Глава 6

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Составив матрицу перехода

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.03.2016

Размер:

660.06 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Глава 6

Квадратичные формы

§ 6.1. Билинейные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду методом Лагранжа

Билинейной формой в

называется числовая функция

действительном линейном A x; y , удовлетворяющая

пространстве

следующим двум

условиям:
0
1	. A x				2	x		; y	1		A x			; y		2		A x			; y		x	, x , y L,		,	2		R;
		1	1		2	2			1				1	1		2				2	2		1	2	1		2			2
				1 1			2 2			1				1			2				2			1 2		1				2
20. A x; y								y				A x; y							A x; y				x, y , y L,					,			R.

	Билинейная форма											A x; y			называется симметричной, если для любых
векторов				x, y L выполняется равенство
A x; y A y; x .																														6.1.1
	Скалярное							произведение							x, y					в	евклидовом пространстве является
примером симметричной билинейной формы.
	При заданном базисе												e1 ,e2		, ,en					всякая билинейная форма в									n мерном
действительном линейном пространстве																					L	может быть записана в виде

	n n
A x; y		a		j	,
		ij	i	j
	i 1 j 1

6.1. 2

где 1, данном

2 , n -

базисе.

координаты вектора Числа aij зависят

x, а

от

	,	,
1	2

выбора

, n - координаты вектора базиса и вычисляются

y в

по

формулам

a	ij	A e	;e	,
	ij	i		j

i, j 1,2, ,n


	6.1. 3

Матрица

A aij

базисе e1 ,e2 , ,en .

называется матрицей билинейной формы


A x; y

Билинейная форма является симметричной тогда и только тогда, когда её

матрица симметричная.			A x; y
Пусть	A и B	суть матрицы билинейной формы	A x; y	в базисах

e	,e	, ,e
1	2			n
B P			T	AP,
B P				AP,

f	, f	, , f	n
1	2		n

соответственно. Тогда

6.1. 4

где

P - матрица перехода от базиса

e	,e	, ,e
1	2	n

к базису f1, f2 , , fn .

			Для		того		чтобы	получить матрицу P, нужно разложить векторы
f	1	, f	2	, , f	n	по базису e		,e	, ,e	:
	1		2		n		1	2	n

f	1	p e		p e		p		e		;
	1	11	1	21	2		n1		n
f	2	p	e	p	e		p	n2	e		;
	2	12	1	22	2			n2	n
. . . . . . . . . . .
f	n	p	e	p	e		p	nn	e		;
	n	1n	1	2n	2			nn	n


	6.1. 5

и составить из коэффициентов этих разложений таблицу:

p11	p12		p1n

P p21	p22	p2n .


pn1	pn2	pnn


Пусть A x; y	- симметричная билинейная форма в линейном пространстве

L . Числовая функция A x; x		, которая получается из	A x; y	, если положить
y x , называется квадратичной формой.

При заданном базисе

e1 ,e2 , ,

действительном линейном пространстве

	n n
A x; x		a		j	,
		ij	i	j
	i 1 j 1

где 1 , 2 , , n - координаты вектора x

en	всякая квадратичная форма в
L выражается формулой
		6.1.	6

в данном базисе и

a	a	ji	, i, j 1,2, ,n.
ij		ji

Пусть

n мерном

действительном линейном

пространстве L

произвольная

квадратичная

форма

A x; x . Тогда

существует

f1, f2 , , fn ,

в котором эта квадратичная форма имеет вид

A x; x

задана

базис

1. 7

где 1 , 2 , , n - координаты вектора квадратичную форму 6.1. 7 называют формы A x; x . Матрицей формы 6.1. 7

в базисе

f1 , f2 , , fn .

При этом

каноническим видом квадратичной

является диагональная матрица

1

		.

		n
	Базис пространства		L, в котором квадратичная форма имеет канонический

вид, называют каноническим базисом этой квадратичной формы.

