Глава 2

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5 2 5 2 1 N 3,4,1,2 5 2 6 1 1 N 3,4,2,1

1 6 5 2 1 N 4,3,1,2

1 6 6 1 1 N 4,3,2,1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.03.2016

Размер:

780.58 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Глава 2

Матрицы и определители

§ 2.1. Действия с матрицами

поля

Прямоугольной или m n - матрицей называется совокупность чисел из F , расположенных в виде таблицы

	11		12	1n
		21	22
A		21	22	2n	.
A					.

			m2
	m1		m2	mn

Кратко матрицу A записывают в виде

	ij	i 1,2, ,m; j 1,2, ,n.
A	,	i 1,2, ,m; j 1,2, ,n.

Числа

, составляющие данную матрицу, называют ее элементами. Первый

индекс у элемента указывает номер строки, а второйномер столбца, на пересечении которых находится этот элемент.

Матрицу называют комплексной, если хотя бы один ее элемент является комплексным числом, и действительной, если все ее элементыдействительные числа.

Две матрицы одинакового размера m n считают равными, если попарно равны их соответствующие элементы, т.е. элементы, стоящие на одинаковых местах в этих матрицах.

Матрицу, состоящую из одной строки или одного столбца, называют соответственно векторстрокой или векторстолбцом. Элементы векторов называют их компонентами. Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом.

Матрица, состоящая из нулей, называется нулевой и обозначается . Если число строк m матрицы равно числу n ее столбцов, то матрицу

называют квадратной порядка n . Диагональ квадратной матрицы, соединяющая левый верхний угол с правым нижним, называется главной. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называют диагональными. Примером диагональных матриц является единичная матрица

		1	0	0
		0	1	0
E					.



			0
	0			1

Матрицу, полученную из данной матрицы A заменой в ней строк соответствующими столбцами, называют транспонированной к A и обозначают че-

рез	AT . Если A - m n - матрица, то AT - n m - матрица. В частности, если
A -	векторстрока, то AT - векторстолбец и наоборот.

Суммой матриц

A ij и B ij одинакового размера m n называет-

ся матрица C ij того же размера, элементы которой равны суммам ij ij соответствующих элементов слагаемых матриц. Таким образом

11 11


	2.11.

Разность матриц определяется аналогично:

2.12.

m1 m1

mn mn

Произведением матрицы A ij

на число называют матрицу A ,

все элементы которой равны произведениям соответствующих элементов исходной матрицы на это число:

	11		1n
A					.
A					.	2.1.3

		m1		mn
		m1		mn

Сложение матриц и умножение их на числа обладают следующими свойствами:

1)A B B A;

2)A (B C) ( A B) C;

3)A A;

4)A ( A) , где A

5)1 A A;

6)A A A;

7)A B A B;

8)A A.

при любых матрицах

A, B,C

	A;
1

и любых числах

, .

2.14.

Произведением матриц						A и B , заданных в указанном порядке, называ-
Умножение матриц определяется лишь для случая, когда число столбцов
первого множителя равно числу строк второго множителя. Пусть
		11						11
		11		1n				11		1p
A ij	,					B jk	.
	m1						n1
	m1		mn				n1		np
ется матрица C ik ,					элементы которой определяются по следующему пра-
вилу:

i 1, ,m; k 1, , p,

2.15.

т.е. элемент

матрицы

равен сумме произведений элементов

i - строки

матрицы A на соответствующие элементы k - го столбца матрицы B . Из этого определения следует, что матрица C будет матрицей размера m p .

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

1) A B B A; в общем случае (если для каких-либо матриц

A и

B выполня-

ется равенство

A B B A, матрицы называются перестановочными);

2 ) A B C A B C;

A B

B A

B ;

2.16.

4 ) A B C A C B C;

5) C A B C A C B.

