Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Глава 3

.2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.03.2016

Размер:

719.99 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

§ 3.4. Базис и размерность линейного пространства

Всякую систему векторов e1 ,e2 , ,en линейного пространства L называют

базисом этого пространства, если эта система векторов линейно независима и любой вектор пространства L линейно выражается через векторы этой системы.

Существенно различными являются случаи, когда базис пространства конечен и когда он бесконечен. В линейной алгебре изучаются линейные пространства с конечными базисами. Линейное пространство L называют конечномерным, если оно обладает базисом, состоящим из конечного числа векторов. Конечномерное пространство может обладать многими различными базисами. Число векторов в каждом базисе конечномерного пространства одинаково. Это число называют размерностью пространства. Если размерность про-

странства

равна n , то записывают

dim L n .

Пространство L при этом

называют n

- мерным.

Пусть в линейном пространстве L

над полем

F задан некоторый базис

e1 ,e2 , ,en .

3.4.1

Произвольный вектор x пространства L линейно выражается через базис

3.4.1 :

x e

3.4.2

1 1

Представление вектора

x в виде 3.4.2

называется разложением по базисным

векторам

3.4.1

, а коэффициенты 1

, 2 , , n в разложении 3.4.2 - коорди-

натами вектора

x в базисе 3.4.1 .

Два линейных пространства L и

L над полем F называют изоморфным,

если между их векторами можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором образом суммы двух векторов служит сумма образов этих векторов, а образом произведения вектора на число служит произведение образа этого вектора на то же число, т.е. если из того, что

x x , y y ,

x, y L,

x , y L ,

следует

x y x y

x x .

Необходимым и достаточным условием изоморфного соответствия двух линейных пространств является совпадение их размерностей.

При изоморфизме линейно независимым векторам из L соответствует линейно независимые векторы из L и наоборот.

Пример 1. Выясните, какова размерность каждого из указанных линейных пространств, и найдите какойлибо базис пространства:

а)

арифметическое пространство	R	n	, векторами которого являются упорядо-

ченные наборы по n действительных чисел (см. задачу 314. . );

б)

в)

пространство Mn R многочленов с действительными коэффициентами от

одной переменной, степень которых не превышает заданного неотрицательного числа n (см. задачу 317. . a ));

пространство

Rm,n

прямоугольных

m n - матриц с действительными эле-

ментами (см.

Решение. а)

задачу

3.16. a )).

Одним из возможных базисов

R	n

является следующий:


e	1,0,0, ,0,0 ,	e	0,1,0, ,0,0	, , e		0,0,0, ,0,1 .
1		2			n


	3.4.3

Действительно, система векторов

e	e	e		,	2	, ,
1 1	2 2	n n	1		2

e	,
1


e2	, ,en линейно независима
			1	0,	2	0, ,	n
		0,0, ,0		0,		0, ,		0

и всякий вектор x Rn

линейно выражается через векторы этой системы (если

x 1, 2 , , n , то x 1e1 2e2 nen ). Следовательно, dim R

б)

Простейшим базисом Mn R

является такая система векторов:

1, e

t, ,e t

n 1

, e

3.4.4

n 1

Очевидно, что система векторов e1,e2 , ,en 1 линейно независима

e e

0 t

0, ,

0 1

1 2

n 1

и любой вектор

(если

f t 0

t M	R
n
t		t
1	n

линейно выражается через векторы этой системы

n	то	f t 0e1 1e2 nen 1 ). Таким обра-
,

зом, dim Mn R n 1 и в За базис пространства

Mn R изоморфно R	n 1	.

