Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Глава 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.03.2016

Размер:

416.27 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Функция, определенная на множестве натуральных чисел ¥ и при- нимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью. Сокращенно последова-

тельность x1 , x2 ,..., xn ,... обозначается символом {xn} . Если x1, x2 ,..., xn ,... – некоторая последовательность, а

n1 < n2 < ... < nk < ... –

возрастающая последовательность натуральных чисел, то последо-

вательность xn1 , xn2 ,..., xnk ,... называется подпоследовательностью

последовательности {xn} .

Арифметические операции для последовательностей определим сле- дующим образом:

{xn + yn} = x1 + y1, x2 + y2 , ..., xn + yn , ...;

{xn - yn} = x1 - y1 , x2 - y2 , ..., xn - yn , ...;

{xn yn} = {xn × yn} = x1 × y1, x2

× y2 , ..., xn × yn , ... ;

ì ü df

ý =

, ...,

, ..., если "n yn ¹ 0 .

î yn þ

Последовательность {xn } называется:

– ограниченной сверху, если

– неограниченной сверху, если

$c Î¡ "n Î¥ xn £ c;

"cÎ ¡ $nÎ ¥ xn > c ;

– ограниченной cнизу, если

– неограниченной снизу, если

$c Î ¡ "n Î ¥ xn ³ c ;

"c Î ¡ $nÎ ¥ xn < c ;

– ограниченной, если

– неограниченной, если

$c Î ¡ "n Î¥

£ c ;

"c Î ¡ $nÎ ¥

> c;

– бесконечно большой (ББП),

– не является бесконечно большой,

если "E > 0

$n0 Î¥

если $E > 0 "n0 Î¥

"n Î ¥,n ³ n0

> E ;

$n Î ¥, n ³ n0

£ E ;

– бесконечно малой (БМП),

– не является бесконечно малой,

если "e > 0

$n0 Î¥

< e;

если $e > 0 "n0 Î¥

"n Î¥,n ³ n0

$n Î¥,n ³ n0

³ e

Точные грани последовательностей

Если {xn } ограниченная последовательность, то

		ì	1) n ¥ xn £ s ;
		ï	1) n ¥ xn £ s ;
s = sup xn = sup xn		íï	2) "e > 0 $n Î¥ xn	> s - e
	n	ï	или "s′ < s	$n s′ < xn .
		ï	или "s′ < s	$n s′ < xn .
		î
		ïì	1) n ¥ i £ xn ;
i = inf xn	= inf xn	íï	2) ε > 0 n ¥ xn	< i + ε
	n	ï	или "i′ > i	$n xn < i′ .
		ï	или "i′ > i	$n xn < i′ .
		î

Если {xn } неограничена сверху, то sup xn = +¥.

Если {xn } неограничена снизу, то inf xn = −∞ .

Последовательность {xn } называется:

– возрастающей, если		– убывающей, если
"n Î ¥ xn	< xn+1;	"n Î ¥ xn > xn+1 ;
– неубывающей, если		– невозрастающей, если
"n Î ¥ xn	£ xn+1;	"n Î ¥ xn ³ xn+1

Неубывающие, невозрастающие, убывающие и возрастающие

последовательности объединяются общим наименованием монотонные последовательности; убывающие и возрастающие после-

довательности называют также строго монотонными

Лемма 2.1. Добавление и удаление конечного числа элементов последовательности не влияет на ее ограниченность (неограни- ченность).

2.2.СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Пусть {xn }

– БМП, тогда по определению нера-

1. БМП ограничена

венству

³ 1 удовлетворяет лишь конечное число

ее членов. Обозначим через S сумму модулей таких

членов, тогда "n

< S +1

Если

{xn }

БМП,

то

Доказательство следует непосредственно из оп-

{

}

БМП,

и наоборот

ределения

а) Из условия (по определению БМП) имеем:

"e > 0

$n "n ³ n

< e

;

{xn }

и {yn}

Если

–

"e > 0

"n ³ n

< e .

БМП, то

= max{n1, n2 } , получим

а) {xn ± yn } – БМП;

Полагая n0

б) "c Î ¡ {cxn}

– БМП.

"n³n0

xn± yn

<e 2+ e 2=e .

Следствие.

Алгебраиче-

б) Для c = 0 утверждение очевидно. Пусть c ¹ 0 ,

тогда

по

условию

"e > 0

"n ³ n

< e

;

ская сумма

любого конеч-

ного числа БМП есть БМП.

следовательно,

"e > 0 $n "n ³ n

= e

4. Произведение БМП на

Пусть {yn }

– ограниченная последовательность,

ограниченную

последова-

тогда

$c > 0

£ c .

Так

как

{xn }

БМП,

то

тельность есть БМП.

< e

Следствие.

Произведе-

"e > 0

"n ³ n

и, следовательно,

ние любого числа БМП есть

"e > 0 $n0 "n ³ n0

xn yn

c< c× e

БМП

Если

все

элементы

Допустим,

что

c ¹ 0 .