	Пример 1. Покажите, что отображение			A : Rn,n Rn,n R,

A X ;Y		Sp X Y	является симметричной билинейной формой в пространстве

Rn,n . Найдите матрицу билинейной формы A X ;Y для случая n 2 в базисе


			1	0					0	1					0	0				0	0
e						,	e				,	e					,	e				.
1							2		0			3						4
		0		0					0	0				1		0			0		1
		Решение.						Покажем,					что			отображение					A X ;Y		является
формой.				Сумма диагональных элементов квадратной матрицы X
следом матрицы									X и обозначается SpX . Известно, что
							SpX SpY;
a	Sp X Y						SpX SpY;

б	Sp		X		SpX ;

в	Sp XY				Sp			YX .

билинейной

называется

	6.1.
	6.1.	8

Поэтому				2		2			1		1	2		2		1	1	2	2
	1		1	2		2			1		1	2		2		1	1	2	2
A		X			X		;Y	Sp		X			X		Y Sp		X Y		X	Y

Sp 1 X1Y Sp 2 X2Y 1Sp X1Y 2 Sp X2Y 1 A X1;Y 2 A X2 ;Y ; A X ; 1Y1 2Y2 SpX 1Y1 2Y2 Sp 1 X Y1 2 XY2

Sp 1 XY1 Sp 2 XY2 1Sp XY1 2 Sp XY2 1 A X ;Y1 2 A X ;Y2 .

X ;YСледовательно

	В силу того, что

A X ;Y				Sp X Y			Sp Y X				A Y; X	,
отображение					A X ;Y является симметричной билинейной формой.
	Построим матрицу билинейной формы в базисе													e1,e2 ,e3 ,e4 . По формулам
6.1. 3			находим:
	A e1;e1					1		0 1	0		1	0
a11	A e1;e1				Sp					Sp		1 0 1;
						0		0 0	0		0	0
						1		0 0	1		0	1
a12		A e1;e2 Sp									Sp		0 0 0;
						0		0 0	0		0	0
						1		0 0	0		0	0
a13	A e1;e3 Sp										Sp		0 0 0;
						0		0 1	0		0	0
						1		0 0	0		0	0
a14		A e1;e4 Sp									Sp		0 0 0;
						0		0 0	1		0	0
		A e2 ;e2				0		1 0	1		0	0
a22		A e2 ;e2			Sp						Sp		0 0 0;
						0		0 0	0		0	0
						0		1 0	0		1	0
a23		A e2 ;e3 Sp									Sp		1 0 1;
						0		0 1	0		0	0
		A e2 ;e4				0		1 0	0		0	1
a24		A e2 ;e4			Sp						Sp		0 0 0;
						0		0 0	1		0	0

a		A e	;e		Sp
		3					0		0		0
	33	3		3
		A e				1			0 1
a		A e	;e		Sp
		3					0		0		0
	34	3		4
		A e				1			0 0
a		A e	;e		Sp
		4					0		0		0
	44	4		4
						0			1 0
		Учитывая, что aij a ji ,

				1	0	0		0
				0	0	1
A aij				0	0	1		0
										.
				0	1	0				.