Rm,n можно принять систему векторов

		1			0	0							0		1
		0			0	0							0		0
e		0			0	0		,	e				0		0
e								,	e
1										2

					0										0
	0				0	0						0			0
			0		0		0							0
				1	0		0								0
e				1	0		0			,e					0
e										,e
n 1											n 2

					0
			0		0		0							0
			0		0		0
				0	0		0
e				0	0		0		.
m n

					0
			0		0		1

	0				0		0
	0				0		0
	0	, ,e			0		0
		, ,e
			n

							0
	0			0			0
0		0				0
1		0					0
1		0	, ,e				0
			, ,e
				2n

0
0		0				0

	1
	0
	0	,	(3.4.5)
		,	(3.4.5)


0
0	0
0			0
0
0			1	, ,
				, ,

0
0			0

Она линейно независима ( 1e1 2e2 m nem n

1		2		n		0	0	0

	n 1		n 2		2n	0	0	0		0,		0, ,


									1		2

m 1 n 1		m 1 n 2
				m n		0	0	0

	m n	0
	m n

) и через неё линейно выражается любой вектор

A Rm,n

( если

	11		12

A		21		22





		m1		m2

1n


	2n	,
		,



	mn
	mn

то

11 1

21 n 1

n 2

	e		e
	2n 2n		m n m n

). Поэтому

dim R	m n
m,n

Rm,n

изоморфно

R	m n	.

Пример 2. Систему многочленов

f1 t t	5	t	4	,	f2 t t	5	3t	3	,	f3 t t	5	2t	2	,	f4 t t	5	t	дополните до базиса

пространства					M5 R .
Решение. Известно (см. предыдущий пример), что dim M5 R 6.																			Выяс-

ним, сколько и каких векторов нужно взять, чтобы дополнить данную систему

векторов до базиса M5 R . Воспользуемся изоморфизмом между			M5 R и	R	6	,
векторов до базиса M5 R . Воспользуемся изоморфизмом между			M5 R и	R		,
в котором и будем работать (это проще).
f1 t x1 0,0,0,0,1,1 ,	f2 t x2	0,0,0, 3,0,5 ,
f3 t x3 0,0,2,0,0,1 ,	f4 t x4	0, 1,0,0,0,1 .

Сведём векторы x1, x2 , x3 , x4 в матрицу и приведём её элементарными преобразованиями к ступенчатому виду:

		1									1
	x		0	0	0	0	1	1		0		0	0	0	1
	x		0	0	0	3	0			0	0	2	0	0
		2						5							1
									~							.
	x		0	0	2	0	0			0	0	0	3	0

		3						1							5

			0	1	0	0	0			0	0	0	0	1
x		4						1							1

Очевидно, что система векторов x1, x2 , x3 , x4																		(а, значит и система векторов
f1 t , f2				t , f3			t , f4 t ) линейно независима. Дополнять до базиса нужно двумя
												0	1	2	3	4	5		t t5
векторами. Например,											x	0,0,0,0,0,1 f						5	t t5	и
											5							5

			0	1	2	3	4	5	f		t 1.
x	6		1,0,0,0,0,0						f	6	t 1.
	6									6

		Пример3. Проверьте, что векторы e1 2,2, 1 ,																		e2 2, 1,2 , e3 1,2,2

образуют базис пространства R3 и найдите координаты вектора x 111, , в этом базисе.

Решение. dim R3

висимы.

	1
	e	2	2	1
	e	2	1	2
	e	2	1	2
	2
		1	2
e		1	2	2
	3

3. Нужно показать, что векторы e1 ,e2 ,e3											линейно неза-
	1				1				1				1
	1	2	2		1	2	2		1	2	2		1	2	2
~	2	2		~	0	6		~	0	3		~	0	3	6	.
~	2	2	1	~	0	6	3	~	0	3	6	~	0	3	6	.

	2	1			0	3			0	6			0	0
	2	1	2		0	3	6		0	6	3		0	0	9

Значит, можно вектор																		x		разложить по базисным векторам, т.е. представить в
виде				x 1e1										2e2			3e3 , причём такое представление будет единственным.
1e1 2e2 3e3 1 2,2, 1 2 2, 1,2 3																													1, 2,2
(2	1			2		2				3		,2				1			2	2	3	,	1	2	2	2	3	1,1,1 .
	1					2				3						1			2		3		1		2		3
Отсюда
2					2								1,																	2	2	1	1
		1					2				3
		1					2				3
					2 2 3								1,						или в матричном виде											2	1	2
2 1					2 2 3								1,						или в матричном виде											2	1	2	1 .

