Глава 8
.pdfГлава 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
8.1. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Функция F (x) называется первообразной функцией (или про- сто первообразной) для функции f (x) на интервале (a,b), если в любой точке x интервала (a,b) функция F (x) дифференцируема и имеет производную F′(x) , равную f (x).
З ам е ч ан и е . Поскольку из дифференцируемости функции на
промежутке (a,b) |
следует ее непрерывность на этом отрезке, то |
||
F(x) – непрерывная на (a,b) функция. |
|
||
Функция F (x) |
называется обобщенной |
первообразной для |
|
функции f (x) |
на интервале (a,b), если F (x) |
непрерывна на (a,b) |
|
и F′( x) = f (x) |
на всем интервале, за исключением, быть может, |
конечного количества точек.
Аналогично определяются первообразная и обобщенная перво- образная для функции f (x) на отрезке, полуинтервале, луче и чи- словой прямой.
Теорема 8.1 (следствие из теоремы Лагранжа). Если F1 (x) и
F2 (x) – любые две первообразные для функции f (x) на интервале (a,b), то всюду на этом интервале F1 (x) − F2 ( x) = C , где C – неко- торая постоянная.
4См. замечание к теореме 6.6.3
Следствие. Если F (x) – одна из первообразных функций для функции f (x) на интервале (a,b), то любая первообразная G(x) для функции f (x) на интервале (a,b) имеет вид G( x) = F (x) + C , где C – некоторая постоянная.
Совокупность всех первообразных функций для данной функции f (x) на интервале (a,b) называется неопределенным интегралом
от функции f (x) (на этом интервале) и обозначается символом |
|
ò f (x)dx. |
(8.1) |
184
В этом обозначении знак ò называется знаком интеграла, выра-
жение f (x)dx – подынтегральным выражением, а сама функция f (x) – подынтегральной функцией. Операцию нахождения перво-
образной или неопределенного интеграла (от функции |
f (x) ) при- |
нято называть интегрированием (функции f (x) ). |
|
Если F (x) – одна из первообразных для функции |
f (x) на ин- |
тервале (a,b), то в силу следствия из теоремы 8.1 |
|
ò f (x)dx = F (x) + C , |
(8.2) |
где C – любая постоянная.
З ам е ч ан и е . Если первообразная (а стало быть, и неопределен- ный интеграл) для функции f (x) на интервале (a,b) существует, то
подынтегральное выражение в формуле (8.1) представляет собой дифференциал любой из этих первообразных, то есть
dF = F′(x)dx = f (x)dx .
Пр и ме р 8.1. Функция F (x) = sin x – первообразная для функции f ( x) = cos x на всей числовой прямой, так как для любого x ¡
F′(x) = (sin x)′ = cos x.
Пр и ме р 8.2. |
Функция G (x) =| x | – |
обобщенная первообразная |
||||||||
для функции g |
( |
x |
) |
= sign x на отрезке |
( |
) |
( |
x |
) |
непре- |
|
|
|
-1,1 , так как G |
|
|
|||||
рывна на (-1,1) и "x Î(-1,1) \{0} G¢(x) = (| x |)¢ = sign x . |
|
|
|
|
||||||
Пр и ме р 8.3. Найдем первообразную для функции |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
f (x) = íìx +1, x < 1; |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
î3x -1, |
x ³ 1. |
|
|
|
|
4Вычислим значения первообразной на каждом из интервалов
по отдельности: |
|
|
|
|
|
ì |
2 |
/ 2 |
+ x + C1, x < 1; |
ò |
f (x)dx = F (x) = íïx |
|
||
ï3x2 / 2 - x + C , x ³1. |
||||
|
î |
|
|
2 |
185
Так как первообразная должна быть непрерывной функцией, то
должно выполняться условие lim F (x) = lim F (x). Из этого условия
x→1− x→1+
находим связь между постоянными C1 и C2 :
|
lim F (x) = |
3 + C1 = |
1 |
+ C2 |
= lim F (x). |
||||||
|
x |
→1− |
2 |
2 |
|
x→1+ |
|
||||
Тогда C2 = C1 +1, и, следовательно, |
|
|
|
|
|
||||||
ì |
x |
2 |
+ x + C1, x <1; |
|
|
ì |
x |
2 |
|
+ x, x < 1; |
|
ï |
|
|
|
ï |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ï |
2 |
|
|
|
= C |
ï |
2 |
|
|
||
F (x) = í |
|
|
|
+ í |
|
|
|||||
ï |
3x |
2 |
|
|
|
ï |
3x2 |
||||
ï |
2 |
- x +1+ C1, x ³1 |
|
ï |
2 |
|
- x +1, x ³ 1.3 |
||||
î |
|
|
|
|
î |
|
|
Теорема 8.2. Для всякой функции f (x), непрерывной на интер- вале (a,b), существует на этом интервале первообразная (и неопре- деленный интеграл).