Положим

e =

тогда

БМП {xn } равны одному и

$n0

= n(e) "n ³ n0

< e .

Так

как

= c ,

тому же числуc , то c = 0

e =

, то

, то есть 1 <

. Противоречие

Если

{xn}

ББП

Доказательство сразу вытекает из определения,

"n xn ¹ 0 ,

то {1/ xn }

БМП,

если учесть равносильность неравенств

и наоборот, если {xn }

БМП

³ e и

и "n

xn ¹ 0 , то {1/ xn }

ББП

Если

{xn }

БМП

Так как {xn } БМП,

то

"e > 0

$n0 "n³ n0

<e,

и,

следовательно,

"e > 0

$n0

"n ³ n0

< e,

, то {yn } БМП

то есть {yn }

БМП

2.3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Последовательность {xn } называется сходящейся, если сущест- вует такое число a , называемое пределом последовательности {xn } ,

что выполняется любое из следующих утверждений:

1) для каждого ε > 0 существует такое натуральное n0 , что для любого n ³ n0 выполняется неравенство xn - a < e. Символи-

ческая запись этого утверждения имеет вид

ε > 0 $n0 = n0 (e)Î ¥ "n Î ¥ n ³ n0 Þ xn - a < e;

2)последовательность {xn - a} является бесконечно малой;

3)в любой ε-окрестности числа a находятся все элементы по- следовательности {xn } , начиная с некоторого номера.

Если последовательность {xn } сходится и ее предел есть число a , то символически это записывают следующим образом:

lim x = a	или x ® a при n → ∞ .
n→∞ n	n

Основное свойство последовательностей. Конечное число элементов (их добавление или удаление) не влияет на сходимость последовательности, причем значение предела сходящейся последо- вательности остается неизменным.

4Утверждение следует из определения предела.3

Число a не является пределом последовательности {xn } , ес-

ли существует такое ε > 0, что для любого натурального n0 найдет-

ся номер n ³ n0 такой, что xn - a ³ e.

В символической записи. Число a не является пределом последовательности {xn } , если

ε > 0 "n0 Î ¥ $n Î ¥ n ³ n0 и xn - a ³ e.

На языке окрестностей. Число a не является пределом после-

довательности {xn } , если существует окрестность числа a , вне которой находится бесконечно много членов последовательности.

Если нельзя подобрать число a , удовлетворяющее одному из определений предела, то есть

a ¡ ε > 0 "n0 Î ¥ $n Î ¥ n ³ n0 и xn - a ³ e,

то последовательность называют расходящейся.

З ам е ч а н и е . Все неограниченные последовательности расхо- дятся. Кроме того, существуют ограниченные последовательности,

не имеющие предела, например, {(-1)n }.

Бесконечно большие последовательности иногда называют по-

следовательностями, сходящимися к бесконечности (или последовательностями, имеющими бесконечный предел):

lim xn	= ¥	Û ε > 0	$n0 = n0 (e) "n n ³ n0		Þ	xn	> e ;

n→∞		Û ε > 0	$n0	= n0 (e) "n n ³ n0	Þ xn		> e ;
lim xn	= +¥
n→∞				= n0 (e) "n n ³ n0			< -e.
lim xn = -¥		Û ε > 0	$n0		Þ xn
n→∞

Зам е ч а н и е 1 . ББП к сходящимся последовательностям не от- носят, то есть всякая ББП расходится.

Зам е ч а н и е 2 . Утверждение «последовательность не стре-

мится к бесконечности» в позитивной форме имеет вид:

lim xn ¹ ¥ Û ε > 0 "n0

$n n ³ n0 и

£ e;

n→∞

Û ε > 0 "n0

n ³ n0

и xn

£ e;

lim xn

¹ +¥

n→∞

и xn

³ -e.

lim xn

¹ -¥

ε > 0 "n0

$n n ³ n0

n→∞

З ам е ч а н и е

3 .

Во всех определениях неравенство n ³ n0

можно

заменить на неравенство n > n0 .

П р им е р 2.1. Докажем, что lim

= 0 .

n→∞ n

4По теореме Архимеда ε > 0

0 <

< e . Тогда "n

n ³ n ,

получим 0 <

< e.3

2n +1

П р им е р 2.2. Докажем, что lim

3n + 2

n→∞

4Пусть ε – произвольное положительное число. Найдем такое

натуральное n0 , что "n

n ³ n0 будет выполняться неравенство

2n +1 2

(

2n +1 - 2

(

3n +2

)

1 2

)

<n.

< e

3n+ 2

3(3n + 2)

9(n +2/ 3)

Таким образом,

ε > 0

ù +1 "n n ³ n

2n +1

< e,

3n + 2

что и требовалось доказать.3

П р им е р 2.3. Докажем, что 1 не является пределом последова- тельности {xn} , где xn = (-1)n .