					2				2						1
																													1		2	2	1
			1					2						3															1		2	2	1
			1					2						3

Заметим, что столбцами этой матрицы являются векторы e1 ,e2																							,e3	, x.
стему метом Гаусса:
					1				1								1					1
		2		2	1	1			1		2		2	1			1	2	2	1		1	2	2
		2		1	2		~		2		2	1				~	0	6	3		~	0	3	6
		2		1	2	1	~		2		2	1		1		~	0	6	3	3	~	0	3	6

	1			2	2				2	1			2				0	3	6			0	6	3
	1			2	2	1			2	1			2	1			0	3	6	3		0	6	3
			1					1
			1	2	2	1		1		2	2		1
~			0	1	2			0		1	2		1		.
~			0	1	2	1 ~		0		1	2		1		.

			0	2	1			0		0	3
			0	2	1	1		0		0	3		1

Решим си-


1
	~
3	~


3

Следовательно,									3 3 1 3								1		;
Следовательно,									3 3 1 3								3		;
																	3
		2				1					1 2				1	2				1	;
	2	2			3	1				2	1 2			3	1	3				3	;
	2				3					2				3

				2				2		1				1 2						2			1	2	2	1	.
			1	2			2	2	3	1		1		1 2				2		2		3	1	3	3	3	.
			1				2		3			1						2				3

Таким образом, вектор x													в базисе e1 ,e2 ,e3										имеет координаты

1		,	1	,	1
		,		,	.
	3		3
	3		3		3

3.4.1. Выясните, какова размерность каждого из указанных линейных пространств, и найдите какой-либо базис пространства:

а б

пространство R (см. пример 2 § 3.1. ) ;

пространство R (см. задачу 3.1.3 в ) ;

пространство комплексных чисел C , рассматриваемое как действительное линейное пространство (см. задачу 3.1.3. г ) ;

г пространство комплексных чисел									C , рассматриваемое как комплексное ли-
нейное пространство ;										б ;
д пространство, заданное в задаче 3.1.6.										б ;
е пространство, заданное в задаче 3.1.6										г ;
ж пространство F бесконечных действительных последовательностей, эле-
менты которых удовлетворяют соотношению k k 1 k 2 , k 3,4,
(см. задачу 3.1.8.).
3.4.2. В пространстве						R	4	найдите два различных базиса, имеющих общие
3.4.2. В пространстве						R		найдите два различных базиса, имеющих общие
векторы e1 11,,0,0				и e2	0,0,11, .
3.4.3. В базисе			1 2i, 2 i действительного линейного пространства C
найдите координаты вектора								5 4i.
				1 0				0 1	0	0
3.4.4. В базисе						,		,		действительного линейного про-
				0 1				1 0	0	1

странства
странства		L		, , R найдите координаты векторов



A	3	4		2	5
A	4	и B		2		.
	4	1		2	2
3.4.5. В пространстве						R	4	дана система векторов x1, x2 , x3 , x4 .
3.4.5. В пространстве						R		дана система векторов x1, x2 , x3 , x4 .

Можно ли принять эту систему за базис? Каковы координаты вектора													y в этом
базисе?
	x
a	x	1,1,1,1 ,	x	2	1,1,	1, 1 ,	x	3	1, 1,1, 1 ,	x	4	1, 1, 1,1 ;
	1			2				3			4
	y 1,2,1,1 .