Отметим некоторые свойства операции транспонирования матриц:

A T AT ;

2 ) A B

;

3) A

Пример 1. Найдите матрицу

3 X A 2 B , где

X , удовлетворяющую равенству

	1	5
		.
7		9

		Решение. Исходя из свойств линейных операций над матрицами, равен-
ство			3 X A 2 B					равносильно равенству				X	1	2 B A .				Таким образом,
ство			3 X A 2 B					равносильно равенству				X	3	2 B A .				Таким образом,
													3
	1				1	5		4 5	1 2 1		2 5	4		5			1 2 4		10 5		2	5
X				2																		.
X				2																		.
	3				7	9		1 3		7	2 9	1		3			3 14 1 18 3				5	7
	3				7	9		1 3	3 2	7	2 9	1		3			3 14 1 18 3				5	7

	Пример 2. Вычислите								A B	и B A при A				2		3		0	1
	Пример 2. Вычислите								A B	и B A при A									,
															1	1		2	1
				2	0
				1
				1	1
B							.
B			1		2		.
			1		2
				1
				1	3
		Решение. Произведение A B имеет смысл, так как число столбцов матри-
цы A равно числу строк матрицы B . Поэтому
					2 2 3 1 0 1 1 1						2 0 3 1					0 2 1 3				0	0
A B					1 2 1 1 2 1 1 1																.
					1 2 1 1 2 1 1 1						1 0 1 1 2 2 1 3									0	0

цы

Произведение											B A		также имеет смысл, поскольку число столбцов матри-
B равно числу строк матрицы																	A .
				2			2	0 1						2 3 0 1					2 0 0 2				2 1			0
				2			2	0 1						2 3 0 1					2 0 0 2				2 1			0				1

		1			2							1	1 3					1 0				1 1
A		1			2					1		1	1 3			1 1		1 0			1 2	1 1			1				1
A
			1				2				2 1			1	3 2 1				1 0 2 2				1 1 2							1
			1				2				2 1			1	3 2 1				1 0 2 2				1 1 2							1
								3 1						1 3 3 1					1 0 3 2				1 1			3
				1			2
				1			2																						1
	4					6					0	2
				3		2			2			2
				3		2			2			2		.

		4			1					4

												3
		1				6					6
		1				6					6	2
																										4	3
																				2
Пример 3. Найдите													f ( A)		, если f (x) x					2	2x 5,		A							.
Пример 3. Найдите													f ( A)		, если f (x) x						2x 5,		A							.
																								2				1

Решение. Подставляя в многочлен f (x) вместо

что 5 5 x		0	, получаем
что 5 5 x			, получаем
								4			2			4				1

f ( A) A2		2 A							3			2			3		5
f ( A) A2		2 A		5E	2							2					5
					2
							2			1			2		1		0
						8
	10		15			8			6			5	0			7	9
						4						0					.
10			5			4			2			0	5		6		2

0 1

матрицу

и учитывая,

2.1.1. Найдите матрицу				X , удовлетворяющую условию:
			4	2	6
a) 5A 2 X , где	A		8	0	0	;
a) 5A 2 X , где	A		8	0	0	;

				4
		0		4	2
		3		2	6	3	5	9
б) 3X 2B A, где	B		4	3	6		6
б) 3X 2B A, где	B		4	3	6	, A 1	6	6 .
							1
		7 2			3	1	1	6
2.1.2. Найдите сумму матриц					A B , разность матриц				A B
ния матриц A B и B A , если они существуют:

и произведе-

	4				3			1	3	2							2		3
	4		2		3			1	3	2
a) A		4	5		2	, B		3	4	1	;		б) A 1, 2,5,3 , B					1	0	;
																		2	4
		2 3							5									2	4
		2 3			1			2	5	2
																	1		5
						4						cos	sin			cos			sin
в) A 1,0,5 ,				B		2	;		г) A			cos	sin	,	B	cos			sin		;
																	sin
												sin	cos				sin		cos
						3

						1																									1
										0						0																		0									0
				0												0														0													0
д) A				0							2					0			,					B						0						2							0		.
											2																									2
			.							. .						.												.							.					.			.
			.							. .						.												.							.					.			.
				0						0																								0
				0						0							n											0						0										n
																	n																											n
		2.1.3. Вычислите														AB,						A			Т	B		Т		,	B		Т	A		Т		,	если
		2.1.3. Вычислите														AB,						A				B				,	B			A				,	если
																																													5
																			1						2																		0		5	1
				1					0
a) A				1					0				1																											A						2
a) A														, B					1						0		;									б)				A			3		0	2
			2						3		2
			2						3		2																																		1	0
																		3							1																1				1	0
		2.1.4. Вычислите:
		2	1						n															cos							sin									n