4ε = 1 "n0

$n n = 2n0 + 1> n0 и

(-1)n -1

-1-1

= 2 ³1.3

+ 2n - 5

П р им е р 2.4. Докажем, что последовательность

ý яв-

n - 3

ляется бесконечно большой.

4Так

как

n2 + 2n - 5

= n

то

при

n2 + 2n - 5

n - 3

+ 5 +

- n2 - 3n

n - 3

+ 5

n > 3

= xn > n + 5, следовательно,

- 5n - 5

"E > 0

$n0 = [E]+ 4 "n ³ n0

n + 2n - 5 > E .3

5n -15

n - 3

П р им е р 2.5. Докажем, что последовательность {2(−1)n n } не явля-

ется бесконечно большой.

4ε = 1 "n0

$n n = 2n0 +1> n0 и

2(−1)

(2n0 +1)

<1 = e.3

2 n0

22n0 +1

П р им е р 2.6. Докажем, что

lim qn

ì0, при

< 1;

(2.1)

n→∞

î¥,при

>1.

41) Если q = 0, равенство очевидно.

2) Пусть 0 <

< 1 и ε > 0 – произвольно. Тогда, используя нера-

венство Бернулли

, получим

ön

< e.

= ç1+ ç

-1÷

÷ ³ 1+ n

-1÷

> nç

-1÷ Þ

n(1-

)

Следовательно, ε > 0

< e.

ú +1 "n

> n

êe(1

)ú

3) Пусть

>1 и E > 0 – произвольно. Тогда из

неравенства

(

))

n ³1 + n

(

)

> n

(

)

> E

-1

находим, что

> E "n >

(то есть можно взять n0 = ê

ú +1).3

-1

2.4. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Свойства

Доказательства

Общие свойства

Докажем от противного. Пусть последовательность

{xn} сходится и имеет пределы

p1 и p2 , p1 ¹ p2 . Тогда

последовательности

= xn - p1 и

bn = xn - p2

беско-

Сходящаяся

по-

нечно малы.

{an - bn} . Так как

следовательность имеет

Рассмотрим последовательность

только один предел

{an } и {bn} – БМП,

то и {an - bn}

тоже БМП. Учиты-

вая, что "n an - bn = p2 - p1 , получим

lim(an - bn ) = 0 = lim( p2 - p1 ) = p2 - p1,

n→∞

p2 = p1

→∞

а значит,

Сходящаяся

по-

Пусть

последовательность { xn}

сходится, тогда су-

следовательность огра-

ществует такое число p ,

что an

= xn

- p БМП, и, следо-

ничена.

вательно, по свойству 1 для БМП, последовательность

Замечание.

Это

{an } ограничена, то есть $c > 0

< c .

свойство является

не-

Тогда $c1 = c +

< c1 , так как

обходимым

условием

сходимости

последова-

p + an

+ c = c1

тельности

Так как lim xn = p , то последовательность an

= xn - p

n →∞

является бесконечно малой. Тогда вне

/ 2 -

окрестности нуля лежит лишь конечное число

членов

последовательности {an} .

Пусть n0 – самое большое

значение номера таких

членов, а

M = min

(в конечном множестве всегда

Если

lim xn

= p ,

1≤n ≤n0

есть минимальный элемент). Тогда

n→∞

"n > n0

/ 2 .

p ¹ 0

и "n x ¹ 0 , то

Отсюда при этих n получаем

последовательность

{1/ xn}

ограничена

xn - an

-an

значит,

Таким образом, "n

£ max í

Свойства

Доказательства

Арифметические операции

4. Пусть

Из

условия имеем,

что

= xn

- a

= yn - b

–

lim xn

= a Î ¡ ,

БМП. Тогда:

n →∞

а), б) (xn ± yn ) - (a ± b) = an ± bn – БМП;

lim yn

= b Î ¡ .

n →∞

в) xn yn

- ab = (an+ a)(bn + b) - ab = anbn+ anb + abn –

Тогда

(xn+ yn ) = a + b ;

БМП;

а) lim

n→∞

(

x - y

n )

= a - b ;

г) так как последовательность {

} ограничена по

б) lim

n→∞

× y

= a × b ;

в) lim

n →∞

(

n )

свойству 3, а

í(xn - a) -

( yn - b)

– БМП (как разность

г)

если

"n yn ¹ 0

бесконечно малых последовательностей), то

b ¹ 0 , то limç

= ç xn

yn ÷

ç(xn- a)

( yn

- b)÷

– БМП

n →∞ è

ø yn

Предельный переход в неравенствах

5. Если lim xn

= p и

а)

Так

как

lim x

= p ,

то

= x - p

–

n→∞

n →∞

а)

"n xn³c , то

p ³ c ;

БМП,

причем

= x

- p ³ c - p .