б x1	1,1,0,1 ,					x2 2,1,3,1 ,				x3 1,1,0,0 , x4
y
y		0,0,0,1 .
3.4.6. Можно ли в пространстве многочленов
базиса систему многочленов
a x	t		2	1,	x	t	2	1,	x	2t 1;
a x	t			1,	x	t		1,	x	2t 1;
1					2				3
б x	t		2	1,	x	t	2	1,	x	2t	2	1.
б x	t			1,	x	t		1,	x	2t		1.
1					2				3

0,1, 1, 1 ;

M2 R	выбрать в качестве

3.4.7. Найдите координаты многочлена следующих базисов пространства M5 R :

t	5	t	4

t	3	t	2

в каждом из

а) e	1,	e	t,	e	t	2		,	e t	3	,	e	t	4	,	e	t	5	;
а) e	1,	e	t,	e	t			,	e t		,	e	t		,	e	t		;
1		2		3					4			5				6
б e 1, e			t 1, e				t 2 1,			e t			3 1,			e t 4 1, e					t 5 1;
1		2			3						4					5				6
в e 1 t 3 ,			e t t 3				,		e t 2	t 3 ,			e t 3 ,				e t 4			t 3 ,	e t5	t 3.
1			2						3				4				5				6

§ 3.5. Подпространства линейного пространства. Сумма и пересечение подпространств

Множество L векторов линейного пространства L называется подпро-
странством этого пространства, если :		1) сумма любых двух векторов из L
принадлежит L и 2) произведение каждого вектора из L на любое число из
поля F также принадлежит L .
Рассмотрим два подпространства L1		и L2 линейного пространства L .
Суммой подпространств L1 и	L2	называется множество всех векторов,
которые можно представить в виде	x1 x2 , где x1 и x2 принадлежат соответ-
ственно подпространствам L1 и L2 . Сумма подпространств L1 и L2 обознача-
ется L1 L2 .
Пересечением подпространств L1		и L2 называется множество векторов,

которые принадлежат одновременно обоим подпространствам. Пересечение

подпространств	L и	L	обозначается L L .
	1	2	1	2
Сумма и пересечение подпространств				L1	и	L2 являются подпространства-
ми пространства	L .
Для любых двух подпространств L1 ,				L2	конечномерного пространства

L имеет

dim L
	1

место равенство
			L	dim L	dim L
L	dim L		L	dim L	dim L
2		1	2	1	2


	3.51.

Если для каждого вектора

x x	x	,	x	L	, x	2	L
1	2		1	1		2	2

из

S L	L
1	2

представление

единственно, то

называется прямой суммой подпространств

	.
обозначается	L1 L2 .
Сумма S подпространств		L1 , L2 , , Lm	тогда и только тогда будет прямой

суммой, когда объединение базисов этих подпространств дает базис

S .

Пример 1. Покажите, что множество всех векторов

x	,	2	, ,	n
1		2		n

из

R	n

, координаты которых удовлетворяют уравнению

	1		2		n	0
	1		2		n

явля-

ется подпространством линейного пространства Rn . Найдите один из базисов и размерность этого подпространства.

Решение. Обозначим

		n
R~n x 1 , 2	, , n Rn \| i 0 .
		i 1
Множество	~n	замкнуто относительно сложения векторов и умножения
Множество	R	замкнуто относительно сложения векторов и умножения
			~n	, R
вектора на действительное число: x, y R				, R

x y 1, 2 , , n 1, 2 , , n 1 1, 2 2 , , n n ,

i i i i 0 0 0

, т.е.

;

(x y) R

i 1

, ,

i i 0 0 , т.е.

