Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Глава 8

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
11.03.2016
Размер:
540.54 Кб
Скачать

Глава 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

8.1. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Функция F (x) называется первообразной функцией (или про- сто первообразной) для функции f (x) на интервале (a,b), если в любой точке x интервала (a,b) функция F (x) дифференцируема и имеет производную F(x) , равную f (x).

З ам е ч ан и е . Поскольку из дифференцируемости функции на

промежутке (a,b)

следует ее непрерывность на этом отрезке, то

F(x) – непрерывная на (a,b) функция.

 

Функция F (x)

называется обобщенной

первообразной для

функции f (x)

на интервале (a,b), если F (x)

непрерывна на (a,b)

и F( x) = f (x)

на всем интервале, за исключением, быть может,

конечного количества точек.

Аналогично определяются первообразная и обобщенная перво- образная для функции f (x) на отрезке, полуинтервале, луче и чи- словой прямой.

Теорема 8.1 (следствие из теоремы Лагранжа). Если F1 (x) и

F2 (x) любые две первообразные для функции f (x) на интервале (a,b), то всюду на этом интервале F1 (x) F2 ( x) = C , где C неко- торая постоянная.

4См. замечание к теореме 6.6.3

Следствие. Если F (x) одна из первообразных функций для функции f (x) на интервале (a,b), то любая первообразная G(x) для функции f (x) на интервале (a,b) имеет вид G( x) = F (x) + C , где C некоторая постоянная.

Совокупность всех первообразных функций для данной функции f (x) на интервале (a,b) называется неопределенным интегралом

от функции f (x) (на этом интервале) и обозначается символом

 

ò f (x)dx.

(8.1)

184

В этом обозначении знак ò называется знаком интеграла, выра-

жение f (x)dx подынтегральным выражением, а сама функция f (x) подынтегральной функцией. Операцию нахождения перво-

образной или неопределенного интеграла (от функции

f (x) ) при-

нято называть интегрированием (функции f (x) ).

 

Если F (x) одна из первообразных для функции

f (x) на ин-

тервале (a,b), то в силу следствия из теоремы 8.1

 

ò f (x)dx = F (x) + C ,

(8.2)

где C любая постоянная.

З ам е ч ан и е . Если первообразная (а стало быть, и неопределен- ный интеграл) для функции f (x) на интервале (a,b) существует, то

подынтегральное выражение в формуле (8.1) представляет собой дифференциал любой из этих первообразных, то есть

dF = F(x)dx = f (x)dx .

Пр и ме р 8.1. Функция F (x) = sin x первообразная для функции f ( x) = cos x на всей числовой прямой, так как для любого x ¡

F(x) = (sin x)= cos x.

Пр и ме р 8.2.

Функция G (x) =| x | –

обобщенная первообразная

для функции g

(

x

)

= sign x на отрезке

(

)

(

x

)

непре-

 

 

 

-1,1 , так как G

 

 

рывна на (-1,1) и "x Î(-1,1) \{0} G¢(x) = (| x |)¢ = sign x .

 

 

 

 

Пр и ме р 8.3. Найдем первообразную для функции

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) = íìx +1, x < 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

î3x -1,

x ³ 1.

 

 

 

 

4Вычислим значения первообразной на каждом из интервалов

по отдельности:

 

 

 

 

 

ì

2

/ 2

+ x + C1, x < 1;

ò

f (x)dx = F (x) = íïx

 

ï3x2 / 2 - x + C , x ³1.

 

î

 

 

2

185

Так как первообразная должна быть непрерывной функцией, то

должно выполняться условие lim F (x) = lim F (x). Из этого условия

x→1− x→1+

находим связь между постоянными C1 и C2 :

 

lim F (x) =

3 + C1 =

1

+ C2

= lim F (x).

