Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Глава 3,4

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.03.2016

Размер:

546.03 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

3.5. ПРЕДЕЛ ПОКАЗАТЕЛЬНО-СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ

Чтобы свести вычисление предела показательно-степенной

функции éu (x)ùv(x)

u(x) > 0 , к рассмотренным ранее функциям,

достаточно представить ее в виде

éu

(

ùv(x) = exp

{

(

)

×lnu

(

)}

)û

(напомним, что показательно-степенная функция определена для

всех x, для которых u (x) > 0 ).		Тогда, если существует конечный
или бесконечный предел выражения v(x)×ln u(x) , то
lim éu(x)ùv( x) = exp		lim év(x)×lnu (x)ù		.	(3.9)
x→S ë	û	{x→S ë	û}

В следующей таблице приведены все возможные случаи вычис- ления предела показательно-степенной функции.

limu(x)	limv(x)	lim éu		(	x ùv(x)
x→S	x→S	x→S	ë	(	)û
x→S	x→S	x→S

b > 0	c		bc
0 < b < 1	+∞			0
0 < b < 1	−∞		+∞
	−∞		+∞
1	∞	неопределенность 1∞
b > 1	+∞		+∞
b > 1	−∞			0
	−∞			0
	c > 0 (или +∞ )			0
0	c < 0 (или −∞ )		+∞
	0	неопределенность 00
	c > 0 (или +∞ )		+∞
+∞	c < 0 (или −∞ )			0
	0	неопределенность ¥0
П р и м е ч а н и е :	c ¡..

3.6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

Всего существует семь неопределенных выражений, условно характеризуемых символами:

0	,	∞	, 0 ×¥,	¥ - ¥, 1∞ , 00 , ¥0 .
0		¥

Непосредственное применение теорем о свойствах пределов и теорем о бесконечно малых и бесконечно больших функциях не да- ет возможности вычислить такие пределы. В этих случаях для вы- числения пределов – раскрытия неопределенностей – необходимо преобразовать выражение так, чтобы получить возможность его вы- числить.

Неопределенность (¥ - ¥)

П р и м е р 3.6.

lim (

+ x)

(x2 + 5x)- x2

x2 + 5x

= lim

x→−∞

x→−∞ x2 + 5x - x

= lim

= -

x→−∞ x2

+ 5x - x

x→−∞ -

1+ 5/ x -1

Неопределенность

¥ ö

П р и м е р 3.7. Если anbm ¹ 0 ,

m ³ 0,

n ³ 0, то

¥,

n > m;

a xn + a

xn−1

+ ... + a

ï a

lim

n−1

= í

n = m;

xm−1

+ ... + b

x→∞ b xm

+ b

m−1

n < m.

4Пусть m > n ³ 0, тогда

xn−1 +... + a x + a

a xn

+ a

lim

n−1

+ b

xm−1 + ...+ b x + b

x→∞ b xm

m−1

an−1

+ ...+

0 ÷ = 0.

= lim

m−n

m−n+1

m−1

x→∞

bm 1

bm +

−

+ ... +

m ø

xm−m+1

xm−1

Аналогично доказывается,

что при n > m ³ 0,

anbm ¹ 0

lim

xn + a

n−1

xn−1

+ ... + a x + a

æ a

= ¥;

xm−1 + ...+ b x + b

x→∞ b xm + b

m−1

при n = m ³ 0, a b

¹ 0 lim

xn + a

n−1

xn−1 +... + a x + a

xm−1 +... + b x + b

n m

x→∞ b xm + b

m−1

Неопределенность

П р и м е р 3.8. Если ak bl

¹ 0, l ³ 0 ,

k ³ 0,

m > l , n > k , то

k > l;

a xn

+ a

xn−1 + ... + a

lim

−1

ïa

k = l;

xm−1 + ... + b xl

x→0 b xm + b

m−1

¥, k < l.

a xn + a

xn−1 + ... + a xk

4Пусть l > k ³ 0, тогда lim

n−1

+ b

xm−1

+ ...+ b xl

x→0 b xm

m−1

= lim

xn−k

+ a

n−1

xn−1−k

+... + a

xk −k

æ a

= ¥ .

b xm−k

xm−1−k

+ ... + b xl−k

x→0

+ b

m−1

Аналогично доказывается,

что при k > l ³ 0,

ak bl

¹ 0

an x

+ an−1x

n−1

+ ... + ak x

lim

= ç

= 0 ,

x→0

b xm + b

xm−1 + ... + b xl

m−1

при k = l ³ 0, a b ¹ 0

lim

+ a

n−1

xn−1 + ... + a

xm−1 + ... + b xl

x→0

b xm + b

m−1

Пр им ер 3.9.