4Доказательство этой теоремы будет позже (теорема 9.6).3
Основные свойства неопределенного интеграла
1. d ò f (x)dx = f (x)dx .
4d ò f (x)dx = d (F (x) + C) = dF (x) = F¢(x)dx = f (x)dx.3
2.òdF (x) = F (x) + C .
4Из определения первообразной следует, что
|
òdF (x) = ò f (x)dx = F (x) + C . 3 |
ò |
|
|||
3. "a,bÎ ¡ |
òë |
û |
ò |
f (x)dx + b |
g (x)dx . |
|
éaf (x) +bg (x)ù dx = a |
|
|
4Заметим, что равенство в этой формуле имеет условный ха- рактер: его следует понимать как равенство левой и правой частей с точностью до произвольной постоянной (так как каждый из инте- гралов, фигурирующих в этой формуле, определен с точностью до произвольной постоянной).
Если F (x) – первообразная для f (x), а G(x) – первообразная для g (x), то функция aF (x) + bG (x) – первообразная для функции af (x) + bg (x), так как
(aF (x) +bG(x))¢ = aF¢(x) +bG¢(x) = af (x) + bg (x).3
186
Таблица основных неопределенных интегралов
1. |
ò0 × dx = C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2. |
ò1× dx = x + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3. òxadx = |
|
|
|
xa+1 |
+ C |
|
(a ¹ -1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
4. ò dx |
|
|
|
|
|
|
a +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= ln |
|
x |
|
|
+ C (x ¹ 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a > 0, a ¹ 1), òexdx = ex + C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. òaxdx = |
|
|
|
|
+ C |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln a |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
òsin xdx = -cos x + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
7. |
òcos xdx = sin x + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
8. |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ tg |
2 |
x)dx |
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
ö |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
=tg x + C |
ç x ¹ |
|
|
|
|
|
+ pk, k Î ¢÷. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ò cos |
2 |
x |
ò |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|||||||||||||||||
9. |
ò |
|
dx |
= ò(1+ ctg2 x)dx = - ctg x + C |
|
|
|
(x ¹ pk, k ΢). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin2 x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. ò |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
+ C (a ¹ 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
= a arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
a2 + x2 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. ò |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
+ C |
(a ¹ 0, |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
). |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
arcsin |
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a2 - x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. ò |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(d ¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ d > 0). |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
x |
+ |
|
x |
2 |
|
+ d |
+ C |
0, x |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 + d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
13. ò |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
ln |
|
a + x |
+ C |
(a ¹ 0, |
|
|
|
x |
|
|
< |
|
a |
|
). |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a2 - x2 |
|
|
2a |
|
a - x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14.òsh xdx = ch x + C .
15.òch xdx = sh x + C .
16.ò chdx2 x = th x + C .
17.òshdx2 x = -cth x + C (x ¹ 0).
187
8.2.ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
8.2.1.Интегрирование заменой переменной (подстановкой)
Пусть функция t = j(x) дифференцируема на некотором множе- стве X ( X – отрезок, интервал, луч, прямая), а T – множество всех значений этой функции. Пусть функция g (t) определена на T и имеет на этом промежутке первообразную G(t). Тогда всюду на множестве X для функции g[j(x)]j′(x) существует первообраз- ная, равная G[ϕ(x)], то есть
òg (t)dt = òg (j(x))j¢(x)dx = G (j(x)) + C = G(t) + C . (8.3)
4Для доказательства этого утверждения достаточно воспользо-
ваться правилом дифференцирования сложной функции dxd (G[ϕ(x)]) = G′[ϕ(x)] ϕ′(x)
и учесть, что, по определению первообразной, G′(t ) = g (t). 3
Пр и ме р
4ò cosdxx
8.4. Вычислим интеграл ò |
|
dx |
. |
|
|
|||||||||||||||||
cos x |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
cos xdx |
|
|
|
|
d sin x |
|
|
|
|
|
||||||||||
= ò |
= ò |
|
|
[t = sin x] = |
|
|
||||||||||||||||
cos2 x |
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||||
1- sin2 x |
|
|
||||||||||||||||||||
= ò |
|
dt |
= |
1 |
ln |
|
|
1 |
+ t |
|
+ C = |
|
1 |
ln |
|
|
1 |
+ sin x |
|
+ C.3 |
||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
1 |
- t |
2 |
1 |
- sin x |
|||||||||||||
|
1- t |
|
|
|
|
|
|
|
|
З ам е ч ан и е . В этом примере мы искали первообразную (неоп- ределенный интеграл) на множестве
X= ìíx x ¹ p + pk,k Î Z üý.