								0
					0	0
			0		0	0		1


0	Sp	0	0	0 0 0;
	Sp			0 0 0;
0	0		0

0	Sp	0	0	0 0 0;
	Sp			0 0 0;
1	0		0

0	Sp	0	0	0 1 1.
	Sp			0 1 1.
1	0		1
i, j 1,2,3,4 , окончательно получаем:

Пример 2. Приведите методом Лагранжа к каноническому виду

квадратичную форму

	12 2	3 2	12 2	12		24		8
A x; x					2		3		3
	1	2	3	1		1		2

и постройте канонический базис этой квадратичной формы.
	Решение. Основная идея метода Лагранжа заключается в
последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов по
каждой переменной. Соберем в квадратичной форме																																																								A x; x							все			члены,
содержащие					1				, и дополним их сумму до полного квадрата:
A x; x 12							2		3					2	12							2			12								24										8
A x; x 12									3				2		12							3			12							2	24								3		8							3
					1								2									3								1		2							1		3					2				3
			12					2	12											24										3		3			2			8							12						2
			12						12											24												3			2			8						3	12						3
						1									1		2										1								2					2				3							3
				1	144						2	144															288										3			2					8							12					2
											2																													2																	2
																							2																	2									3								3
				12						1										1			2								1		3							2					2				3								3
				12
	a			b					c							2		a			2					2		2ab											2			2			2ac											2bc										2	2	;
	a			b				2	c					3				a										2ab								2		b				2			2ac										3	2bc					2			3	c		3	;
		1						2						3											1								1			2						2										1			3						2			3			3
	a 12;
	2ab 144 b																	144											144			6;
	2ab 144 b																			2a									2 12			6;
																				2a									2 12
	2ac 288 c													288								288							12
	2ac 288 c														2a						2			12					12
															2a						2			12
				1	12					1	6						2		12								3		2	36 2							2 6							12				2					3	144 2								3 2				8			2		3
			12							1							2										3							2														2					3						3						2				2		3
			12
	12 2								1		12							6									12						2						3 3						2		12 8															12 12 2
				3					12								1							2							3														2													2		3										3
				3													1							2							3														2													2		3										3

121 12 1 6 2 12 3 2 4 2 3.

Далее нужно в квадратичной форме от переменных 2 , 3		группировать все
слагаемые, содержащие 2 , и дополнять их	сумму до	полного квадрата.
2	равен нулю, сделаем замену:
Поскольку в нашем случае коэффициент при 2	равен нулю, сделаем замену:
1 1 , 2 2 3 , 3 2 3 .
В результате получим:

A x, x	1		12		1	6			2		3			12		2	3		2	4		2			2	3
		12			1				2		3					2	3					2		3	2	3
		12
		1		1			6						2		6 12			3		2			2	3
				1									2					3					2	3
		12	12							12											4 2 2
		12
		1	12		6				18					2 4 2 4 2 .
		12		1				2				3			2		3
				1				2				3			2		3

Положив в последнем выражении
1 12 1 6 2 18 3 , 2 2 , 3 3 ,

записываем канонический вид квадратичной формы

A x; x		1
		12
		12

и переходим вектора x в

2	4	2	4	2
1		2		3

к построению канонического базиса. Известно, что координаты старом и новом базисах связаны посредством матрицы перехода

соотношением

1		p	p
1		11	12
		p	p
2		p	p
2		21	22
			p
3	p		p
3		31	32

В нашем случае

	p			1
	13			1
	p
	p			2
	23			2
	p
	p			3
	33			3



			12	6	18						12	6	18	1	0	0
1							1								1	1		1
			0	1	0						0	1	0	0	1	1
2			0	1	0		2				0	1	0	0	2	2		2
				0	1							0	1		2	2
3		0		0	1		3			0		0	1	0	1		1	3
3							3								1		1	3
															2		2



		12		6	12
		12		6	12			1
				1	1			1
	0			1	1				.
	0			2	2			2	.
								2

		0		1		1		3
		0		2		2

Отсюда

										1																		T
																	1											T				1
																	1															1
		12			6		12														0				0										3	9
		12			6		12										2															2
						1	1					1					2													1		2
P 0						1	1					1				3						6								1	0				6
P 0																3						6				6					0				6	6
						2	2					6																		6
						2	2					6	9									6			6					6	0				6	6
						1		1					9									6			6						0				6	6
			0			1		1
			0			2		2


			1			6		18
	1			0		12		12			.
	12			0		12		12			.

						12
			0			12			12
Столбцы матрицы											P составляют канонический базис квадратичной формы

A x; x				.
																								1				0
																												0	0
																								12
Нетрудно проверить, что														T										12			4
												P		T		AP							0
												P				AP							0						0 .