а)										;								б)															cos							;
	3				2																sin												cos
																													1				0		n
					n																								1				0
		1			n

			1
в)							;											г)						0									1				.
в)	0		1				;											г)						0									1				.
	0		1																										0
																					0								0
		2.1.5. Найдите f A , если
																													4			3
а) f x x2										5x 10,												A
а) f x x2										5x 10,												A													;
																											2						1

б) f x x3 4x2 x 1,																							A							1				2
б) f x x3 4x2 x 1,																							A						2							;
																													2					1
в) f x x								2		3x 1,																			1				i
								2															A											;
																							A											;
																											0						1

г) f x x								2		2x 3,													A							1				3
								2																												.
																														1						.
																														1				0
		2.1.6. Докажите, что для перестановочных матриц
равенства:
a) A				B			2		A			2	2 AB B									2		;
a) A				B					A				2 AB B											;
б) A B A B A															2	B				2			;

в) An Bn									A B An 1 An 2 B ABn 2																																	Bn 1				;
г) A B n An nAn 1B																								n n 1									An 2 B2 Bn .
г) A B n An nAn 1B																																	An 2 B2 Bn .
																										2!

Верны ли эти равенства, если AB BA ?

					1
				1	1	0

0
				1	0	0
0	,	B					.
				1	1
				1	1	0

0					0
			1		0	1

имеют место

§ 2.2. Определение и простейшие свойства определителей

Определителем

рядка

n , называется

n - го порядка, соответствующим квадратной матрице поалгебраическая сумма n! членов, составленная следую-

щим образом: членами суммы служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному в каждой строке и в каждом столбце, причем

член	i	1	i		2	i	n	берется со знаком плюс, если перестановка	i1 ,i2 , ,in	со-
	1			2		n

держит четное число инверсий, и со знаком минус- в противном случае. При этом инверсией чисел ik и il называется ситуация, в которой ik il , но ik сто-

ит в перестановке i1,i2 , ,in раньше, чем il . Для определителя матрицы дем использовать обозначения A или det A .

бу-

Определители первого, второго и третьего порядков вычисляются по фор-

мулам, вытекающим непосредственно из определения:
det	11	11	;

det

det

11 21 11 21 31

   

12 22 12 22 32

11 22 21					12 ;
11 22 21					12 ;

	13
	13
		11 22			33 21 32				13 31 12				23
	23	11 22			33 21 32				13 31 12				23

	33
	33
			11	32		23	21	12		33	31	22		13	.
			11	32		23	21	12		33	31	22		13

(2.2.1)

При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться

“правилом треугольников”, отраженным по следующей схеме:

	+
11		12		13	11		12		13

21		22	23		21	22		23

31		32	33		21	22		23

б)

Из определения определителя следует, что:

		11	0			0
det		0	22			0									;.
det															;.
									11		22			nn
									11		22			nn

		0	0		nn
	11		12			1n				11		0
		0
det		0		22			2n	det			21		22
				22			2n				21		22



		0	0
		0	0				nn				n1		n2
							nn				n1		n2

0
0
0
		11	22	nn




	nn
	nn

2.2.2

. 2.2.3

Таким образом определитель диагональной, верхней и нижней треугольных матриц равен произведению диагональных элементов.

1. 2 3 4

Основные свойства определителей:

Определитель не меняется при транспонировании.

. От перестановки двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

. Определитель, содержащий две равные строки (столбца), равен нулю.

. Если все i - строки ( j - го столбца) определителя представлены в виде сум-

мы двух слагаемых, то и весь определитель представляется в виде суммы двух определителей, у которых все строки (столбцы), за исключением i - й ( j - го), такие же, как в исходном определителе, а i - я строка ( j - й столбец)

в первом определителе состоит из первых слагаемых и во второмиз вторых. Например:


		11					12				13				11		12		13			11		12		13
		11					12				13				11		12		13			11		12		13
			1		2			2		3			3					2		3		1		2		3	.
1			1		2			2		3			3		1			2		3		1		2		3
		31					32				33				31		32		33			31		32		33
		31					32				33				31		32		33			31		32		33
	11					12			13			11		12		13					12		13
	11			1		12			13			11		12		13				1	12		13
	21			2		22			23			21		22		23				2	22		23		.
	21			2		22			23			21		22		23				2	22		23
	31			3		32			33			31		32		33				3	32		33
	31			3		32			33			31		32		33				3	32		33

6 7

. Если все элементы некоторой строки (столбца) умножить на число, то определитель умножится на это число. Общий множитель элементов строки (столбца) определителя можно выносить за знак определителя. Если все элементы определителя умножить на число , то определитель умножится на

n .