î2 þ
Очевидно, что на этом множестве подынтегральная функция являет- ся непрерывной и для нее существует первообразная. В дальнейшем мы будем искать первообразную (неопределенный интеграл) только на тех множествах, на которых она существует, поэтому само мно- жество указывать не будем, однако забывать о нем не следует.
188
Пр и ме р 8.5. Вычислим интеграл ò |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
x |
2 |
|
+ 4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
|
|
|
|
1ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx = êx = |
t |
ú |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x |
x |
2 |
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
æ |
|
|
dt ö |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sgn t dt |
. |
|||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
- |
|
|
|
2 |
|
÷ = - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= - |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
ò 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
× |
|
+ 4 |
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
t × |
|
|
1+ 4t |
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ 4t |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Учитывая, что ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
ln |
2t + |
|
|
4t2 +1 |
+ C , получим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+ 4t |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sgn x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
= - |
|
2 |
|
+ |
|
|
|
|
4 |
|
+1 |
+ C.3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
8.2.2. Интегрирование по частям
Пусть каждая из функций u (x) и v(x) дифференцируема на
множестве X и, кроме того, на этом множестве существует перво- образная для функции v(x)u′(x). Тогда на множестве X существу-
ет первообразная и для функции u (x)v′(x), причем справедлива
формула
òu (x)v¢(x)dx = u(x)v(x) - òv(x)u¢(x)dx. |
(8.4) |
4Для доказательства этого утверждения воспользуемся форму- лой для производной произведения функций u (x) и v(x).
Так как (u(x)v(x))¢ = u¢(x)v(x) + u (x)v¢(x), то
éu (x)v(x)ù¢dx = |
éu¢(x)v(x) + u (x)v¢(x)ù dx . |
||
òë |
û |
òë |
û |
u (x)v(x) = òv(x)u¢(x)dx + òu(x)v¢(x)dx .3
З ам е ч ан и е 1 . Определение дифференциала и свойство инва- риантности его формы позволяет записать формулу (8.4) в виде
òudv = uv - òvdu . |
(8.5) |
З ам е ч ан и е 2 . Вычисление интеграла òudv |
посредством фор- |
мулы (8.5) и называют интегрированием по частям.
189
Пр и ме р 8.6. Вычислим интеграл òln xdx.
4òln xdx = xln x - òxd ln x = xln x - òdx = xln x - x + C .3
Пр и ме р 8.7. Вычислим интеграл I = òex sin xdx .
4òex sin xdx = òsin xd(ex ) = ex sin x - òexd(sin x) =
ex sin x - òex cos xdx = ex sin x - òcos xdex =
= ex sin x - ex cos x + òexd(cos x) = ex sin x - ex cos x - òex sin xdx .
Таким образом, òex sin xdx = ex (sin x - cos x) - òex sin x dx . Отсюда
окончательно получаем
òex sin xdx = ex sin x − cos x + C .3 2
Пр и ме р 8.8. Вычислим интеграл I = ò1- x2 dx.
|
|
|
|
|
|
é |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv = dx,ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u = 1- x2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
-xdx |
|
|
|
|
ú |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4I = ò 1- x2 dx = ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
êdu |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
v = x. ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1- x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
−xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||
= x 1- x |
2 |
- òx |
|
|
dx = x 1 |
- x |
2 |
|
- ò 1- x |
2 |
dx + ò |
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1- x |
2 |
|
|
|
1- x |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
= x |
|
1- x2 |
- I + arcsin x + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Таким образом, |
I = |
x |
|
|
1- x2 |
+ arcsin x |
+ C .3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
8.3.1.Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей
S (x)
Рациональной дробью называется отношение Q(x) двух ал-
гебраических многочленов. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена S (x) меньше степени много-
члена Q(x). Если QS ((xx)) – неправильная рациональная дробь, то де-
190
лением многочлена S (x) на многочлен Q( x) ее можно привести к
|
S (x) |
= T (x) + |
P(x) |
P(x) |
|
|
виду |
|
|
, где T (x) – многочлен, а |
|
– пра- |
|
Q(x) |
Q(x) |
Q(x) |
вильная рациональная дробь.