(

)(

)

−

x3 − 3x − 2

x +1

x -1

x + x

x − x − 2

x -1

x +1

lim

= lim

(

)(

)

x→−1 x3 - 3x - 2

x→−1

2 -

−x

− 3x − 2

1 x

x -1

− −x2 − x

= lim

= ¥.

−

−2x − 2

x→−1 x2 - x - 2

−2x − 2

Неопределенность (0 × ¥)

П р и м е р 3.10.

x ö

lim

1+ cos x × tg

x→π+0

2 x

= êp < x <

1+ cos x =

2cos

= -

2 cos

2 .

lim

- 2 cos

× tg

lim

ç -

2 sin

÷ = -

x→π+0 è

Неопределенность (1∞ )

П р и м е р 3.11.

1/ x3

æ 1

öü

lim(1- 2x

)

= exp

ílimç

ln(1-

)

÷ý

éy = -2x

x→0

îx→0

è x

øþ

2ln(1+ y)

= exp ïlim

öï = e−2 .

í y→0

÷ý

øï

Неопределенность (00 )

П р и м е р 3.12. lim xx

= exp{lim

(xln x)}= e0 =1.

П р и м е р 3.13.

x→+0

öx

öü

lim

= exp

ílim

ç xln

÷ý

+ x

x→+0

è1

îx→+0

øþ

= exp

lim (xln x) - lim

(xln(1+ x))

= e0 =1.

{x→+0

→+0

}

Неопределенность (¥0 )

П р и м е р 3.14.

1/ x

= exp

æ 1

öü

= e

=1.

lim x

í lim

ln x÷ý

x→+∞

îx→+∞

è x

øþ

öx

{

}

П р и м е р 3.15. lim

= exp

- lim

(

× ln

(

tg x

))

x→+0 è tg x

x→+0

{

}

(

))

[

]

(

æ x

)

= exp ì- lim

tg x

× ln

tg x

öü =

= tg x

= exp

lim

t lnt

= e0 =1.

è tg x

î x→+0

øþ

t→+0

	Метод выделения главной части функции
Пусть заданы функции f (x) : X ® ¡ и			g (x) : X ® ¡. Если
функция g (x) для всех x Î X представима в виде
		g (x) = f (x) + o( f (x)), x ® S ,		(3.10)
то функция f (x)		называется главной частью функции g (x) при x ® S .
П р им е р 3.16. Главная часть функции sin x			при x ® 0 равна x ,
так как		sin x = x + o( x) при x ® 0.

П р и м е р	3.17. Если Pn (x) = an xn + ...+ ak xk ,		ak	¹ 0, то функция
f (x) = an xn	– главная часть многочлена Pn (x)		при x → ∞ , а функ-
ция f (x) = ak xk		– главная часть многочлена Pn (x)		при x ® 0.
З а м е ч а н и е .		Главная часть определяется неоднозначно, так как

из (3.10) следует, что любая функция h(x), эквивалентная f (x) при x ® S , также является главной частью функции g (x) .

Теорема 3.4. Пусть X ¡, x0 ¡ и x0 – предельная точка множества X . Если функция f (x) : X ® ¡ обладает при x → x0

главной частью вида A(x - x0 )k , A ¹ 0 , где A и k – постоянные, то

среди всех главных частей такого вида она определяется единствен- ным образом (то есть A и k определяются однозначно).

4Докажем от противного. Пусть

f (x) = A(x - x0 )k + o((x - x0 )k ), A ¹ 0

f (x) = B(x - x0 )m + o((x - x0 )m ), B ¹ 0.

Тогда f (x) : A(x - x0 )k и f (x) : B(x - x0 )k1						при x → x0 , x X .
Поэтому A( x - x0 )k : B(x - x0 )m ,		x ® x0 , x Î X , то есть
1 = lim	A(x - x0 )k	=	A	lim	x - x	k −m	,

x→x0 B(x - x0 )m			B x→x0 (		0 )

что справедливо лишь в случае, если A = B и k = m .3

Теорема 3.5. Из соотношения f : g при x → S				следует, что
limh(x) f	(x) = lim h( x) g (x)	или оба эти предела одновременно не
x→S	x→S	вычислении	предела	произведения
существуют, то есть при
h(x) f (x)	один из сомножителей h( x) или		f (x) (или оба) в этом

произведении можно заменить эквивалентной функцией.