( x) R

i 1

Следовательно,

- подпространство линейного пространства

Покажем, что система векторов e1 1,0,0, ,0, 1 ,

e2 0,1,0, ,0, 1 , e3 0,0,1, ,0, 1 ,

R	n

. . . . . . .

en 1 0,0,0, ,1, 1
	~n		:
образует базис в R			:
1 e	e		e			,	2	,	, ,	n	1	,	2	n 1
1 1	2 2	n 1		n 1	1		2	3		n	1	1	2	n 1
если и только если		1		0, 2 0, , n 1 0							, т.е. система векторов

0,0,0, ,0,0 ,
e	,e	, ,e
1	2	n 1

линейно независима;
2)	~n	x		,
2)	x R	x		,
			1	2
= e	e		e
1 1	2 2		n 1	n 1

, ,		,	, ,
n	1	2

, т.е. всякий вектор

	,			n 1
n 1	~n	1	2
		может быть представлен в
x R

виде линейной комбинации системы векторов																					e1 ,e2 , ,en 1. .
Таким образом,									~n	n	1.
Таким образом,							dim R			n	1.
	Пример 2. Найдите базисы суммы и пересечения подпространств
L	L x , x	2	, x		3	, x		4	и	L	2	L y	1	, y	2	, y	3	, y	4	,	где	x	1111,,, , x	2	1, 111,, ,
1	1	2			3			4			2		1		2		3		4			1		2
x3 1,0,0,1 ,				x4			0,11,,0 ;				y1 5, 3,2,1 ,							y2 2,1,9, 3 ,					y3 7, 3,11, 2 ,
y4 3, 4, 7,4 .

Решение. Сначала найдем базисы подпространств

		1
	x					1	1	1	1			1	1	1	1			1	1	1
	x					1	1	1				0	2	0				0	1	0
	x	2				1	1	1	1			0	2	0	0			0	1	0
		2								~						~
	x					1	0	0		~		0	1	1		~		0	1	1

		3							1						0
		3
							1	1					1	1					1	1
x		4		0			1	1	0		0		1	1	0		0		1	1
					1		1	1
					1		1	1	1
					0		1	0
					0		1	0	0
			~							.
			~		0		0	1		.

									0
							0	0
				0			0	0	0
Базис L1							образуют векторы x1 , x2 , x3 , dim L1 3.

L	, L
1		2

1

0
		~
		~

0

0

	1
	0
	0
	0

0

L	L .
1		2

	1	1	1
	1	0
	1	0	0
				~
	0	1		~

			0
	0	1
	0	1	0

		1					3
	y					5	3	2

y2						2	1	9
y						7	3	11
y		3				7	3	11
		3
							4	7
y		4			3		4	7
		4
					1		5	16
					0		11	41
			~		0		11	41
			~		0		1	0
					0		1	0
							0	0
				0			0	0

		1		5
		2		1
~
		7		3

				4
	3
			1
		y

~	y3			~
	y
			2


	y		4

	16
	9
	11
	7
1	5
0	1
0	11
0	0

7

3
		~


2
4

16
0
41
0

	1	5
	0	11
	0	11
	0	32
		11
0		11
	7
	0
	0		~
			~

17
	0
	0

    

16
	41
123
	41
1	5
0	1
0	0
0	0

7

17
	~
	~

51

17
16	7
0	0
0	0	.
41		.

	17
0	0
0	0

Базис

образуют векторы

y	,
1

y	2	,
	2

dim L	3.
2

		1
	x						1	1			1			1				1		1	1			1				1		1			1	1
	x						1	1			1			1				0		2	0			0				0		1			0	0
	x	2					1	1			1			1				0		2	0			0				0		1			0	0
		2
x		3			1			0			0			1			0			1	1			0			0			1		1		0
		3														~										~									~
	y						5	3			2			1		~		0		8	3					~		0		8		3			~
	y						5	3			2			1				0		8	3				4			0		8		3		4
		1
	y						2	1			9							0		1	7							0		1			7
	y	2					2	1			9				3			0		1	7				5			0		1			7	5
		2
								3												10										10
y		3			7			3			11				2		0			10	4				9		0			10			4	9
		3

						1		1			1	1					1		1	1	1					1	1			1	1
						0		1			0	0					0		1	0	0					0	1			0
						0		1			0	0					0		1	0	0					0	1			0	0