. Если одна из строк (один из столбцов) определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

. Определитель не меняется, если к элементам одной его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой его строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Пример 1. Определите число инверсий в перестановке 2,3,8,1,4,5,7,6. Решение. Поскольку 2 стоит в перестановке раньше, чем 1, 2 образует в

перестановке одну инверсию. 3 также образует одну инверсию, 8- пять инверсий, т.к. стоит раньше, чем 1,4,5,7 и 6. Продолжая, получаем, что общее число инверсий в перестановке

N 2,3,8,1,4,5,7,6 1 1 5 0 0 0 1 0 8.

Пример 2. Пользуясь только определением, вычислите определитель.

0 0 5 1

0	0	6	2 .
5	6	7	3
1	2	3	4

Решение. В соответствии с формальным определением определителя

A	n!						1 N i1 ,i2 , ,in .
A			i	2	i	n	1 N i1 ,i2 , ,in .
		i 1	i	2	i	n
	i1 ,i2 , ,in	1	2		n
	i1 ,i2 , ,in

2.2.4

Запишем все ненулевые произведения элементов матрицы и соответствующие им перестановки:

	Учитывая,
N 3,4,1,2		2
		2
N	3,4,2,1	2
N 4,3,1,2 3
		3
N	4,3,2,1	3

что

2	4,
2	1 5,
2	5,
2	1 6,

окончательно получаем:

35 2 1

100 60 60 36 16.

Пример 3. Применяя свойства, вычислите определитель

1	1	2
1	3	4	.
0	1	1	.
0	1	1
5	3	3

Решение. Для вычисления определителя воспользуемся методом приведения его к верхнему треугольному виду. Метод заключается в преобразовании определителя к такому виду, где все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю. Полученный определитель равен произведению элементов главной диагонали.

Переставим первую и четвертую строки определителя. Определитель изменит знак:

3	1	1 2		1	5	3	3
5	1	3	4	5	1	3	4	A .
2	0	1	1	2	0	1	1
1	5	3	3	3	1	1 2

Первую строку последнего определителя, умноженную на 5, прибавим ко второй его строке; первую строку, умноженную на 2 , прибавим к третьей

строке; первую Получим:

	1	5
A	0	24
A	0	10
	0	10
	0	16

строку, умноженную на 3 , прибавим к четвертой строке.

3	3
18	19	.
5	5	.
5	5
10	11

Переставим вторую и третью строки полученного определителя; вынесем общий множитель элементов второй строки за знак определителя. Получим:

	1	5	3
A 5	0	2	1
A 5	0	24	18
	0	24	18
	0	16	10

3 119 11

Вторую строку определителя, умноженную на 12 , прибавим к третьей
строке; вторую строку,							умноженную на 8 , прибавим к четвертой строке.
Имеем:
	1		5	3	3
A 5	0		2	1	1		.
A 5	0		0	6	7		.
	0		0	6	7
	0		0	2	3
Переставим третью и четвертую строки. Третью строку полученного опре-
делителя, умноженную на									3, прибавим к четвертой строке. Приходим к опре-
делителю верхней треугольной матрицы
		1	5	3		3
A 5		0	2	1		1		,
A 5		0	0	2		3		,
		0	0	2		3
		0	0	0		2
который вычисляется просто:
A 5		1 2 2 2 40 .
2.2.1. Входят ли в определитель 5- го порядка произведения:
a) 13 24 23 41 55					;				б) 21 13 34 55 42 ?
2.2.2. С каким знаком в определитель 6- го порядка входят произведения:
a) 23 31 42 56 14						65	;		б) 32 43 14 51 66 25 ?
2.2.3. Подберите i						и k так, чтобы произведение 1i 32 4k 25 53 входи-

ло в определитель 5- го порядка со знаком плюс.

2.2.4. Запишите (пользуясь определением) определитель четвертого порядка в развернутой форме.