 

x

→1−

2

2

 

x→1+

 

Тогда C2 = C1 +1, и, следовательно,

 

 

 

 

 

ì

x

2

+ x + C1, x <1;

 

 

ì

x

2

 

+ x, x < 1;

ï

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

2

 

 

 

= C

ï

2

 

 

F (x) = í

 

 

 

+ í

 

 

ï

3x

2

 

 

 

ï

3x2

ï

2

- x +1+ C1, x ³1

 

ï

2

 

- x +1, x ³ 1.3

î

 

 

 

 

î

 

 

Теорема 8.2. Для всякой функции f (x), непрерывной на интер- вале (a,b), существует на этом интервале первообразная (и неопре- деленный интеграл).

4Доказательство этой теоремы будет позже (теорема 9.6).3

Основные свойства неопределенного интеграла

1. d ò f (x)dx = f (x)dx .

4d ò f (x)dx = d (F (x) + C) = dF (x) = F¢(x)dx = f (x)dx.3

2.òdF (x) = F (x) + C .

4Из определения первообразной следует, что

 

òdF (x) = ò f (x)dx = F (x) + C . 3

ò

 

3. "a,bÎ ¡

òë

û

ò

f (x)dx + b

g (x)dx .

éaf (x) +bg (x)ù dx = a

 

 

4Заметим, что равенство в этой формуле имеет условный ха- рактер: его следует понимать как равенство левой и правой частей с точностью до произвольной постоянной (так как каждый из инте- гралов, фигурирующих в этой формуле, определен с точностью до произвольной постоянной).

Если F (x) первообразная для f (x), а G(x) первообразная для g (x), то функция aF (x) + bG (x) первообразная для функции af (x) + bg (x), так как

(aF (x) +bG(x))¢ = aF¢(x) +bG¢(x) = af (x) + bg (x).3

186

Таблица основных неопределенных интегралов

1.

ò0 × dx = C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

ò1× dx = x + C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. òxadx =

 

 

 

xa+1

+ C

 

(a ¹ -1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. ò dx

 

 

 

 

 

 

a +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ln

 

x

 

 

+ C (x ¹ 0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a > 0, a ¹ 1), òexdx = ex + C .

5. òaxdx =

 

 

 

 

+ C

 

ln a

 

6.

òsin xdx = -cos x + C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

òcos xdx = sin x + C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1+ tg

2

x)dx

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

=tg x + C

ç x ¹

 

 

 

 

 

+ pk, k Î ¢÷.

ò cos

2

x

ò

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

9.

ò

 

dx

= ò(1+ ctg2 x)dx = - ctg x + C

 

 

 

(x ¹ pk, k ΢).

sin2 x

 

 

10. ò

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

x

+ C (a ¹ 0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= a arctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 + x2

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. ò

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

x

+ C

(a ¹ 0,

 

x

 

 

 

 

 

 

 

a

 

).

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

arcsin

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

 

a2 - x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12. ò

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(d ¹

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ d > 0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ln

x

+

 

x

2

 

+ d

+ C

0, x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. ò

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

=

1

ln

 

a + x

+ C

(a ¹ 0,

 

 

 

x

 

 

<

 

a

 

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 - x2

 

 

2a

 

a - x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.òsh xdx = ch x + C .

15.òch xdx = sh x + C .

16.ò chdx2 x = th x + C .

17.òshdx2 x = -cth x + C (x ¹ 0).

187

8.2.ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

8.2.1.Интегрирование заменой переменной (подстановкой)

Пусть функция t = j(x) дифференцируема на некотором множе- стве X ( X отрезок, интервал, луч, прямая), а T множество всех значений этой функции. Пусть функция g (t) определена на T и имеет на этом промежутке первообразную G(t). Тогда всюду на множестве X для функции g[j(x)]j(x) существует первообраз- ная, равная G[ϕ(x)], то есть

òg (t)dt = òg (j(x))(x)dx = G (j(x)) + C = G(t) + C . (8.3)

4Для доказательства этого утверждения достаточно воспользо-

ваться правилом дифференцирования сложной функции dxd (G(x)]) = G′[ϕ(x)] ϕ′(x)

и учесть, что, по определению первообразной, G(t ) = g (t). 3

Пр и ме р

4ò cosdxx

8.4. Вычислим интеграл ò

 

dx

.