Предполо-

б)

"n xn£c , то

p ≤ c ;

жим,

что

c > p ,

тогда

c - p > 0;

следова-

в) "n xn Î[a,b], то p Î[a,b];

тельно,

$e =

c - p

> 0 "n

> e, но это про-

г) "n xn Î(a,b), то p Î[a,b].

Замечание. Отметим, что даже

тиворечит тому, что {an } БМП.

если все элементы сходящейся по-

б) Доказывается аналогично.

следовательности {xn}

будут удов-

в), г) Следуют из а), б).

покажем

на

летворять

строгому

неравенству

Справедливость

замечания

примере

последовательности

xn = 1/ n :

xn > c

( xn

< c ),

предел

может

"n xn

> 0, однако, lim xn

= 0

оказаться равным c

→∞

Пусть

lim xn

= a ,

lim yn

= b .

Пусть zn = yn - xn . Тогда "n ³ n0

zn >0 (или

n→∞

n →∞

Если, начиная с некоторого номера,

zn³0 ). Так как {xn} и {yn}

сходятся, то

элементы последовательностей {xn}

lim z

= lim

(

- x

= lim y

- lim x

= b - a .

и {yn }

удовлетворяют неравенству

n→∞

n )

n→ ∞

n→∞

xn < yn (или xn

£ yn ), то a ≤ b

Тогда из свойства 5 получаем, что b - a ³ 0

7. Теорема о трех последова-

xn £ zn

£ yn

0 £ zn - xn

£ yn - xn .

тельностях.

lim

(

- x

= lim y

- lim x

= a - a = 0 .

Пусть

lim x

= a ,

lim y

= a ,

→∞

n )

→∞

n→∞

Следовательно

{yn - xn}

–

БМП,

значит,

a ¡ . Если, начиная с некоторого

номера, элементы последователь-

{zn - xn } также БМП

(см. свойство 7 для

ности {zn }

удовлетворяют

нера-

БМП).

Таким образом,

венству xn

£ zn

£ yn , то lim zn = a

zn = (zn - xn ) + xn ® 0 + a = a при n→∞

n→∞

2.5. СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

lim x

= ¥ тогда и только тогда, когда lim

= +¥ .

n→∞ n

n→∞

Пусть c > 0. Если, начиная с некоторого номера,

а) lim y

= +¥ и $n

"n ³ n

³ cy

, то lim x

= +¥ ;

n→∞

= -¥ и

n→∞

= -¥ ;

б) lim y

"n ³ n

£ cy

, то lim x

n→∞

в) lim yn

= +¥ и

$n0 "n ³ n0

³ cyn , то lim xn = +¥ .

n→∞

3. Пусть lim xn = s , s Î{+¥,-¥}. Если

а) $n

n→∞

³ c > 0 , то lim x y

= s ;

"n ³ n

n→∞

= -s.

б) $n

"n ³ n

£ c < 0, то lim x y

→∞

4. Если lim x = ¥ и $n "n ³ n

³ c > 0, то lim x y

= ¥ .

n→∞

n→∞ n

5. Если {yn } ограничена

(xn + yn ) = +¥ .

а) снизу и lim xn

= +¥ , то lim

n→∞

(xn

+ yn ) = -¥ .

б) свеху и lim xn

= -¥ , то lim

n→∞

Теорема 2.1* (теорема Штольца о пределе частного). Пусть

а) последовательность {xn } строго монотонна;

б) последовательности {xn }

и {yn }

являются одновременно либо

бесконечно малыми, либо бесконечно большими;

yn - yn−1

в) существует конечный или бесконечный предел lim

yn - yn−1

n→∞ xn - xn−1

Тогда существует предел lim

= lim

n→∞ x

- x

n−1

З ам е ч а н и е . Теорема остается справедливой, если последова- тельность {xn } строго монотонна, начиная с некоторого номера.

П р им е р 2.7*. Используя теорему Штольца, вычислим пределы:

1) lim n2 , 2)

lim

+ 2k +...+ nk

n→∞ 2n

n→∞

nk +1

41) Положив в теореме yn = n2 , xn = 2n , получим

lim

= lim

n2 - (n -1)2

= lim

2n -1

= lim

2n -1

2n - 2n−1

2n−1 (2 -1)

2n−1

n→∞

Применим теорему еще раз. Пусть yn=2n-1, xn=2n−1 , тогда

lim

2n-1

= lim

2n-1-(

2(n-1)-1)

= lim

= 0.

2n−1

2n−2

2n−3

n→∞

2n−1-2n−2

n→∞

→∞

Следовательно, lim

= lim

2n -1

= 0 .