2.2.5. Пользуясь только определением, вычислите определители:

	11	12		13		14		15			a	3	0	5			1	0	2	a


	21	22		23		24		25			0	b	0	2			2	0	b	0

a)			0		0		0		;	б)					;	в)					.
	31	32									1	2	c	3			3	c	4	5

			0		0		0
	41	42									0	0	0	d			d	0	0	0

			0		0		0
	51	52

2.2.6. Вычислите определители:

а)		2	1	;					б)		sin		cos	;
а)	1		2	;					б)	cos			sin	;
	1		2							cos			sin
			1		где cos			i sin ;		1		1	1
г)			1	,					д) 1			2	3;
г)	1			,					д) 1			2	3;
	1						3	3		1		3	6
							3	3

		1 a			1 b	1 c				1	1 1
ж)		a			b	c	;		з) 1			w	w , где
		a2			b2	c2				1		w2	w


в)	1		2	2			5	;
	2			1
	2		5	1			5
	2			1	2
е) 4				3	1 ;
	2			3	5
w cos	2	i sin			2	.
w cos	3	i sin			3	.
	3				3

2.2.7. Применяя свойства, вычислите определители:

	8	1	5	1			7	6	3	7			6	5	8	4			7	3	2	6
а)	9	3	0	6	;	б)	3	5	7	2	;	в)	9	7	5	2	;	г)	8	9	4	9	.
а)	5	2	1	2	;	б)	5	4	3	5	;	в)	7	5	3	7	;	г)	7	2	7	3	.
	5	2	1	2			5	4	3	5			7	5	3	7			7	2	7	3
	0	4	7	6			5	6	5	4			4	8	8	3			5	3	3	4

2.2.8. Не развертывая определителей, докажите следующие тождества:

a1 b1 а) a2 b2 a3 b3

a1 b1x б) a2 b2 x a3 b3 x

a1 b1i в) a2 b2i a3 b3i a1 b1x г) a2 b2 x a3 b3 x

a1x b1 y c1		a1	b1	c1
a2 x b2 y c2 a2			b2	c2 ;
a3 x b3 y c3		a3	b3	c3
a1 b1x c1			a1	b1	c1
a2 b2 x	c2 2x a2			b2	c2 ;
a3 b3 x c3			a3	b3	c3
a1i b1	c1	a1	b1	c1
a2i b2	c2 2 a2		b2	c2 ;
a3i b3	c3	a3	b3	c3

a1x b1			c1	a1		b1	c1
a	2	x b c		(1 x2 ) a	2	b c .
		2	2			2	2
a3 x b3			c3	a3		b3	c3

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.20152.08 Mб196Гидроэнергетика (методичка_2012).doc
#
27.03.20151.51 Mб277Гильмундинов-Мельников.pdf
#
27.03.2015148.54 Кб7глава 2.docx
#
11.03.2016478.69 Кб20Глава 1.pdf
#
27.03.2015184.32 Кб10Глава 10.doc
#
11.03.2016780.58 Кб10Глава 2.pdf
#
11.03.2016416.27 Кб9Глава 2.pdf
#
11.03.2016546.03 Кб8Глава 3,4.pdf
#
11.03.2016719.99 Кб7Глава 3.2.pdf
#
11.03.2016746.33 Кб8Глава 3.pdf
#
11.03.2016911.85 Кб7Глава 5.pdf

		11	0			0
det		0	22			0									;.
det															;.
									11		22			nn
									11		22			nn

		0	0		nn
	11		12			1n				11		0
		0
det		0		22			2n	det			21		22
				22			2n				21		22



		0	0
		0	0				nn				n1		n2
							nn				n1		n2


		11					12				13				11		12		13			11		12		13
		11					12				13				11		12		13			11		12		13
			1		2			2		3			3					2		3		1		2		3	.
1			1		2			2		3			3		1			2		3		1		2		3
		31					32				33				31		32		33			31		32		33
		31					32				33				31		32		33			31		32		33
	11					12			13			11		12		13					12		13
	11			1		12			13			11		12		13				1	12		13
	21			2		22			23			21		22		23				2	22		23		.
	21			2		22			23			21		22		23				2	22		23
	31			3		32			33			31		32		33				3	32		33
	31			3		32			33			31		32		33				3	32		33