 

 

cos x

 

 

 

 

cos xdx

 

 

 

 

d sin x

 

 

 

 

 

= ò

= ò

 

 

[t = sin x] =

 

 

cos2 x

 

 

 

 

 

=

 

 

1- sin2 x

 

 

= ò

 

dt

=

1

ln

 

 

1

+ t

 

+ C =

 

1

ln

 

 

1

+ sin x

 

+ C.3

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

1

- t

2

1

- sin x

 

1- t

 

 

 

 

 

 

 

 

З ам е ч ан и е . В этом примере мы искали первообразную (неоп- ределенный интеграл) на множестве

X= ìíx x ¹ p + pk,k Î Z üý.

î2 þ

Очевидно, что на этом множестве подынтегральная функция являет- ся непрерывной и для нее существует первообразная. В дальнейшем мы будем искать первообразную (неопределенный интеграл) только на тех множествах, на которых она существует, поэтому само мно- жество указывать не будем, однако забывать о нем не следует.

188

Пр и ме р 8.5. Вычислим интеграл ò

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

2

 

+ 4

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

é

 

 

 

 

1ù

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx = êx =

t

ú

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

2

+ 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ë

 

 

 

 

û

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

æ

 

 

dt ö

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sgn t dt

.

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

-

 

 

 

2

 

÷ = -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= -

 

 

 

 

 

 

ò 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

×

 

+ 4

è

 

 

 

 

ø

 

 

t ×

 

 

1+ 4t

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ 4t

 

 

 

 

 

 

t

 

t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая, что ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

ln

2t +

 

 

4t2 +1

+ C , получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1+ 4t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sgn x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò

 

 

 

 

 

 

 

 

= -

 

2

 

+

 

 

 

 

4

 

+1

+ C.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

x

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

4x2 +1

 

 

 

 

 

 

 

8.2.2. Интегрирование по частям

Пусть каждая из функций u (x) и v(x) дифференцируема на

множестве X и, кроме того, на этом множестве существует перво- образная для функции v(x)u(x). Тогда на множестве X существу-

ет первообразная и для функции u (x)v(x), причем справедлива

формула

òu (x)v¢(x)dx = u(x)v(x) - òv(x)u¢(x)dx.

(8.4)

4Для доказательства этого утверждения воспользуемся форму- лой для производной произведения функций u (x) и v(x).

Так как (u(x)v(x))¢ = u¢(x)v(x) + u (x)v¢(x), то

éu (x)v(x)ù¢dx =

éu¢(x)v(x) + u (x)v¢(x)ù dx .

òë

û

òë

û

u (x)v(x) = òv(x)u¢(x)dx + òu(x)v¢(x)dx .3

З ам е ч ан и е 1 . Определение дифференциала и свойство инва- риантности его формы позволяет записать формулу (8.4) в виде

òudv = uv - òvdu .

(8.5)

З ам е ч ан и е 2 . Вычисление интеграла òudv

посредством фор-

мулы (8.5) и называют интегрированием по частям.

189

Пр и ме р 8.6. Вычислим интеграл òln xdx.

4òln xdx = xln x - òxd ln x = xln x - òdx = xln x - x + C .3

Пр и ме р 8.7. Вычислим интеграл I = òex sin xdx .

4òex sin xdx = òsin xd(ex ) = ex sin x - òexd(sin x) =

ex sin x - òex cos xdx = ex sin x - òcos xdex =

= ex sin x - ex cos x + òexd(cos x) = ex sin x - ex cos x - òex sin xdx .

Таким образом, òex sin xdx = ex (sin x - cos x) - òex sin x dx . Отсюда

окончательно получаем

òex sin xdx = ex sin x − cos x + C .3 2

Пр и ме р 8.8. Вычислим интеграл I = ò1- x2 dx.

 

 

 

 

 

 

é

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv = dx,ù

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u = 1- x2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

 

 

 

 

 

 

 

 

-xdx

 

 

 

 

ú

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4I = ò 1- x2 dx = ê

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ú

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

êdu

=

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

v = x. ú

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1- x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ë

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

û

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

= x 1- x

2

- òx

 

 

dx = x 1

- x

2

 

- ò 1- x

2

dx + ò

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1- x

2

 

 

 

1- x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x

 

1- x2

- I + arcsin x + C .

