Регулярные функции. Св-ва рег.Функ.Достат.Усл.Регулярности. Рег.Обратной функ.

Понятие регулярной функции. Пусть ф-ия f(z) опред. в окр-ти точки z=a (a) и разлагается в ряд f(z) = _n=^₁ c_n(z - a)ⁿ (26),сходящийся в нек.окрестности точки z = а (т.е. в круге |z-al<, >0). Тогда функция f(z) наз. регулярной в точке z=а. Функция f(z) называется регулярной в области D, если она регулярна в каждой точке области D.

Теорема 4. Если функция f(z) регулярна в точке z=a, то она дифференцируема в этой точке.

Док.По усл,степенной ряд (26) схо­дится в нек.окрестности точки а, откуда следует, что f(а)=c₀. Рассм.отношение [f(z)–f(a)]/(z-a) = (f(z)-c₀)/(z-a) = _n=^₁ c_n(z - a)^n-1(27).Так как ряд (27) равномерно сход. в круге |z-a| ₁, то его сумма непрер.в этом круге и в правой части(27)можно почленно перейти к пределу при z а, и этот предел равен c₁. Поэтому сущ.предел и левой части (27) при z а, т. е. существует f ‘(а)=c₁. Замеч1.Ф-ия, дифференцируемая в обл, регулярна в этой обл.

Доказательство. Пусть z=а — произвольная точка об­ласти D. Рассмотрим круг К: |z—a|<, >0, лежащий в об­л-ти D вместе со своей границей _. | - a| = . Пусть z-произвольная точка круга К. В силу интегральной формулы Коши f(z)=1/2i _ f()/(-z)d (1) Разл.функ. 1/(-z) в ряд (геом. прогрес.) по степеням z - а: 1/(-z) = 1/[(-a)(1-(z-a)/(-a))] = _n=^₀ (z - a)ⁿ/(-a)ⁿ⁺¹ (2) Если _ , то |-a|=, (z-a)/(-a) = |z-a|/ , и, сл-но, ряд (2) сходится равномерно по  на окруж­ности _ (признак Вейерштрасса).Ряд f()/(-z) = _n=^₀f()(z-a)ⁿ/(-a)ⁿ⁺¹ (3),полученный из ряда(2) умнож. на f(), также сходится равномерно на _ , так как функция f() непрерывна и, сл-но, ограничена на _. Интегрируя почленно по _ ряд (3),. в силу равенства (1) получаем f(z)=_n=^₀ c_n(z - a)ⁿ (4), где c_n = 1/2i _{| -a|=} f()/(-a)ⁿ⁺¹d (5). Ряд (4) сходится в круге К: |z-al<, а это означает, что функция f(z) регулярна в точке а. Так как а—произв.точка области D, то функ.f(z) регулярна в области D. чтд

Следств1. Для того чтобы функ. f(z) была рег.в области D, необх. и дост,чтоб она была дифференцируема в этой области.

Таким образом, в обл.D понятия дифференцируемости и регул.эквивалентны.Отсюда и из свойств дифференцируемых функций,в частности, вытекает, что если функции а(z) и g(z) регул.в обл.D, то их сумма, произведение и частное (при условии g(z)0) также регулярны в обл. D. Аналог,если функция f(z) регулярна в области D, а функция F(w) регулярна в области G и если множество зна­чений функции w=f(z) (zD) принадлежит обл.G, то функция Ф(z)= F [f(z)] регулярна в D.

Следствие2. Ряд (4) заведомо сходится в круге |z—a|<R₁, где R₁ - расстояние от точки z = а до границы области D, в которой функция f(z) дифференцируема. Поэтому радиус сходимости степенного ряда (4) не меньше, чем R₁

Следствие3. Если ф-ия f{z) регулярна в круге К: |z—а| < R, то она предст-ся рядом Тейлора f(z)=_n=^₀ [f⁽ⁿ⁾(a)/n](z - a)ⁿ сходящимся во всем круге К.

Следствие4. Если функ.f(z) регул.в точке z=а, то она регул.в нек. окрестности этой точки.

def2.Пусть функ.f(z) опр.в окр.беск.удаленной точки и разлаг.в ряд f(z) = _n=^₀ c_n/zⁿ (28), сход. в нек.окрестности точки z=(т.е в области |z|>R).Тогда функ.f(z) наз. регул. в беск. удаленной точке.

Замечание2.Из опр.2 следует, что функция f(z) регул.в точке z= в том и только в том случае, когда функция g()=f(1/) регулярна в точке  = 0.

Теорема 3 (теорема Морера). Пусть функ.f(z) непрер.в односвязной обл.D и пусть интеграл от функ­. f(z) no любому замк. контуру, лежащему в D, равен нулю.Тогда функ.f(z) регул.в обл D.

Док. В силу следствию из Теоремы о сущ.первообразной ф-ия f(z) имеет первообразную, т. е. сущ. дифференцируемая ф-ия F(z) такая, что F'(z)=f(z) для всех zD. По 2-ой интегральной тео­реме Коши сущ. ф-ия F ‘’(z)=f ‘(z), сл-но, f ‘(z) дифф-ма и по Теореме регулярна в области D.