																							0					0	4

	6.1.1.					Является					ли	билинейной													формой					в	n -			мерном			действительном
линейном						пространстве									L			функция																2	, где		1	, 1 -		первые
линейном						пространстве									L			функция										A x; y 1 1							, где		1	, 1 -		первые
координаты векторов x и													y			в некотором базисе?
	6.1.2. Запишите матрицу билинейной формы																															A x; y				в заданном базисе
действительного линейного пространства																												L , если:
																1																								2
1)	L M2					R ,	A x t ; y t x t y t dt,																			базис:			а) 1,t,t				2	;	б) 1,t		1, t 1			2	;
																																	2

																0
2)	L C,					A x; y A 1 1i; 2													2i 1 2 1 2													, базис: а) 1,i;						б) 1,i,1 i.
	6.1.3. Билинейная форма																A x; y							называется кососимметричной,															если для
любых векторов									x, y L выполняется равенство
A x; y A x; y .																																							619. .
Убедитесь, что отображение																	A: R			2		R			2	R , определяемое равенством
Убедитесь, что отображение																	A: R					R				R , определяемое равенством
A x; y A 1							, 2 ; 1, 2											1					2	,
																		1					2

																							2
																	1						2

является

Найдите

кососимметричной билинейной её матрицу в базисе e1 1, 0 , e2

формой в пространстве

		0, 1 .

R	2

6.1.4. Запишите матрицу билинейной формы:

a) A x; y 2 1 1 3 1 2 5 1 3 4 2 2 2 3 5 3 1 3 2 1 3 2 ; б) A x; y 5 1 2 7 1 3 2 2 2 2 3 5 2 1 7 3 1 3 2 5 3 3.

6.1.5. Найдите билинейную форму, если известна ее матрица

	2	1				1	0
			4					3
а) A	1	0	5	;	б) A	0	2
								7 .

	4	5				3	7
			1					0

6.1.6. Методом Лагранжа приведите следующие квадратичные формы к каноническому виду и укажите невырожденное линейное преобразование переменных, приводящее к этому виду ( ввиду неоднозначности искомого линейного преобразования ответ может получиться отличным от приведенного):

а) 2				2			2					2				5				2			2							;
а) 2				1			2					2				5				3			2					2		;
				1								2								3					1			2
б)		2																						;
б)		1											3										4	;
		1						2					3					3					4
в)	2							2	5								2	6								2							2										;
в)	1							2	5								3	6							2	2						3	2								3		;
	1							2									3							1	2						1	3							2		3
г)					2		2							2		3					2		2								2								2							;
г)					1		2							2		3					3		2						2		2						3		2						3	;
					1									2							3				1				2			1					3					2			3
д) 4				2			5				2					6				2			4					2			4					3		;
				1							2									3					1			2				2				3
е) 5			2			8				2					5				2			4								8							4								;
е) 5			1			8				2					5				3			4					2			8				3			4							3	;
			1							2									3					1			2				1			3						2				3
ж)				2			5				2							2			6								4						.
ж)				1			5				2							3			6					2			4				3		.
				1							2							3						1		2					2		3

§ 6.2. Приведение квадратичных форм к каноническому виду методом Якоби. Знакоопределенные квадратичные формы

В отличии от рассмотренного где канонический базис f1, f2 , ,

в предыдущем параграфе метода Лагранжа, n квадратичной формы A x; x вычислялся

за несколько шагов, в методе Якоби векторы

f	i	,
	i

1,2, ,n

, непосредственно

выражаются через исходный базис. Суть метода Якоби заключается в следующем.

Пусть

базисе

e1 ,e2 , ,en

n мерного действительного линейного

пространства

квадратичная форма имеет вид

6. 2.1

A x; x aij i j

i 1 j 1

где aij A ei ;e j , и определители

6. 2. 2

1 a11 , 2

, ,

отличны от нуля. Тогда в базисе

f	1		e		,
	1	11		1
f	2		e			22	e	,
	2		21	1		22	2

f	n		e			n2	e			nn	e
	n		n1	1		n2	2			nn	n
квадратичная форма									A x; x

записывается в виде суммы квадратов :