P(x)
Теорема 8.3. Пусть Q(x) – правильная рациональная дробь,
знаменатель которой имеет вид
Q(x) = (x − b1 )k1 ...(x − bm )km (x2 + p1x + q1 )l1 ...(x2 + pn x + qn )ln , (8.6) (трехчлены (x2 + pi x + qi )li не имеют действительных корней). Тогда
для этой дроби справедливо следующее разложение на сумму эле- ментарных дробей:
|
|
P(x) |
|
|
A1 |
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ak1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
... + |
|
|
|
|
+ ... + |
|
|
|||||||||
|
|
Q(x) |
(x − b1 ) |
(x − b1 )2 |
(x − b1 )k1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
+ |
|
Am |
|
|
|
Am |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Akm |
|
+ |
|
|
|||||||
|
|
|
(x − bm ) + (x − bm )2 |
+ ... + (x − bm )km |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
||
|
B1 + C1x |
B1 + C1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bl1 + Cl1 x |
+ ... + |
||||||||||||||||
+ (x2 + p1x + q1 ) + (x2 |
|
+ p1x + q1 )2 |
+ ... + (x2 + p1x + q1 )l1 |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||||
|
Bn |
+ Cn x |
|
|
Bn + Cn x |
|
|
|
|
|
|
|
Bln + Cln x |
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|||||
+ |
|
+ |
|
+ ... + |
|
. (8.7) |
||||||||||||||||||||||||
(x2 + pn x + qn ) |
(x2 + pn x + qn )2 |
(x2 + pn x + qn )ln |
||||||||||||||||||||||||||||
В этом разложении A1 |
,..., Am , B1 |
,C1 |
,..., Bn ,Cn – |
некоторые дейст- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
k |
m |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
l |
|
l |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
вительные числа, подлежащие определению. При выполнении раз-
ложения вида (8.7) для конкретно заданной дроби найти неопреде-
ленные коэффициенты A1 |
,..., Am |
, B1,C1,..., Bn |
,Cn |
можно различными |
|||||||
1 |
k |
m |
1 |
1 |
|
l |
l |
|
|
|
|
способами. |
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Метод сравнения |
|
|
|
P(x) |
|
|
|
|
|
||
Для заданной правильной дроби |
записывается разложение |
||||||||||
|
|||||||||||
Q(x) |
|||||||||||
(8.7), в котором коэффициенты A1,..., Am , B1 |
,C1 |
,..., Bn ,Cn считаются |
|||||||||
|
|
|
1 |
k |
m |
1 |
1 |
|
l |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
неизвестными, после этого обе части равенства приводят к общему
знаменателю и у многочленов в числителях приравнивают коэффи-
191
циенты. При этом, если степень многочлена Q(x) равна n, то, во-
обще говоря, в числителе правой части равенства (8.7) получается
многочлен степени n −1, то есть многочлен с n коэффициентами. Число неизвестных в разложении (8.7) также равно n. Таким обра- зом, получается система n уравнений с n неизвестными, существо- вание решения которой вытекает из теоремы 8.3.
Метод частных значений
Разложение (8.7) приводится к целому виду, то есть левая и правая части выражения умножаются на общий знаменатель. Тогда получить
систему уравнений для коэффициентов A1 |
,..., Am |
, B1 |
,C1 |
,..., Bn ,Cn |
||
1 |
k |
m |
1 |
1 |
l |
l |
|
|
|
|
n |
n |
можно, подставляя в обе части тождества некоторые числовые значе-
ния x. В большинстве случаев в качестве частных значений x удобно выбирать корни знаменателя, так как они обращают в нуль часть со- множителей. Если знаменатель не имел кратных корней, то в резуль-
тате последовательной подстановки всех корней знаменателя получим все коэффициенты разложения (8.7).