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

I =

x

 

 

1- x2

+ arcsin x

+ C .3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

8.3.1.Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей

S (x)

Рациональной дробью называется отношение Q(x) двух ал-

гебраических многочленов. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена S (x) меньше степени много-

члена Q(x). Если QS ((xx)) неправильная рациональная дробь, то де-

190

лением многочлена S (x) на многочлен Q( x) ее можно привести к

 

S (x)

= T (x) +

P(x)

P(x)

 

виду

 

 

, где T (x) многочлен, а

 

пра-

Q(x)

Q(x)

Q(x)

вильная рациональная дробь.

P(x)

Теорема 8.3. Пусть Q(x) правильная рациональная дробь,

знаменатель которой имеет вид

Q(x) = (x b1 )k1 ...(x bm )km (x2 + p1x + q1 )l1 ...(x2 + pn x + qn )ln , (8.6) (трехчлены (x2 + pi x + qi )li не имеют действительных корней). Тогда

для этой дроби справедливо следующее разложение на сумму эле- ментарных дробей:

 

 

P(x)

 

 

A1

 

 

 

 

A1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ak1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

+

 

 

 

+

... +

 

 

 

 

+ ... +

 

 

 

 

Q(x)

(x b1 )

(x b1 )2

(x b1 )k1

 

 

 

 

 

 

+

 

Am

 

 

 

Am

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Akm

 

+

 

 

 

 

 

(x bm ) + (x bm )2

+ ... + (x bm )km

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

B1 + C1x

B1 + C1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bl1 + Cl1 x

+ ... +

+ (x2 + p1x + q1 ) + (x2

 

+ p1x + q1 )2

+ ... + (x2 + p1x + q1 )l1

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

Bn

+ Cn x

 

 

Bn + Cn x

 

 

 

 

 

 

 

Bln + Cln x

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

 

 

+

 

+

 

+ ... +

 

. (8.7)

(x2 + pn x + qn )

(x2 + pn x + qn )2

(x2 + pn x + qn )ln

В этом разложении A1

,..., Am , B1

,C1

,..., Bn ,Cn

некоторые дейст-

 

 

 

 

 

1

 

 

 

k

m

1

 

 

1

 

 

 

 

l

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

вительные числа, подлежащие определению. При выполнении раз-

ложения вида (8.7) для конкретно заданной дроби найти неопреде-

ленные коэффициенты A1

,..., Am

, B1,C1,..., Bn

,Cn

можно различными

1

k

m

1

1

 

l

l

 

 

 

способами.

 

 

 

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод сравнения

 

 

 

P(x)

 

 

 

 

 

Для заданной правильной дроби

записывается разложение

 

Q(x)

(8.7), в котором коэффициенты A1,..., Am , B1

,C1

,..., Bn ,Cn считаются

 

 

 

1

k

m

1

1

 

l

l

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

неизвестными, после этого обе части равенства приводят к общему

знаменателю и у многочленов в числителях приравнивают коэффи-

191

циенты. При этом, если степень многочлена Q(x) равна n, то, во-

обще говоря, в числителе правой части равенства (8.7) получается

многочлен степени n −1, то есть многочлен с n коэффициентами. Число неизвестных в разложении (8.7) также равно n. Таким обра- зом, получается система n уравнений с n неизвестными, существо- вание решения которой вытекает из теоремы 8.3.

Метод частных значений

Разложение (8.7) приводится к целому виду, то есть левая и правая части выражения умножаются на общий знаменатель. Тогда получить

систему уравнений для коэффициентов A1

,..., Am

, B1

,C1

,..., Bn ,Cn

1

k

m

1

1

l

l

 

 

 

 

n

n

можно, подставляя в обе части тождества некоторые числовые значе-

ния x. В большинстве случаев в качестве частных значений x удобно выбирать корни знаменателя, так как они обращают в нуль часть со- множителей. Если знаменатель не имел кратных корней, то в резуль-

тате последовательной подстановки всех корней знаменателя получим все коэффициенты разложения (8.7).

