |
|
x |
) |
= -¥ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в некоторой окрестности пре- |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→S |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
дельного |
значения |
S |
функция |
и в некоторой окрестности предельного значе- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
g (x) |
|
удовлетворяет |
условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния S функция g (x) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
g (x) |
|
< c , |
|
то |
произведение |
|
|
|
|
|
|
1) удовлетворяет условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g (x) > c > 0, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
g (x) f (x) – БМ функция |
|
( |
x |
) |
|
g |
( |
x |
) |
|
|
( |
x |
) |
g |
( |
x |
) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x→S |
|
|
= +¥ ; |
|
|
|
|
x→S |
|
|
|
= -¥ ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) удовлетворяет условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
( |
|
|
) |
|
g (x) < c < 0 , то |
|
( |
|
) |
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→S |
x |
g |
x |
= -¥ |
|
|
|
|
x→S |
|
|
|
x |
g |
|
x |
= +¥ |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пр и м е ч а н и я :
1.Все свойства остаются справедливыми и для последовательностей, так как
последовательность – это функция натурального аргумента.
2. Все свойства справедливы лишь в некоторой окрестности предельной точки
S , где S Î{x0 , x0 + 0, x0 - 0,¥,+¥,-¥} .
75
3.2. СУЩЕСТВОВАНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Теорема 3.1. Пусть функция |
f : X → ¡ возрастает (убывает) на |
|||
множестве X |
таком, что α = inf X , |
β = sup X . |
Причем α X , |
|
β X . Тогда |
|
|
|
|
ì lim |
f (x) = inf f (x), |
æ ì lim |
f (x) = sup f (x),ö |
|
ïx→α+ |
x X |
ç ïx→α+ |
x X |
÷ |
í |
|
ç í |
|
÷ |
ïlim f (x) = sup f (x), |
ç ï lim |
f (x) = inf f (x). ÷ |
||
îx→β− |
x X |
è îx→β− |
x X |
ø |
4Рассмотрим случай возрастающей функции (случай убываю- щей функции доказывается аналогично).
1. Допустим сначала, что f (x) возрастает и ограничена сверху.
Тогда для множества значений функции существует конечная точ- ная верхняя грань A. Докажем, что это число A и будет искомым пределом при x → β −.
Пусть задано произвольное ε > 0 . Тогда, по определению точной верхней грани, найдется такое значение x′ < β, что f (x′) > A - e .
Ввиду монотонности функции для x > x′ получим f (x) > f (x′) > A - e .
Так как A – верхняя грань множества значений функции f (x) , то можно утверждать, что "x Î X f ( x) £ A < A + e . Таким образом,
для упомянутых значений |
|
x |
выполняется неравенство |
||||||||
|
f (x) - A |
|
< e. Это и доказывает, что |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
lim f |
( |
x |
) |
= sup f |
( |
x |
) |
. |
|
|
|
x→β− |
|
x X |
|
|
Действительно, в определении предела по Коши при конечном β
достаточно положить δ = β − x′ , а при β = +∞ взять |
= x′. |
|||||
2. Если функция f (x) сверху не ограничена, то, |
каково бы ни |
|||||
было число E , |
найдется такое x′ , |
что f (x′) > E . Тогда для x > x′ |
||||
получим f (x) |
> f (x¢) > E . После |
этого |
в |
определении предела |
||
lim f (x) = +¥ |
по Коши при |
конечном |
β |
достаточно положить |
||
x→β− |
|
= x′. |
|
|
|
|
δ = β − x′ , а при β = +∞ взять |
|
|
|
|||
Аналогично доказывается, что lim f (x) = inf f (x). 3 |
||||||
|
|
x→α+ |
|
x X |
|
76