	6. 2. 3

	1	2

A x; x
		1

	1



1 2

		2			n 1
		2			n 1
		2
		2

					n

2 n

6. 2. 4

где	1 , 2 , , n - координаты вектора x в базисе f1		, f2 , ,	fn .
	Для того чтобы найти коэффициенты	k1, k 2	, , kk		в выражении 6. 2. 3
для	ek , k 1,2, ,n , необходимо решить	неоднородную			систему линейных

уравнений вида

k 2

k 1,1

k 1,2

k 2

k 1,k

k 2

	6. 2.
	6. 2.	5

Известно, что задача нахождения канонического базиса квадратичной формы решается неоднозначно. Тем не менее можно утверждать, что число положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов в любом каноническом представлении данной квадратичной формы всегда одно и то же

(в этом состоит закон инерции квадратичных форм).
Квадратичную форму	A x; x называют положительно (отрицательно)

определённой, если для любого вектора

x A x; x 0 A x; x 0 .

Скалярное произведение есть билинейная форма, соответствующая положительно определённой квадратичной форме , и любая такая форма может быть принята за скалярное произведение.

Справедлив следующий признак положительной определённости квадратичной формы (критерий Сильвестра) : для того чтобы квадратичная форма A x; x была положительно определённой, необходимо и достаточно,

чтобы все последовательные угловые миноры 1 , 2 , , n , определённые соотношением 6. 2. 2 , были положительными.

Квадратичную форму, принимающую как положительные, так и отрицательные значения, называют знакопеременной.

Пример 1. Методом Якоби приведите к каноническому виду квадратичную форму A x; x 12 2 22 23 2 1 2 и укажите канонический базис этой квадратичной формы.

Решение. Запишем угловые миноры 1 , 2 ,

матрицу квадратичной формы A x; x и вычислим

3	по формуле 6. 2. 2 :

				1	1	0
A				1	2	0	;
A				1	2	0	;

					0
			0		0	1
	1	1 0;
	1

2 1 2 2 1 1 0;

					1		1				0
		3		1			2				0			2 1 1 0.
		3
					0		0			1
					В				базисе										f1	11e1 11							, 0,

f	3						e					32		e				e					31	,	32	,			33
	3					31 1						32			2				33	3			31		32				33
канонический вид:
A x; x								1		12						1			22 2 32 12 22
A x; x										12									22 2 32 12 22
								1								2				3
					Найдём								канонический										базис
соотношение												6. 2. 5 для									k 1,2,3				:
a11 11 11 1 f1 1, 0, 0 ;
a							21	a									22		0,			1	1 0					1
		11					21		12								22
								a											1			1			~			0
a			21				21	a			22							22	1			1	2 1					0
			21				21				22							22

0 ,		f2 21e1 22e2 21, 22 , 0 ,
	квадратичная		форма	имеет
2 .
3
f1, f2	, f3	последовательно		применяя

1 0		1,		1 f

	22		21		2	11,,0 ;
	22		21		2

1 1

a11 31 a12 32 a13 33 0,										1 1		0	0	1 1		0	0
			31	a22 32			a23 33 0,
a21			31	a22 32			a23 33 0,			1	2	0	0	~ 0	1	0	0
			31	a32 32			a33 33 1									1
a31			31	a32 32			a33 33 1			0	0	1 1		0	0	1	0
	33	1,			32	0,	31	0 f	3	0, 0, 1 .
	33				32		31		3

1 0

нетрудно убедится в том, что PT AP 0 1

0 0

e	,e	,e
1	2	3

к базису

f	1	,
	1

f	2	,
	2

Пример 2.Найдите все значения при которых положительно определена квадратичная форма A x; x 2 12 22 4 23 2 1 1 2 2 2 3 .

Решение. Воспользуемся критерием квадратичной формы

	2			1		0
	2			2		0

		1			1

A			1
						2
		2	1		2
	0		1	2		4
	0		2			4
			2

и		проверим, при каких	все угловые
положительными:
	1	2 0;
	1

Сильвестра. Запишем матрицу

миноры этой матрицы будут

	2			1			2
	2			2		1	2
						1	2
2					2
2		1	1			2
		1				2
		2
		2

Следовательно, не существуют значения форма положительно определена.

