Непрерывность функции.

Определение непрерывности f(z) в точке z₀. Функция к. перем. f(z), z g, называется непрерывной в точке z₀ g, если  ограниченный предел : f(z)= w₀ и w₀= f(z₀), т.е.  f(z)= f(z₀). Очевидно, при этом достаточно малая  - окрестность точки z₀ отображается f(z) на достаточно малую  - окрестность точки w₀= f(z₀).

Определение непрерывности функции в точке в терминах  - .Функция комплексной переменной f(z), z g, наз.непрерывной в точке z₀ g, если   >0  ( ,z₀)>0 : для  z : |z-z₀|< ; |f(z)-f(z₀)| < . Замечание 1. Это опр.распространяется как на внутренние , так и на граничные точки множества. Определение.Точка z₀ наз.изолированной точкой множества g, если в  такая ее  -окрестность, в кот. нет других точек множества g. Замечание 2. По определению функция считается непрерывной в изолированной точке z₀ g. Замечание 3. Понятие непрерывности функции f(z), z g, в точке z₀ g справедливо и в случае бесконечно удаленной точки z₀=∞. При этом под пределом функции f(z) при z→∞по Гейне надо понимать предел последовательности {f(z_n)}, где {z_n}-  неогр.возрастающая последовательность . В  - определении непрерывности функции f(z) при z→∞ условие ╫ z-z₀╫< надо заменить на условие |z| >R. Основное определение.Функция комплексной переменной f(z), z g, наз. непрерывной в области g, если она непрерывна в  z g. Обозначение: f(z) C(g). Аналог.опр. понятия f(z)C( ), и f(z)C(dg). При этом при опр.непрерывности по Гейне в z или zdg надо рассматривать последовательности {z_n}, сост. только из точек z_n или z_ndg. Замечание 4. В случае понятия непрерывности по Коши для f(z)C(g) для заданного   зависит от ( ,z) ( = ( ,z)), т.е. на  - окрестность  точки w=f(z) D отображается  -окрестность соответствующей точки z, где  для различных z- различна.

Понятие однолистности.

Пусть на множестве Е расширенной комплексной плоскости z определена функция w=f(z) и пусть Е'—множество ее зна­чений на плоскости w. Тогда говорят, что задано ото­бражение множества Е на множество Е''. Точка wE' называется образом точки zE, а точка z — прообразом точки w при отображении w = f(z).

Может оказаться, что некоторые точки множества Е' имеют не один, а несколько прообразов, т. е. отображение w=f{z) мо­жет не быть взаимно однозначным. Если отображение w=f(z) является взаимно однозначным, то функция f(z) называется однолистной.

def1. Функция w=f{z) называется однолист­ной на множестве Е, если она в разл. точках мн. Е принимает разл. значения.Отображение w=f(z), осуществляемое однолистной функ­цией, явл. взаимно однозначным и наз.однолистным. Из опред-ия однолистности следует, что если ф-ия однолистна на мн-ве Е и E₁ Е, то эта ф-ия однолистна на множестве E₁­.Суперпозиция од­нолистных отображений есть однолистное отображение.

Интегрирование функций комплексного переменного. Теоремы Коши. Ряд Тейлора.

I. Пусть f- комплекснозначная непрерывная огр. функция, определенная в точке z.

1. Если огр.замкнутое измеримое мн. на плоскости, то интеграл от функции по области опр. равенством .

2. Интеграл от функ. f по гладкой кривой  опр. следующим образом:

Сущ-ние интеграла в левой части равенства равносильно сущ. криволинейных интегралов от действительных функций в правой части равенства. Если параметрическим ур. кривой  является функция z(t), t[a,b], то = .

II. формулировки теоремы Коши для различных областей.

1. Пусть функ. дифференцируема в односвязной области .Тогда интеграл от по любой замкнутой кривой , лежащей в области , равен нулю: =0.

2. Пусть - ограниченная односвязная область с кусочно-гладкой границей , функция дифференцируема в области и непрерывна вплоть до ее границы. Тогда =0.

3. Пусть граница многосвязной обл. состоит из замкн. кусочно-гладкой кривой и попарно непересекающихся замкн.кусочно-гладких кривых расположенных внутри , функ. дифференцируема в области и непрерывна вплоть до ее границы. Тогда + =0.

Теорема 1.Пусть дифференцируема в односвязной области . Тогда она имеет в этой области первообразную .

Следствие Пусть непрерывна в обл. и интеграл от этой функ. по любой замкн.кривой, лежащей в обл. , равен нулю. Тогда функ. есть первообразная функ. .

Теорема 2. (интегральная формула Коши).Пусть функция ) дифференцируема в огр.обл. и непрер.вплоть до ее границы, сост.из конечного числа замкнутых кусочно-гладких кривых. Тогда = и =

III. Известно, что каждая регулярная каком-либо круге функция разлагается в этом круге в сходящийся степенной ряд

= , где , кот. наз.рядом Тейлора функции в окрестности точки .