						0		0		1		0					0		0	1	0					0	0		1
			~			0		0		1		0		~			0		0	1	0			~		0	0		1		0
			~			0		0		3				~			0		0	0				~		0	0			0		.
						0		0		3			4				0		0	0		4				0	0			0	1

						0		0			7						0		0	0						0	0			0
						0		0			7		5				0		0	0		5				0	0			0	0

				0				0			4		9			0			0	0		9			0		0			0	0
Базис				L1 L2						составляют вектора x1											, x2 , x3			, y1		, dim L1 L2 4.
			Размерность пересечения подпространств																								L1		и	L2	определим из соотно-
шения					351. . ;																		2									.
				1			2					1						2			1		2		3		3 4 2					.
dim L					L				dim L					dim L					dim L				L		3		3 4 2
			Обозначим базисные вектора подпространства																											L L			через		z	и z	2	. По
																														1		2			1		2
определению пересечения подпространств																																				352. .
zi		1i x1 2i									x2 3i				x3	1i			y1 2i y2				3i y3 ,					i 1,2,								352. .
или																																				35. .3
1i x1				2i				x2 3i				x3 1i ( y1) 2i									y2 3i				y3 ,		i 1,2,									35. .3

где слева от равенства записана линейная комбинация векторов, образующих базис L1 L2 . Переменные 2i и 3i , стоящие при линейно зависимых векто-

рах, называются свободными. Выберем их значения в соответствии с таблицей

i	2i	3i
1	1	0
2	0	1			3.5.3
При таком выборе значений 2i			и 3i	системы линейных уравнений	3.5.3	от-

носительно 1i , 2i , 3i , 1i будут иметь линейно независимые решения. Запишем явно системы 35. .3 и решим их методом Гаусса. Учитывая, что системы уравнений 35. .3 отличаются лишь правыми частями, целесообразно их объединить в одну расширенную матрицу.

x1		x2	x3	y1	y2	y3			1	1	1
1		1	1	5 2		7

									0	2	1
	1	1	0	3	1
						3	~
									0	0	1
1		1	0	2	9	11

										0	0
		1	1					0
1				1 3 2

5	2	7
8
8	1 10

3	7	4
4
4	5 9

Осуществляя обратный ход в вычислительной схеме Гаусса, рассматриваем сначала первый столбец свободных членов, соответствующий 21 1, 31 0, а

затем второй, полученный при 22																								0, 32 1.					В результате приходим к тому,
что:
11	45		, 21					7		,	31						43			, 11				5	и
11	8		, 21					8		,	31							4		, 11				4	и
	8							8										4						4
12	41		, 22					11			, 32								43		,	12			9	.
12	8		, 22					8			, 32								4		,	12			4	.
	8							8											4						4
Соотношения 35. .2 будем использовать для вычисления и проверки получен-
ных результатов:
z		x						x							x					45			1111,,,				7	1, 111,,		43	1,0,0,1
z		x				21		x	2				31		x	3							1111,,,					1, 111,,			1,0,0,1
1	11		1			21			2				31			3				8							8			4
																				8							8			4
		17		,	19	,	26			,		17
		4		,	4	,	4			,		4		,
		4			4		4					4

																							5
		y				21		y	2					31		y		3					5	5, 3,2,1						1 2,1,9, 3				0	7, 3,11, 2
	11	1				21			2					31				3					4
																							4
																							17		,	19	,	26	,	17		z	;
																									,		,		,			z	;
																							4			4		4		4		1
																							4			4		4		4
z					x								x								x				41		11,,11,				11 1, 111,,					43 1,0,0,1
	2		12		1						22			2					32			3				8					8					4
	2		12		1						22			2					32			3

				17			,	15		,		26			,		17
					4		,	4		,		4			,			4		,
					4			4				4						4

								9
	y		y	2		y	3	9		5, 3,2,1					0 2,1,9, 3					1 7, 3,11, 2
12	1	22		2	32		3		4
									4
										17	,	15	,	26	,	17	z		.
											,		,		,		z	2	.
										4		4		4		4		2
										4		4		4		4