	9	0	R.
	4

, при которых данная квадратичная

6.2.1. Методом Якоби приведите следующие квадратичные формы к каноническому виду и укажите канонические базисы квадратичных форм :

			2																			2			2	;
a) 2 1					3 1 2 4 1 3 2																		3			;
б)		2		2			2			3			2		2							2
б)		1		2			2			3			3		2					2		2					3
		1					2						3				1			2				1			3
в) 2			2		2				2		5			2		2						;
в) 2			1		2				2		5			3		2					2	;
			1						2					3				1			2
г)	2					2	5					2	6							2							2
г)	1					2	5					3	6					2		2					3		2
	1					2						3				1		2					1		3
д)				2		2				2	3				2	2							2
д)				1		2				2	3				3	2						2	2						3
				1						2					3				1			2			1				3
е) 4			2		5			2		6				2	4							4								.
е) 4			1		5			2		6				3	4						2	4			2			3		.
			1					2						3				1			2				2			3
		6.2.2. Найдите все значения

квадратичные формы:



	2			3	;

2		3	;

2						3	;
		2

при которых положительно определены

а) б)

в) г)

2 2

2 5

22 23

2 12


	2	2				2				2
	3	2			2	2			3	2		2
	3		1		2		1		3			2
2		2	1	2	4			2
2			1	3	4		2	2			3
2				3		1	2			1	3

4 1 2 2 1 3; 22 2 23 2 1 2 1 3 2 2

	3	;
	3

4	3	;
2	3
3.

6.2.3.Докажите, что если квадратичная форма с матрицей A

положительно определена, то и квадратичная форма с матрицей A 1 положительно определена.

6.2.4. Докажите, что квадратичная форма A x; x отрицательно определена тогда и только тогда, когда форма A x; x положительно определена.

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.03.2016780.58 Кб10Глава 2.pdf
#
11.03.2016546.03 Кб8Глава 3,4.pdf
#
11.03.2016719.99 Кб7Глава 3.2.pdf
#
11.03.2016746.33 Кб8Глава 3.pdf
#
11.03.2016911.85 Кб7Глава 5.pdf
#
11.03.2016660.06 Кб5Глава 6.pdf
#
11.03.2016540.54 Кб7Глава 8.pdf
#
23.09.2019497.15 Кб8Главная Шпора ТФКП теория.doc
#
27.03.20151.92 Mб123Голуб курсач.doc
#
27.03.20151.69 Mб20Горин С.А. - НЛП. Техники россыпью [2004].doc
#
22.09.2019694.27 Кб8ГОСЫ КПРФ.doc



			12	6	18						12	6	18	1	0	0
1							1								1	1		1
			0	1	0						0	1	0	0	1	1
2			0	1	0		2				0	1	0	0	2	2		2
				0	1							0	1		2	2
3		0		0	1		3			0		0	1	0	1		1	3
3							3								1		1	3
															2		2



		12		6	12
		12		6	12			1
				1	1			1
	0			1	1				.
	0			2	2			2	.
								2

		0		1		1		3
		0		2		2



			12	6	18						12	6	18	1	0	0
1							1								1	1		1
			0	1	0						0	1	0	0	1	1
2			0	1	0		2				0	1	0	0	2	2		2
				0	1							0	1		2	2
3		0		0	1		3			0		0	1	0	1		1	3
3							3								1		1	3
															2		2



		12		6	12
		12		6	12			1
				1	1			1
	0			1	1				.
	0			2	2			2	.
								2

		0		1		1		3
		0		2		2



			12	6	18						12	6	18	1	0	0
1							1								1	1		1
			0	1	0						0	1	0	0	1	1
2			0	1	0		2				0	1	0	0	2	2		2
				0	1							0	1		2	2
3		0		0	1		3			0		0	1	0	1		1	3
3							3								1		1	3
															2		2



		12		6	12
		12		6	12			1
				1	1			1
	0			1	1				.
	0			2	2			2	.
								2

		0		1		1		3
		0		2		2