2n−1

n→∞

2) Положив в теореме yn

= 1k

+ 2k + ...+ nk , xn = nk +1 , получим

lim1k

+ 2k + ...+ nk

= lim

nk +1

1)k +1

n→∞

n→∞ nk +1 - (n -

= lim

n→∞ (n - (n -1))ånl (n -1)k −l

n→∞

(n -1)k −l

l=0

= lim

nl (n -1)k

1 ök −l

ök −l

n→∞ k

n→∞

åç1

åç1- lim

l =0

(n -1)

l=0 è

l=0

n→∞ n

П р им е р 2.8*. Докажем, что если lim(y

n+1

- y

)=a ,

a ¹ 0, aÎ¡, то

n→∞

lim

=a .

n→∞

4Пусть a > 0 . Так как lim

(yn+1 - yn )=aÎ¡, то, начиная с неко-

n→∞

³ a > 0. Поэтому последо-

торого номера n , выполняется

- y

вательность { yn} будет монотонно возрастать,

начиная с номера n0 .

При этом последовательность неограничена сверху, так как

"C > 0

$n =

éc - y

"m > n

> C .

Все условия теоремы Штольца выполнены.

Положив в теореме

Штольца xn = n , получим

yn+1 − yn

lim

= lim

yn+1

= lim

= lim( yn+1 - yn ) = a .

n→∞

n→∞ n +1

n→∞ (n +1)- n

n→∞

В случае, если

a < 0, аналогично получаем, что последователь-

ность { yn}

монотонно убывает,

начиная с некоторого номера и не

ограничена снизу.3

2.6. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Невозрастающие и убывающие (неубывающие и возрастающие) последовательности ограничены сверху (снизу) своим первым эле- ментом. Поэтому невозрастающая (неубывающая) последователь- ность будет ограниченной, если она ограничена снизу (сверху).

Теорема 2.2. (теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности). Если последовательность монотонна и огра- ничена, то она имеет конечный предел.

4Докажем сначала, что если		{xn } не убывает и ограничена
сверху, то она сходится и lim xn = sup			{xn } .
Так как {xn }	n→∞		то $a Î ¡ a = sup{xn } . Пока-
	ограничена сверху,
жем, что αn = xn	− a – БМП:
1) Так как a = sup{xn } , то n		xn	≤ a ; следовательно,

n αn = xn − a ≤ 0 .

2) sup{an} = sup{xn} - a = 0; следовательно,

ε > 0 k − ε < αk ≤ 0.

Так как xn не убывает, то

n > k − ε < αk ≤ αn ≤ 0 или an £ ak < e,

то есть αn – БМП; следовательно, lim xn = a = sup{xn} .

n→∞

Докажем теперь, что невозрастающая, ограниченная снизу по- следовательность имеет предел, равный inf {xn } . Для последова-

тельности {-xn } можно записать:

-lim xn = lim(-xn ) = sup{-xn } = -inf {xn} .3
n→∞	n→∞
З ам е ч а н и е . Теорема остается справедливой, если {xn } моно-
тонна, начиная с некоторого номера.
Постоянная Эйлера
		æ	1 ön
Теорема 2.3. Последовательность xn = ç1+					÷	сходится.
Теорема 2.3. Последовательность xn = ç1+					÷	сходится.
		è	n ø
4Рассмотрим последовательность yn		æ		1		ön+1
		= ç1+				÷ .
		= ç1+		n		÷ .
1. { yn } ограничена снизу нулем.		è		n		ø
1. { yn } ограничена снизу нулем.
	44

2. Покажем, что {yn } убывающая. Пусть n ³ 2, тогда

ön

ç1

1 ö

n -1

n−1

= ç1+

n 1

(

)

1 ö

n +1

n -1ø n +1

-1

ç1+

éНеравенство ù

Бернулли

> ç1

ç1

=1.

-1

По теореме Вейерштрасса из 1) и 2) следует, что последователь-

ön+1

ность yn = ç1

сходящаяся. Тогда

n ø

lim

ön

ön+1 æ

1 ö−1 ö

= limç

→∞ è

n ø è

n ø

ön+1

= limç1

lim

= lim

ç1

n→∞ è

n→∞

ön

имеет предел.3

значит, последовательность xn = ç1

З ам е ч а н и е .

Предел последовательности x

æ1+

1 ön

называют

постоянной Эйлера и обозначают буквой e :

n ø

e ≈ 2.718281828459045.

Теорема 2.4. n ¥ справедливо неравенство

1 ön

1 ön+1

(2.2)

ç1+

< e <

ç1

n ø

1 ön+1

41. Так

как

= ç1

убывающая

последовательность, а

n ø

1 ön+1

число e – ее предел, то e < yn = ç1+

÷ .

n ø

2. Последовательность xn

ön

возрастающая, так как

= ç1

æ1+

ön+1

n 1

æ n +

n ö

n +1

n +1ø

n+1

è n

+1ø

ç1

ön+1

n +1

éНеравенство ù

n +1

= ç1-

> ç1

=1.

+1)

èç

ø÷

Бернулли û

n +1ø

При этом lim xn

= lim

ön

= e; следовательно,

ç1+

n→∞

1 ön

ç1+

< e.3

n ø

Следствие 1.

