Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Глава 8

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.03.2016

Размер:

540.54 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

8.5.4*. Частные случаи интегрирования тригонометрических

дифференциалов

Помимо стандартных методов интегрирования функций вида R(cos x,sin x), описанных выше, существуют и специальные, позво- ляющие значительно сократить вычисления.

1. ò	a sin x + b cos x		dx ,	a1	b1	¹ 0 .
	1	1
	asin x + bcos x			a	b

Представим числитель в виде линейной комбинации знаменателя и его производной

a1 sin x + b1 cos x = A(asin x + bcos x) + B(asin x + bcos x)¢ = = ( Aa - Bb)sin x + ( Ab + Ba)cos x.

Коэффициенты A, B этого разложения могут быть найдены из

системы уравнений

ìa1 = Aa - Bb,

íîb1 = Ab + Ba.

Тогда ò

a1 sin x + b1 cos x

dx =

asin x + bcos x

(asin x + bcos x)¢ dx

= Aò asin x + bcos x dx + Bò

asin x + bcos x

= Ax + B ln

asin x + bcos x

+ C.

2. ò

a sin x + b cos x + d

dx , rang

= 2.

asin x + bcos x + d

Представим числитель в виде линейной комбинации знаменате- ля, его производной и константы a1 sin x + b1 cos x + d1 =

=A(asin x + bcos x + d ) + B(asin x + bcos x + d )′ + D =

=( Aa - Bb)sin x + ( Ab + Ba)cos x + Ad + D.

Коэффициенты A, B, D этого разложения могут быть найдены из

системы уравнений

ìa1 = Aa - Bb,

ïíb1 = Ab + Ba,

ïî d1 = Ad + D.

224

Тогда ò a1 sin x + b1 cos x + d1 dx = asin x + bcos x + d

Aò

asin x + bcos x + d

dx + Bò

(asin x + bcos x + d )¢ dx

asin x + bcos x + d

+Dò

asin x + bcos x + d

= Ax + Bln

asin x + bcos x + d

+ Dò

asin x + bcos x + d

3. ò

a sin2 x + b sincos x + d cos2

dx , rang

= 2.

2ab

asin x + bcos x

Представим числитель в виде:

a1 sin2 x + b1 sincos x + d1 cos2 x =

=( Asin x + Bcos x)(asin x + bcos x) + D(sin2 x + cos2 x) =

=( Aa + D)sin2 x + ( Ab + Ba)sin xcos x + (Bb + D)cos2 x.

Коэффициенты A, B, D этого разложения могут быть найдены из

системы уравнений

		ì a = Aa + D,
		ï	1
		íb1 = Ab + Ba,
		ï d = Bb + D.
		î	1
Тогда ò	a sin2	x + b sincos x + d cos2			x	dx =
	1	1	1
		asin x + bcos x
= ò( Asin x + Bcos x)(asin x + bcos x) dx + Dò								dx	=
= ò( Asin x + Bcos x)(asin x + bcos x) dx + Dò							asin x + bcos x		=
		asin x + bcos x				dx	asin x + bcos x
	= Bsin x - Acos x + Dò					dx		.
	= Bsin x - Acos x + Dò			asin x + bcos x				.
				asin x + bcos x

Пр и ме р 8.36. Вычислим ò 6sin2 x + 2sin xcos x + 4cos2 xdx . sin x + cos x

4Представим числитель 6sin2 x + 2sin xcos x + 4cos2 x в виде

6sin2 x + 2sin x cos x + 4cos2 x =

= ( Asin x + Bcos x)(sin x + cos x) + C (sin2 x + cos2 x).

225

Для нахождения неизвестных коэффициентов A, B,C имеем систему

ìA + C = 6,

= 2,

íA + B

= 4.

îB + C

Решая эту систему, находим A = 5, B = −3, C = 1, поэтому

ò 6sin2 x + 2sin xcos x + 4cos2 xdx = −5cos x − 3sin x + ò

sin x + cos x

+ t -1

= -5cos x - 3sin x +

+ C ,

-t +1

(см. пример 8.30).3

8.6. ИНТЕГРАЛЫ ВИДА òR(sh x,ch x)

Интегралы данного вида можно привести к интегралам, содержа- щим экспоненту, используя определение гиперболических функций:

sh x =	ex - e− x	, ch x =	ex + e− x	.	(8.23)
	2		2

Предварительно исходное выражение можно попытаться упро- стить, применяя следующие гиперболические тождества.

x - sh

x =1

sh xsh y = éch

(x + y)

- ch (x - y)ù / 2

(

)

(

sh 2x = 2sh xch x

ch xch y = éch

x + y

+ ch

x - y

ù / 2

)û

ch 2x = sh2 x + ch2 x

sh xch y = ésh

(x + y)

+ sh(x - y)ù / 2

= sgn x ×

ch x -1

ch x +1

Также для данных интегралов применимы подстановки, анало-


гичные	подстановкам,		используемым для					интегралов		вида
òR(sin x,cos x) dx . Так, например, подстановка								t = th(x / 2), учиты-
вая равенства
	2th (x / 2)		1		+ th2	(x / 2)			2dt
sh x =		, ch x =					, x = 2Arth t , dx =				,
sh x =	1- th2 (x / 2)	, ch x =		1	- th2	(x / 2)	, x = 2Arth t , dx =		1- t2		,

226

сводит интеграл òR(sh x,ch x)dx к интегралу от рациональной дроби:

R(sh x,ch x)dx = 2

,1+ t

Rç

- t

1- t

ø1

- t

Заметим, что обратные функции

x = x(t )

для гиперболических

подстановок t = sh x ,

t = ch x , t = th x

могут быть получены из вы-

ражений (8.23).