Метод вычеркиваний
Если полином Q( x) имеет только действительные корни, то ко-
эффициенты A1 |
,..., Am в разложении (8.7) можно найти с помощью |
1 |
km |
метода вычеркиваний, который в таких случаях оказывается менее |
громоздким, чем метод сравнения. Суть метода заключена в сле- дующей теореме.
Теорема 8.4. Пусть знаменатель Q( x) правильной рациональной
|
P(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дроби |
|
|
представим в виде |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Q(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Q(x) = (x - b)k S (x), S (b) ¹ 0, b ¡. |
|
|
|
||||||||
Тогда коэффициенты Ai ,i = |
|
в разложении |
|
|
|
|
||||||||||
1,k |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
P(x) |
|
P(x) |
|
|
A1 |
|
A2 |
Ak |
|
T (x) |
|
|||
|
|
|
= |
|
= |
|
+ |
|
+... + |
|
+ |
|
, |
|||
|
|
Q(x) |
(x - b)k S (x) |
x - b |
(x - b)2 |
(x - b)k |
S (x) |
где T (x) – некоторый многочлен, степень которого не превышает сте- пень многочлена S (x), могут быть вычислены следующим образом
A = |
P(b) |
, |
A = |
1 æ P(x) ö(m) |
|
, m = |
|
|
||||
|
|
|
||||||||||
|
1,k -1. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
S (b) |
m!èç S (x) ø÷ |
|||||||||||
k |
|
k −m |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x=b |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
192
4Обозначим |
V (x) = |
P(x) |
(x - b) |
k |
= |
P(x) |
. Тогда |
для функции |
||||||
Q(x) |
|
S(x) |
||||||||||||
V (x) справедливо следующее представление |
|
|
|
T(x)(x - b)k |
|
|||||||||
V (x) = A (x - b)k −1 + A (x - b)k −2 +... + A |
|
(x - b) |
+ A + |
. |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
k −1 |
|
|
|
k |
|
S(x) |
||
Отсюда получаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= 1V ¢¢(b), …, A = |
1 |
|
|
|
||||||||||
A = V (b) , |
A |
= V ′(b), A |
|
V (k−1) (b) .3 |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
k |
k−1 |
|
k−2 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
(k -1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Идея попеременного использования дифференцирования и мето- да частных значений (см. доказательство теоремы 8.4) бывает по- лезной и в том случае, когда знаменатель содержит комплексные корни (пример 8.11).
При некоторых навыках удачная комбинация указанных прие-
мов часто позволяет упростить процесс отыскания коэффициентов разложения (8.7).
x2 - 3x
Пр и ме р 8.9. Разложим дробь (1- x)3 (x + 2) на сумму простей-
ших дробей.
4Все корни знаменателя действительные, поэтому найдем ко- эффициенты разложения методом вычеркиваний:
x2 - 3x |
|
|
|
|
= |
|
|
3x - x2 |
|
|
= |
|
A |
|
|
+ |
B |
|
|
|
|
+ |
|
|
C |
|
+ |
|
D |
|
. |
||||||||||||||||||
(1- x)3 (x + 2) |
(x -1)3 (x + 2) |
(x + 2) |
(x -1)3 |
|
(x -1)2 |
x -1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3x - x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
B = |
|
3x - x2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
x=1 = |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(x -1)3 |
|
x=−2 |
27 |
|
|
x + 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
æ |
|
3x |
- |
x |
2 ö¢ |
|
|
|
|
æ |
(3 - 2x)(x + 2) - (3x - x2 ) |
ö |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
C = |
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
= ç |
|
|
|
|
|
(x |
+ 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
= |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
è x + 2 ø |
|
x 1 |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
x=1 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
æ |
3x - x |
2 |
|
ö¢¢ |
|
|
|
æ |
-x |
2 |
|
- 4x 2+ 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
D = |
1 |
ç |
|
|
÷ |
|
|
= 1 |
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2!è x + 2 ø |
|
|
2 |
ç |
(x + |
2) |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x=1 |
è |
|
ø |
|
|
x=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 (-2x - 4)(x + 2)2 - 2(x + 2)(-x2 - 4x + 6) |
|
|
30 |
|
|
|
10 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 2)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= - |
|
= - |
|
.3 |
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x=1 |
81 |
27 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
193