< ln

ç1+

n +

4Прологарифмировав левую часть неравенства (2.2), получим:

ön

ç1+

÷ < ln e Þ

n lnç

< 1 Þ ln

ç1

Прологарифмировав правую часть неравенства (2.2), получим:

1 ön+1

1 ö

ln e < ln ç1

Þ 1 < (n +1)ln ç1

< lnç1

n +1

n ø

ön

Следствие 2. 0 < e -ç1

1 ön

ön+1

4Из (2.2) следует, что

0 < e - ç1+

e < ç1

, а значит,

n ø

1 ön

ön+1

ön

0 < e - ç1+

< ç1

ç1

÷ <

n ø

1 ön ææ

1 ö

ön

ç1+

çç

-1÷

ç1

n ø

èè

n ø

Следствие 3.	æ n ön	æ n		ön
Следствие 3.	ç ÷	< n!< eç	2	÷ .
	è e ø	è	2	ø

41. Докажем неравенство

æ n

ön

методом математической

÷ < n!

индукции.

è e

При n = 1 неравенство справедливо.

Пусть

æ k

ök

< k!, тогда

è e

æ k

ök

k +1

ç ÷

(k +1)

æ k +1ö

(

k +1 !=

(

k +1 k!> æ

(

k +1 =

è e

k +1

)

ç ÷

)

æ k

+1ö

è e ø

è e

kk ek+1 (k +1)æ k +1ök +1

kke

æ k +1ök +1

(

)

k 1

(

)

+ è e

k +

è e

k +1

æ k +1ök +1

÷ .

æ k +

1ö

1 ö

è e

k ø

2.Докажем теперь неравенство n! £ æç n +1ö÷n .

è2 ø

Так как среднее геометрическое положительных чисел не пре- вышает их среднего арифметического (см. пример 1.3), то

n n! = n 1× 2×3Ln £ 1+ 2 + 3 + ...+ n = n

Тогда, учитывая (2.2), получим

æ n +1ön

ön

æ n +1

æ n

n ç1

è 2

n ø

n!£

eç

æ n

è 2

eç

è 2

n(n +1) = n +1 .
2n		2
æ n	ön	æ n	ön
eç	÷	< eç	÷ .3

è 2	ø	è 2	ø

2.7.ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

ИЧАСТИЧНЫЙ ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Если {xnk } – подпоследовательность последовательности {xn } и

lim xn = S , где S – число или одна из бесконечностей +∞ , −∞ , то

k ®¥ k

S называют частичным пределом последовательности {xn } .

Число i = liminf xk ( s = limsup xk ) называется нижним (верхним)
n®¥ k ³n		n®¥ k ³n
пределом последовательности {xn}			и обозначается lim xk				(		xk )
пределом последовательности {xn}			и обозначается lim xk				(	lim	xk )
						k®¥	k ®¥
		df				df
lim x		= liminf x ,		lim	x	= limsup x .
k®¥	k	n®¥ k ³n k	k ®¥ k			n®¥ k ³n k
З ам е ч а н и е .	В общем случае, числа lim xn и inf {xn } , а также
				n®¥

lim xn и sup{xn } не совпадают.

n®¥

Лемма 2.2 (лемма Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности). Каждая ограниченная последовательность действительных чисел содержит сходящуюся подпоследовательность.

4Пусть E – множество значений элементов ограниченной по- следовательности {xn } .

Если E конечно, то существуют, по крайней мере, одна точка x E и последовательность номеров n1 < n2 < ... <nk < ... таких, что xn1 = xn2 =...= x.

Подпоследовательность {xnk } постоянна, а значит, сходится.

Если E бесконечно, то по принципу Больцано-Вейерштрасса оно содержит, по крайней мере, одну предельную точку x . Поскольку

x – предельная точка E , можно выбрать n1 так, что

− x

< 1. Ес-

ли nk ¥ уже выбрано так, что

< 1 ,

x − x

то, учитывая, что x – предельная точка E , найдем nk +1

так, что

< n

x − x

k +1

nk+1

Так как lim 1 = 0, то построенная последовательность x

, x ,..., x

,...

k®¥ k

сходится к x.3

Лемма 2.3 (о неограниченной последовательности). Всякая неограниченная последовательность имеет частичный предел, рав- ный либо +∞ , либо −∞ .

4Неограниченная последовательность обязательно не ограни- чена либо сверху, либо снизу.

Пусть последовательность {xn } не ограничена сверху. Это озна- чает, что для любого ε > 0 найдется член последовательности xn такой, что xn > ε.

Для ε = 1 найдется член последовательности xn1 такой, что xn1 > 1. Его и примем за первый член последовательности.

Возьмем теперь ε = 2. Последовательность, образованная из ис- ходной удалением первых n1 членов, не ограничена сверху, соглас-

но лемме 2.1, а значит, найдется член xn2 такой, что

xn2 > 2, n2 > n1 .

Примем xn2 за второй член подпоследовательности.