Метод вычеркиваний

Если полином Q( x) имеет только действительные корни, то ко-

эффициенты A1

,..., Am в разложении (8.7) можно найти с помощью

1

km

метода вычеркиваний, который в таких случаях оказывается менее

громоздким, чем метод сравнения. Суть метода заключена в сле- дующей теореме.

Теорема 8.4. Пусть знаменатель Q( x) правильной рациональной

 

P(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дроби

 

 

представим в виде

 

 

 

 

 

 

 

Q(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q(x) = (x - b)k S (x), S (b) ¹ 0, b ¡.

 

 

 

Тогда коэффициенты Ai ,i =

 

в разложении

 

 

 

 

1,k

 

 

 

 

 

 

P(x)

 

P(x)

 

 

A1

 

A2

Ak

 

T (x)

 

 

 

 

=

 

=

 

+

 

+... +

 

+

 

,

 

 

Q(x)

(x - b)k S (x)

x - b

(x - b)2

(x - b)k

S (x)

где T (x) – некоторый многочлен, степень которого не превышает сте- пень многочлена S (x), могут быть вычислены следующим образом

A =

P(b)

,

A =

1 æ P(x) ö(m)

 

, m =

 

 

 

 

 

 

1,k -1.

 

 

 

 

 

S (b)

m!èç S (x) ø÷

k

 

k m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x=b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

192

4Обозначим

V (x) =

P(x)

(x - b)

k

=

P(x)

. Тогда

для функции

Q(x)

 

S(x)

V (x) справедливо следующее представление

 

 

 

T(x)(x - b)k

 

V (x) = A (x - b)k −1 + A (x - b)k −2 +... + A

 

(x - b)

+ A +

.

 

 

 

1

 

2

 

 

 

k −1

 

 

 

k

 

S(x)

Отсюда получаем, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1V ¢¢(b), …, A =

1

 

 

 

A = V (b) ,

A

= V ′(b), A

 

V (k−1) (b) .3

 

 

 

k

k−1

 

k−2

2

 

 

 

 

1

 

(k -1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Идея попеременного использования дифференцирования и мето- да частных значений (см. доказательство теоремы 8.4) бывает по- лезной и в том случае, когда знаменатель содержит комплексные корни (пример 8.11).

При некоторых навыках удачная комбинация указанных прие-

мов часто позволяет упростить процесс отыскания коэффициентов разложения (8.7).

x2 - 3x

Пр и ме р 8.9. Разложим дробь (1- x)3 (x + 2) на сумму простей-

ших дробей.

4Все корни знаменателя действительные, поэтому найдем ко- эффициенты разложения методом вычеркиваний:

x2 - 3x

 

 

 

 

=

 

 

3x - x2

 

 

=

 

A

 

 

+

B

 

 

 

 

+

 

 

C

 

+

 

D

 

.

(1- x)3 (x + 2)

(x -1)3 (x + 2)

(x + 2)

(x -1)3

 

(x -1)2

x -1

 

3x - x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

B =

 

3x - x2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

,

 

 

 

 

 

 

x=1 =

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x -1)3

 

x=−2

27

 

 

x + 2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

3x

-

x

2 ö¢

 

 

 

 

æ

(3 - 2x)(x + 2) - (3x - x2 )

ö

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C =

ç

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

= ç

 

 

 

 

 

(x

+ 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

=

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è x + 2 ø

 

x 1

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

x=1

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ö¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

3x - x

2

 

ö¢¢

 

 

 

æ

-x

2

 

- 4x 2+ 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D =

1

ç

 

 

÷

 

 

= 1

ç

 

 

÷

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!è x + 2 ø

 

 

2

ç

(x +

2)

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x=1

è

 

ø

 

 

x=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 (-2x - 4)(x + 2)2 - 2(x + 2)(-x2 - 4x + 6)

 

 

30

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x + 2)4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= -

 

= -

 

.3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x=1

81

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

193

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]