З а м е ч а н и е . Одна из самых распространенных ошибок при вы-

числении предела некоторого выражения заключается в замене функции, не являющейся множителем всего этого выражения, на эквивалентную функцию (чаще всего такая ошибочная замена дела- ется в отдельном слагаемом алгебраической суммы).

П р и м е р 3.18. Вычислим предел lim

tg x − sin x

x→0

4Способ 1. lim

tg x - sin x

= lim

tg x(1- cos x)

x→0

öö

(x + o(x))×ç1- ç1-

+ o(x2 )÷÷

= lim

øø

x→0

(x+o(x))×çæ

+o(x2 )÷ö

2 +o(x)o(x

)

+ xo(x

2 o(x)

=lim

è 2

=lim

x→0

+ o

(x3 )

o(x

)

1 .

= lim

x→0

tg x - sin x

tg x(1- cos x)

x ×

Способ 2.

lim

= lim

x→0

Способ 3. Это НЕПРАВИЛЬНЫЙ способ:

tg x - sin x

é tg x : x ù

x - x

lim

= ê

= lim

= 0 .

x→0

ësin x : xû

x→0

Этой ошибки можно избежать, если вместо эквивалентностей tg x :x , sin x :x использовать равенства tg x= x+o(x), sin x= x+o(x).

Тогда соответствующая замена приводит к неопределенности:


lim	tg x - sin x		= lim	x + o(x) - (x + o(x))				=
		x3
x→0			x→0		x3
= lim		x - x + o(x)- o(x)			= lim	o(x)	= ?

	x→0		x3		x→0 x3

Возникновение такой неопределенности говорит о том, что в асимптотических формулах взято мало слагаемых.

Способ 4. lim

tg x − sin x

x→0

ö æ

ç x +

+ o(x

)÷

- ç x -

+ o(x

)÷

+ o(x3 )

= lim

x→0

При использовании асимптотических разложений для выраже- ний, представляющих собой сумму или разность некоторых функ- ций, для каждой из этих функций может потребоваться разное чис- ло слагаемых.

П р и м е р 3.19. Вычислим предел lim

tg x - sin x + ln (1+ 2x3 )

x→0

4lim

x→0

ç x +

+ o(x3 )÷ -

ç x -

+ o(x3 )÷ + (2x3 + o(2x3 ))

= lim

x→0

o(x

)

+ 2 +

= lim

x→0

Если числитель и знаменатель имеют одинаковый порядок мало-

сти или роста, а именно,	P(x) : Axk , Q(x) : Bxk при x → S , то
lim		P(x)	= lim	Axk	=	A	,
		Q(x)		Bxk		B
x→S			x→S

где S = {0, ¥, + ¥, - ¥}.

П р и м е р 3.20. Вычислим предел lim

÷, m,n ¥ .

1- x

- x

x→1

4Вычислим этот предел сначала без использования асимптоти-

ческих разложений.

ö =

[

A = lim

y = x -1 = lim ç

÷ .

- x

1- x

]

è (1+ y)

-1 (1+ y)

-1ø

x→1

è1

y→0 ç

Так как (x +1)

-1 = ç1+ nx + Cn2 x2 + åCnk xk ÷ -1 = nx + Cn2 x2 + åCnk xk , то

k =3

1+ y

-1

1+ y

)

m -1

(

)

(

nç my + Cm2 y2

+ åCmk yk ÷

- mçny

+ Cn2 y2 + åCnk yk ÷

k =3

öæ

ç ny + Cn2 y2 + åCnk yk ÷ç mx + Cm2 y2 + åCmk yk ÷

k =3

øè

k =3

nCm2 y2 + nåCmk yk - mCn2 y2 - måCnk yk

k =3

yç n + Cn2 y1 + åCnk yk −1 ÷

× yç m + Cm2 y1 + åCmk yk −1 ÷

k =3

= ëделим числитель и знаменатель на y

nCm2 + nåCmk yk −2 - mCn2 - måCnk yk − 2

k =3

öæ

ç n + Cn2 y1

+ åCnk yk −1 ÷ç m + Cm2 y1 + åCmk yk −1 ÷

k =3

øè

k =3

Поэтому

A = lim

y→0

nCm2 + nåCmk yk−2 - mCn2 - måCnk yk− 2

- mC

m - n

k =3

öæ

ç n +Cn2 y1+åCnk yk −1 ÷ç m +Cm2

y1+åCmk yk −1 ÷

k =3

øè

k =3

При использовании символа «о-малое» это же решение будет выглядеть следующим образом:

æ		n
limç
		+ y)n -1
y→0 èç (1

n é 1+ y

)

-1ù - m é 1+ y

)

n -1ù

÷ = lim

ë(

(1+ y)

y→0

-1ø

ë(1+ y)

-1û ×

ë(1+ y)

-1û

+ o( y

= lim

n ë1 + my + Cm y

) -1û - m ë1

+ ny + Cn y

) -1û

(

)

)(

+ my + o

(

)

y→0

1+ ny + o

-1 1

-1

+ o(y

= lim

n ëCm y

)û - m

ëCn y

)û

(ny + o( y))(my + o( y))

y→0

)

o(y

)

n êC2 +

ú - mêC2

= m - n

= lim

(

)

öæ

(

y→0

ç n

÷ç m +

)

øè

П р и м е р 3.21. Вычислим предел lim

x + tg x − sin 2x

4Введем обозначения:

x→0 ex − 1+ 2x + 2x2

P(x) = x + tg x - sin 2x ,

Q (x) = ex -

1 + 2x + 2x2 .

Числитель P(x)

и знаменатель Q(x)

– бесконечно малые функ-

ции. Определим порядки малости для этих функций, то есть выде- лим главную часть вида Axn , A ¹ 0.

1. P(x) = x + (x + o(x)) - (2x + o(2x)) = o(x) .

(2x)3

(

)

= x

x +

+ o

(

)÷

+ o

((

)

)÷

- ç 2x -

÷ =

= x

3 æ

+ o(x

) =

+ o(x

2. Q(x) = (1+ x + o(x))- çæ1+

(2x + 2x2 )+ o

(2x + 2x2 )÷ö

Q(x) = çæ1+ x +

+ o(x2 )÷ö

2 2

-1÷

+ o((2x + 2x

2 (2x + 2x )+

2! (2x + 2x )

ç1

o(x).

2 )2 )÷÷÷ = o(x2 ).

1 æ

Q(x) = çæ1+ x +

+ o(x3 )÷ö

-1÷

- ç1

(2x + 2x2 )+

2 è

(2x + 2x2 )2

öæ

-1÷ç

- 2÷

øè

+ o((2x + 2x

)÷÷ =

(

2x + 2x

)

2(2x × 2x2 )

öæ

-1÷ç

- 2÷

= ç

+ o(x3 )÷ - ç

øè

(2x)

+ o(x3 )÷ =

è 3!

= x3 ç

+ o(x3 )

+ o(x3 ).

Следовательно,

Q(x) =

x3 + o(x3 ).

)

P(x)

lim

x + tg x - sin 2x

= lim

3 x

+ o

. 3

2 x3 + o

(x3 )

x→0 ex - 1+ 2x + 2x2

x→0

Q(x)

x→0

Если числитель и знаменатель имеют различные порядки мало- сти или роста, а именно, P(x) : Axk , Q(x) : Bxl при x → S , то

				ì0, k < l, S Î{¥,+¥,-¥};
	P(x)		Axk	ï
	P(x)		Axk	ï0, k > l, S = 0;
lim		= lim		= í
lim	Q(x)	= lim	Bxl	= í
x→S	Q(x)	x→S	Bxl	ï¥, k < l, S = 0;
				ï
				î¥, k > l, S Î{¥,+¥,-¥}.

При этом знать значения этих порядков не обязательно.


П р и м е р 3.22. Вычислим пределы							- cos x + sin (x2 / 2)
lim	ln(1	+ x) - sin x	,	lim		1+ x4			,
	x + tg x - sin 2x					x + tg x - sin 2x
x→0				x→0
lim		x2	,	lim	ln(1+ x)- sin x			.
	ln(1	+ x) - sin x
x→0				x→0		x3

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.2015148.54 Кб7глава 2.docx
#
11.03.2016478.69 Кб20Глава 1.pdf
#
27.03.2015184.32 Кб10Глава 10.doc
#
11.03.2016780.58 Кб10Глава 2.pdf
#
11.03.2016416.27 Кб9Глава 2.pdf
#
11.03.2016546.03 Кб8Глава 3,4.pdf
#
11.03.2016719.99 Кб7Глава 3.2.pdf
#
11.03.2016746.33 Кб8Глава 3.pdf
#
11.03.2016911.85 Кб7Глава 5.pdf
#
11.03.2016660.06 Кб5Глава 6.pdf
#
11.03.2016540.54 Кб7Глава 8.pdf