Аналогично будем находить члены подпоследовательности xn3 , xn4 , … Этот процесс не оборвется ввиду неограниченности {xn } .

Таким образом, существует подпоследовательность {xnk } такая,

что k x	nk	> k , а значит, lim x = +∞ .3
	nk	k ®¥ nk

Следствие. Из каждой последовательности действительных чи- сел можно извлечь сходящуюся подпоследовательность или под- последовательность, стремящуюся к бесконечности.

З ам е ч а н и е . В этих леммах говорится лишь о подпоследова- тельностях, а не о самих последовательностях. Последовательность может быть ограниченной (а значит, иметь сходящуюся подпосле- довательность), но не иметь предела (см. пример 2.15). Наличие частичного бесконечного предела не означает, что последователь- ность является бесконечно большой (см. пример 2.16).

Теорема 2.5. Нижний и верхний пределы последовательности являются соответственно наибольшим и наименьшим из ее частич- ных пределов. Другими словами, если L – множество всех частич-

ных пределов последовательности {xn } (наряду с числами L может содержать +∞ и −∞ ), то

lim x = inf L,		lim	x = sup L .
k®¥	k	k ®¥ k

Отметим, что L ¹ Æ , поэтому нижний и верхний пределы всегда существуют.

Следствие 1. Последовательность имеет предел или стремится к +∞ или −∞ в том и только в том случае, когда нижний и верхний пределы последовательности совпадают, или, что то же самое, когда все частичные пределы совпадают. Таким образом, если в последо-

вательности можно выделить две подпоследовательности, сходя- щиеся к разным пределам, то последовательность расходится.

Следствие 2. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходится любая ее подпоследовательность, то есть если в по-

следовательности можно выделить хотя бы одну расходящуюся подпоследовательность, то последовательность расходится.

Следствие 3. Всякая монотонная последовательность имеет

только один частичный предел.

Свойства нижних и верхних пределов

1. Для любых последовательностей { xk } и { yk } :

lim xk

+ lim yk £ lim(xk + yk

) £

(xk + yk ) £

xk +

yk .

lim

k ®¥

2. Для любых последовательностей {xk }

и {yk }

с неотрицатель-

ными членами:

£ lim(xk × yk

) £

(xk × yk

) £

lim xk × lim yk

lim

yk .

k ®¥

®¥

k®¥

3. Для произвольной последовательности {xk }

inf x

£ lim x

x £ sup x .

lim

k ®¥ k

k ®¥

4. Если k x

> 0, то lim

xk +1

£ lim k

xk +1

lim

k ®¥ x

k ®¥

k®¥ x

П р им е р 2.9♦.

(

)

-1 k .

lim xk

= liminf (-1)k

= lim

(-1) = -1,

k ®¥

n®¥ k ³n

n®¥

= limsup(-1)k

(+1) = +1.

lim

= lim

k ®¥

n®¥ k ³n

n®¥

П р им е р 2.10.

= k(-1)k .

= liminf k(-1)k

lim x

= lim0 = 0,

k ®¥

n®¥ k

³n

n®¥

= limsupk(-1)k

= lim(+¥) = +¥ .

lim

k®¥

n®¥ k ³n

n®¥

♦ Примеры 2.9–2.13 взяты из [4].

П р им е р 2.11. xk

= k .

lim xk = liminf k = lim n = +∞ ,

k ®¥

n®¥ k ³n

®¥

(+¥) = +¥ .

= limsup k = lim

lim

k ®¥

®¥ k ³n

n®¥

П р им е р 2.12. xk

= -k 2 .

(-k 2 ) = lim

(-¥) = -¥,

lim xk

= liminf

k®¥

n®¥ k³n

n®¥

= limsup(-k2 ) = lim

(-n2 ) = -¥.

lim

k®¥

n®¥

k ³n

n®¥

П р им е р 2.13. xk

= (-1)k k .

lim xk

= liminf (-1)k k = lim

(-¥) = -¥ ,

k®¥

n®¥ k³n

(

n®¥

(

)

= limsup

-1 k k = lim

+¥

= +¥ .

lim

k®¥

n®¥

k ³n

)

n®¥

П р им е р 2.14. xk

(-1)k

, если n = 2m +1

(-1)k

ï-

lim xk = liminf

= lim

= 0,

k®¥

n®¥ k ³n

n®¥

, если n = 2m

ï-

(-1)k

, если n

= 2m

lim

= limsup

= lim

= 0 .

k ®¥

n®¥ k ³n

n®¥

, если n

= 2m +1

în +1

П р им е р

2.15. Последовательность {x

} ,

= cos

ö, ограни-

4 ø

чена, но не имеет предела.

