Деиствия с к.Ч. Модуль к.Ч. Разл.Формы представления к. Числа

Комплексными числами (к.ч.) называются пары ( ) действительных чисел и , если для них определены понятия равенства и операции сложения и умножения следующим образом:

1. Два к.ч. ( ) и ( ) равны , .

2. Суммой двух к.ч. ( ) и ( ) называется к.ч. ( ) .

3. Произведением к.ч. ( ) и ( ) называется к.ч. ( )

Каждое к.ч. ( ) принято обозначать символом и оно представимо в алгебраической форме: . Число называется действительной частью к.ч. , обозначается Re ; число называется мнимой частью к.ч. , обозначается символом . Величина называется модулем к.ч. , обозначается символом : = . Любое число , удовлетворяющее равенствам , , называется аргументом к.ч. , обозначается символом . Аргумент определен для z0 лишь с точностью до любого слагаемого, кратного 2, то есть =argz+2k, kZ. Для однозначных функций , kZ и arctg . Тригонометрической формой к.ч. называется его запись в виде . В показательной форме к.ч. имеет вид или , где = (формула Эйлера).

К. ч. называется сопряженным с к.ч. , обозначается символом : , если .

Функции к. п.: опр, усл. Коши-Римана дифференцируемости функции в т., геом. смысл производной. Дифференцируемые функции. Условия Коши — Римана

DEF Ф-ия f наз. регулярной в нек. точке z₀, если в нек. окрестности этой точки она представима в виде сходящегося степенного ряда f(z) =  _n^₌₁C_n(z – z₀) ⁿ. DEF Пусть функция f(z) опред. в нек. окрестности точки z₀. Если сущ. конечный предел отно­шения (f(z₀+z)-f(z₀))/z при z 0, то этот предел наз. производной функции f(z) в точке z₀ и обозначается f '(z₀), а ф-ия f(z) наз. дифференцируемой в точке z₀. Таким образом, f’(z₀) = lim_{z 0}(f(z₀+z)-f(z₀))/z (1) DEF Ф-ия f(z) наз. дифф-мой в обл-ти, если она дифф-ма в каждой точке этой обл-ти. Пусть f = f(z₀+z) - f(z₀). Тогда соотношение (1) примет вид lim_{z 0}f /z =f ’(z₀) (2). Это означает, что для любого  >0 существует  >0 та­кое, что неравенство |f /z - f ’(z₀)|   имеет место, если 0z. Из (2) следует, что f = f ‘(z₀)z + o(z) (z0). Обратно, если приращение f функции f(z) представляется в виде f =A z + +o(z) (3), где A — комплексная постоянная, не зависящая от z, то функ­ция f(z) дифференцируема в точке z₀ и A = f ‘(z₀). Таким образом, равенство (3) является необходимым и до­статочным условием дифференцируемости функции f(z) в точке z₀ .Из определения производной и свойств пределов вытекает, что на функции комплексного переменного распространяются правила дифферен­цирования. 1. Если функции f(z) и g(z) дифференцируемы в точке z, то их сумма, разность, произведение и частное (при g(z)0) так­же дифференцируемы в этой точке и имеют место равенства (f± g)' = f ’± g'; (cf)' = cf ’ (с = const), (fg)’ = f ’g + fg’ , (f/g)’ = (f ‘g – fg’)/g² (6) 2. Если функция f(z) дифференцируема в точке z, а функ­ция F(w) дифференцируема в точке w=f(z), то функция Ф(z)=F[f(z)] дифференцируема в точке z, причем Ф^r(z)=F'(w)f'(z}. (7)

2. Условия Коши — Римана. Теорема1. Для того чтобы ф-ия f(z)=u(x, y}+ iv{x, у) была дифференцируема в точке z=x+iy, необходи­мо и достаточно, чтобы

1) функции и{х, у} и v(x, у) были дифференцируемы, в точ­ке (х, у);

2) в точке (х, у) выполнялись условия Коши – Римана : u/x = v/y, u/y = - v/x (8) Для производной f ‘(z) справедлива формула f ‘(z) = u/x+ iv/x = v/y -iu/y (9)

Док.Необходимость.Пусть ф-ия f(z) дифференцируема в т. z. Тогда в силу (3) имеем f =f ‘(z)z + () (10), где в ()=о() при . Здесь обозначено   |z| = ((x)² + (y)²)^1/2. Функция  комплекснозначная, представим ее в виде =₁+i₂, где функции ₁, ₂ прини­мают действительные значения. Так как /  при , то ₁/ , ₂/  при  , и поэтому ₁()=о(), ₂()=о() (). (11) Обозначим f = u+iv, f ‘(z)==A+iB и подставим в (10), тогда получим u+iv = (A+iB)(x+iy)+₁+i₂ (12) Приравнивая в этом соотношении действительные и мнимые ча­сти, получаем u = Ax - By + ₁ v = Bx + Ay + ₂. (13) Тем самым доказано, что функции и, v дифференцируемы в точ­ке (х, у).Из равенств (13) находим A =u/x , -B = u/y , B = v/x, A = v/y , откуда следуют условия Коши-Римана и формула (9), так как f(z}=A+iB. Достаточность. Пусть функции u(х, у) и v(х, у) диф­ференцируемы в точке (х, у) и пусть выполняются условия (8). Тогда имеют место равенства (13), где ₁()=о(), ₂()=о(). Ум­ножая второе из этих равенств на i и складывая с 1-ым, получаем u+ iv= =Ax - By + i(Bx + Ay)+₁+₂ , или f = (A+iB)(x+ iy)+₁+i₂ или f = =(A+iB)z+(), где ()=о(), откуда в силу (3) вытекает дифференцируемость функции f(z) в точке z.

Г еометрический смысл производной. Пустьf’(z₀)0. Проведем кривую Г ч/з z₀, Г = {z |z = (t), t[]}, т.к. Г – гладкая, то ‘(t)0, т.е. можем провести касат.-ю; tg=’(t₀)  =arctg ’(t₀) = arg ’(t₀);  = f(z)=f((t)). По правилу дифференц-ия сложной ф-ии : ’(t₀) = =f ‘(z₀)’(t₀); arg ’(t₀) = arg f ‘(z₀)+arg ’(t₀)  ’(t₀) т.е. в т. t₀ можем провести касательную, тогда ’(t₀) = ₁ = arg f ‘(z₀)+   arg f ‘(z₀) = ₁  ₂ – угол поворота кривой проходит ч/з т. z₀ при отображении ф-ии f =₀ =f ’(z₀) z+ = =f ’(z₀)(zz₀)+  f ‘(z₀)= =z  |zf ’(z₀)|   ||z| |f ‘(z₀)|| т.к. | |x||y| |  |xy|, сл-но, lim |||z| =|f ’(z₀)|, значит |₀| = |f ’(z₀)|* *|(zz₀)| +. Вывод: |f ’(z₀)|, если f ’(z₀) наз. коэф-ом лин. растяжения при отображении

def Ф-ия, сохраняющая в т. z₀ при отображении углы м/у кривыми и обладающая св-вом постоянного растяжения этих кривых, наз. конформной в т. z₀