3.5.1. Укажите, какие из заданных множеств являются подпространствами действительных линейных пространств. Найдите один из базисов и размерность каждого из этих подпространств:

а)	все векторы плоскости, каждый из которых параллелен либо оси	x , либо
	оси y ;

б) в) г)

д) е)

все векторы плоскости, одинаково направленные с осью x ;

все векторы из	R	n		, сумма координат каждого из которых равна ;

все векторы из	R		n	, у которых первая и последняя координаты равны между

собой;				вида , , , , , , , где и - действительные числа;
все векторы из Rn

все симметричные матрицы порядка n ;

a,b,c C

ж)

;

a,b,c R

з)

;

и)

все кососимметричные матрицы порядка

(квадратная матрица

называется кососимметричной, если ij ji для любых i, j ).

		ij
A

3.5.2. Что представляют собой сумма и пересечение следующих подпро-

странств	L1	и	L2 пространства	Rn,n всех действительных квадратных матриц
порядка	n :
а) L - пространство симметричных матриц (см. задачу 3.5.1 е) ),					L	2	- простран-
1						2

ство верхних треугольных матриц;

б) L1 - пространство симметричных матриц,

ных матриц (см. задачу 3.5.1

и) ).

- пространство кососимметрич-

3.5.3. Найдите какиелибо базисы суммы и пересечения подпространств

L L x

, x

L y , y

, y

арифметического векторного пространства

строк R4 :

а) x1 11,,2,1 ,

0,1,3,2 ,

2,11,,3 ,

3,1,4,0 ,

6, 2,0,1 ,

y3 5,3,0,1 ;

б) x1 0,0, 1, 1 ,

x2 0,2,2,0 ,

x3 11,,0,0 ,

0, 2,0, 2 ,

y2 11,,2,0 ,

y3 2,1,2,1 ;

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.03.2016478.69 Кб20Глава 1.pdf
#
27.03.2015184.32 Кб10Глава 10.doc
#
11.03.2016780.58 Кб10Глава 2.pdf
#
11.03.2016416.27 Кб9Глава 2.pdf
#
11.03.2016546.03 Кб8Глава 3,4.pdf
#
11.03.2016719.99 Кб7Глава 3.2.pdf
#
11.03.2016746.33 Кб8Глава 3.pdf
#
11.03.2016911.85 Кб7Глава 5.pdf
#
11.03.2016660.06 Кб5Глава 6.pdf
#
11.03.2016540.54 Кб7Глава 8.pdf
#
23.09.2019497.15 Кб8Главная Шпора ТФКП теория.doc

		1			0	0							0		1
		0			0	0							0		0
e		0			0	0		,	e				0		0
e								,	e
1										2

					0										0
	0				0	0						0			0
			0		0		0							0
				1	0		0								0
e				1	0		0			,e					0
e										,e
n 1											n 2

					0
			0		0		0							0
			0		0		0
				0	0		0
e				0	0		0		.
m n

					0
			0		0		1

		1			0	0							0		1
		0			0	0							0		0
e		0			0	0		,	e				0		0
e								,	e
1										2

					0										0
	0				0	0						0			0
			0		0		0							0
				1	0		0								0
e				1	0		0			,e					0
e										,e
n 1											n 2

					0
			0		0		0							0
			0		0		0
				0	0		0
e				0	0		0		.
m n

					0
			0		0		1

		1			0	0							0		1
		0			0	0							0		0
e		0			0	0		,	e				0		0
e								,	e
1										2

					0										0
	0				0	0						0			0
			0		0		0							0
				1	0		0								0
e				1	0		0			,e					0
e										,e
n 1											n 2

					0
			0		0		0							0
			0		0		0
				0	0		0
e				0	0		0		.
m n

					0
			0		0		1