4Последовательность {xn } ограничена числом 1. Но она не яв- ляется сходящейся (см. теорему 2.5 следствие 5), так как

n x8n =1, x8n+4 = −1,

то есть существует две подпоследовательности {x8n } и {x8n+4} , схо- дящихся к разным пределам.3

П р им е р 2.16. Последовательность {x		} ,	x	n	= ncos	æ pn ö		, не ог-
	n			n		ç	÷
раничена и не бесконечно большая.						è 4	ø
раничена и не бесконечно большая.
4Последовательность не ограничена, так как
æ	8p[c] ö
"c > 0 $n = 8[c] xn = 8[c]cosç			÷		= 8[c] > c .
"c > 0 $n = 8[c] xn = 8[c]cosç		4	÷		= 8[c] > c .
è		4	ø

Последовательность не является бесконечно большой, так как в ней можно выделить подпоследовательность {x4n+2} сходящуюся к 0 .3

П р им е р 2.17. Для последовательности

= (2sin(pn /2) -1)n + 3 , n Î ¥,

2n -1

найдем

множество

частичных

пределов,

lim x

также

lim

inf {xn } , sup{xn }.

n→∞

41) Если n = 2k,

k ¥, то

= −n + 3 = -

1 +

lim x

= -

- 1

< x

1 .

2(2n -1)

2n -1

k →∞

2) Если n = 4k − 3, k ¥, то

n + 3

lim x

1 ,

< x

£ 4 , x

= 4.

2(2n -1)

2n -1 2

k →∞

−3

2 2

4k −3

3) Если n = 4k −1, k ¥, то

= −3n + 3 = -

lim x

= -

, -

3 < x

£ - 6 .

2(2n -1)

−1

4k −1

2n -1

→∞

Таким образом, числа -

являются частичными предела-

ми данной последовательности. Рассмотренные три подпоследова-

тельности {x2k } , {x4k −3} ,

{x4k −1}

составляют вместе всю данную по-

следовательность. Отсюда следует, что других частичных пределов

данная последовательность не имеет, поэтому lim x				= -	3	,		x	=	1	.
					3		lim			1
					2		lim			2
		n→∞	n		2	n→∞ n				2
Из полученных выше неравенств для элементов подпоследовательно-
стей следует, что inf {xn} = -	3	, sup{xn } = 4.3
стей следует, что inf {xn} = -	2	, sup{xn } = 4.3
	2
		52

2.8. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

При выяснении вопроса о сходимости последовательности {xn } по определению сходимости приходится оценивать разность xn - a .

Иными словами, приходится предугадывать, чему равен предел a этой последовательности. Для многих последовательностей, напри- мер, для последовательности, сходящейся к постоянной Эйлера (см. теорему 2.3) сделать это невозможно. Поэтому важно иметь «внут- ренний» критерий сходимости последовательности, позволяющий выяснить вопрос о ее сходимости лишь по величине ее элементов.

Последовательность {xn } называется фундаментальной (или

последовательностью Коши), если

"e > 0	$n0 "n ³ n0 "m ³ n0		xn - xm		< e

или, что то же самое,	$n0 "n ³ n0 "k xn+k - xn < e .
"e > 0

З ам е ч а н и е . Неравенства n ³ n0 , m ³ n0 можно заменить нера- венствами n > n0 , m > n0 .

Свойства фундаментальных последовательностей

1. Всякая фундаментальная последовательность {xn } ограничена. 4Пусть {xn } – фундаментальная последовательность, тогда

ε > 0	$n0 "m ³ n0 "n ³ n0		xn - xm		< e.

Взяв, например, ε = 1, получим, что

$n1 "m ³ n1 "n ³ n1 xn -xm <1.

Так, при m = n1 и n ³ n1 получаем, что xn1 -1< xn< xn1 +1, то есть под- последовательность xn1 , xn1 +1, xn1 +2 ,... ограничена, а значит, ограничена и

вся последовательность {xn } , так как она получается из ограниченной последовательности добавлением конечного числа членов. 3

2. Всякая сходящаяся последовательность {xn } фундаментальна.

4Пусть lim xn = A , тогда

n→∞

ε > 0 $n0 "n ³ n0 xn - A < e/ 2.

Следовательно, ε > 0 $n0 "m ³ n0 "n ³ n0

xn - xm = (xn - A) -(xm - A) £ xn - A + xm - A < e / 2 + e / 2 = e,

то есть сходящаяся последовательность фундаментальна.3

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.20151.51 Mб277Гильмундинов-Мельников.pdf
#
27.03.2015148.54 Кб7глава 2.docx
#
11.03.2016478.69 Кб20Глава 1.pdf
#
27.03.2015184.32 Кб10Глава 10.doc
#
11.03.2016780.58 Кб10Глава 2.pdf
#
11.03.2016416.27 Кб9Глава 2.pdf
#
11.03.2016546.03 Кб8Глава 3,4.pdf
#
11.03.2016719.99 Кб7Глава 3.2.pdf
#
11.03.2016746.33 Кб8Глава 3.pdf
#
11.03.2016911.85 Кб7Глава 5.pdf
#
11.03.2016660.06 Кб5Глава 6.pdf