	11	12		13		14		15			a	3	0	5			1	0	2	a


	21	22		23		24		25			0	b	0	2			2	0	b	0

a)			0		0		0		;	б)					;	в)					.
	31	32									1	2	c	3			3	c	4	5

			0		0		0
	41	42									0	0	0	d			d	0	0	0

			0		0		0
	51	52

	8	1	5	1			7	6	3	7			6	5	8	4			7	3	2	6
а)	9	3	0	6	;	б)	3	5	7	2	;	в)	9	7	5	2	;	г)	8	9	4	9	.
а)	5	2	1	2	;	б)	5	4	3	5	;	в)	7	5	3	7	;	г)	7	2	7	3	.
	5	2	1	2			5	4	3	5			7	5	3	7			7	2	7	3
	0	4	7	6			5	6	5	4			4	8	8	3			5	3	3	4

		11	0			0
det		0	22			0									;.
det															;.
									11		22			nn
									11		22			nn

		0	0		nn
	11		12			1n				11		0
		0
det		0		22			2n	det			21		22
				22			2n				21		22



		0	0
		0	0				nn				n1		n2
							nn				n1		n2


		11					12				13				11		12		13			11		12		13
		11					12				13				11		12		13			11		12		13
			1		2			2		3			3					2		3		1		2		3	.
1			1		2			2		3			3		1			2		3		1		2		3
		31					32				33				31		32		33			31		32		33
		31					32				33				31		32		33			31		32		33
	11					12			13			11		12		13					12		13
	11			1		12			13			11		12		13				1	12		13
	21			2		22			23			21		22		23				2	22		23		.
	21			2		22			23			21		22		23				2	22		23
	31			3		32			33			31		32		33				3	32		33
	31			3		32			33			31		32		33				3	32		33

	11	12		13		14		15			a	3	0	5			1	0	2	a


	21	22		23		24		25			0	b	0	2			2	0	b	0

a)			0		0		0		;	б)					;	в)					.
	31	32									1	2	c	3			3	c	4	5

			0		0		0
	41	42									0	0	0	d			d	0	0	0

			0		0		0
	51	52

	8	1	5	1			7	6	3	7			6	5	8	4			7	3	2	6
а)	9	3	0	6	;	б)	3	5	7	2	;	в)	9	7	5	2	;	г)	8	9	4	9	.
а)	5	2	1	2	;	б)	5	4	3	5	;	в)	7	5	3	7	;	г)	7	2	7	3	.
	5	2	1	2			5	4	3	5			7	5	3	7			7	2	7	3
	0	4	7	6			5	6	5	4			4	8	8	3			5	3	3	4

		11	0			0
det		0	22			0									;.
det															;.
									11		22			nn
									11		22			nn

		0	0		nn
	11		12			1n				11		0
		0
det		0		22			2n	det			21		22
				22			2n				21		22



		0	0
		0	0				nn				n1		n2
							nn				n1		n2


		11					12				13				11		12		13			11		12		13
		11					12				13				11		12		13			11		12		13
			1		2			2		3			3					2		3		1		2		3	.
1			1		2			2		3			3		1			2		3		1		2		3
		31					32				33				31		32		33			31		32		33
		31					32				33				31		32		33			31		32		33
	11					12			13			11		12		13					12		13
	11			1		12			13			11		12		13				1	12		13
	21			2		22			23			21		22		23				2	22		23		.
	21			2		22			23			21		22		23				2	22		23
	31			3		32			33			31		32		33				3	32		33
	31			3		32			33			31		32		33				3	32		33

	11	12		13		14		15			a	3	0	5			1	0	2	a


	21	22		23		24		25			0	b	0	2			2	0	b	0

a)			0		0		0		;	б)					;	в)					.
	31	32									1	2	c	3			3	c	4	5

			0		0		0
	41	42									0	0	0	d			d	0	0	0

			0		0		0
	51	52

	8	1	5	1			7	6	3	7			6	5	8	4			7	3	2	6
а)	9	3	0	6	;	б)	3	5	7	2	;	в)	9	7	5	2	;	г)	8	9	4	9	.
а)	5	2	1	2	;	б)	5	4	3	5	;	в)	7	5	3	7	;	г)	7	2	7	3	.
	5	2	1	2			5	4	3	5			7	5	3	7			7	2	7	3
	0	4	7	6			5	6	5	4			4	8	8	3			5	3	3	4