8.7.ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ, ВЫЧИСЛЯЮЩИЕСЯ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ

Ктаким интегралам относятся, например, интегралы

òeαx sin (bx)dx, òeαx cos(bx)dx,	ò xn sin(ax)dx, òxn cos(ax)dx,
òxneαxdx, òxn ln xdx, òxn arcsin(bx)dx, òxn arccos(bx)dx,
òxn arctg(bx)dx,	òxn arcctg(bx)dx.

Все эти интегралы вычисляются с помощью последовательного ин- тегрирования по частям. Кроме того, через интегралы

òeαx cos(bx)dx , òeαx sin(bx)dx

легко выражаются интегралы:

òsh (ax)sin (bx)dx, òch (ax)sin (bx)dx,

òsh (ax)cos(bx)dx, òch(ax)cos(bx)dx.

8.8.ИНТЕГРАЛЫ ВИДА òR(x,a2 ± x2 )dx , òR(x,x2 − a2 )dx

Интегралы такого вида легко приводятся к интегралам вида òR(sint,cost)dt или òR(sht,ch t)dt с помощью тригонометриче-

ских или, соответственно, гиперболических подстановок, приведен- ных в таблице. При этом особое внимание следует уделить области допустимых значений переменных (см. пример 8.38).

227

Подста-

Элементы интеграла

Область допустимых

новка

значений переменных

Интегралы вида ò R(x,

a2 − x2 )dx

x = asin t

a2 - x2

= acost

dx = a cost dt

pù

x Î[-a,a], t Î ê-

x = −acost

a2 - x2

= asint

dx = asint dt

x Î[-a,a], t Î[0,p]

x = a tht

a2 - x2

dx =

x Î[-a,a], t Î(-¥,¥)

cht

Интегралы вида ò R(x,

a2 + x2 )dx

x = a tgt

+ x

dx =

adt

cost

cos

x Î(-¥,¥), t Îç -

x = a ctgt

a2 + x2

dx = -

adt

x Î(-¥,¥), t Î(0,p)

sint

sin2 t

x = asht

a2 + x2

= a cht

dx = ach t dt

x Î(-¥,¥), t Î(-¥,¥)

Интегралы вида òR(x,

x2 − a2 )dx

или

asint

x Î[a,+¥), t Î ê0,

x =

- a

dx =

cost

cos2 t

æ p

x Î(-¥,-a], t Îç

,pú

228

или

acost

acost dt

x Î[a,+¥), t Î ê-

,0÷

x = -

- a

dx =

sin t

sint

sin2 t

pù

x Î(-¥,-a], t Îç

2 û

x = a ch t

= ash t

dx = asht dt

x Î[a,+¥), t Î[0,+¥)

x2 - a2

x = −a ch t

= -asht

dx = −asht dt

x Î(-¥,-a], t Î(-¥,0]

x2 - a2

Зам е ч ан и е 1 . a > 0.

Зам е ч ан и е 2 . Выбор конкретной подстановки зависит от вы-

числяемого интеграла.

229

Пр и ме р 8.37. Вычислим интеграл ò

, a > 0.

(a2 + x2 )2

4Подстановка x = a tgt :

+ x

dx =

adt

cos2 t

I = ò

= ò

cos4 t

adt

(a2

+ x2 )

cos

1+ cos2t dt =

+ sin 23 t

+ C .

Учитывая, что

tgt

sint =

, cost =

1+ tg2t

получим

I =

(t + sint cost) + C =

2a3

x ù

êarctg

çarctg

a û

+ C =

1+ tg2

éarctg

+ tg2

éarctg

ú ÷

a û

arctg

+ C .3

2a3

2a2 a2 + x2

Пр и ме р 8.38. Вычислим интеграл ò

, x > a > 0 .

- a

4Так как x > a , то для вычисления данного интеграла использу-

ем подстановку x = ach t :

x2 - a2

= ash t,

dx = ashtdt ,

òdt = t + C = ln (x +

)+ C .3

- a

x2 - a2

230

Пр и ме р 8.39. Вычислим интеграл ò

- a2 dx

, a

> 0.

4Используем подстановку x =

cost

= asint

dx = asin t dt ,

x2 - a2

cost

cos2 t

- a2 dx

= ò

asin t

cos4 t

asin t

dt =

cost

cos

sin3 t + C =

- a

2 ö3/ 2

ç1

+ C .3

8.9.ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ. НЕБЕРУЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ

Вдифференциальном исчислении было показано, что дифферен- цирование элементарных функций есть всегда выполнимое (в элемен- тарных же функциях) действие. Для интегрирования подобное утвер-

ждение неверно. В частности, доказано, что интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями. Приведем для примера некоторые из них:

òe− x2 dx , ò

dx , ò

òcos x2dx, òsin x2dx ,

ln x

cos x

dx ,

sin x

dx ,

sh x

dx,

ch x

dx.

Каждый из указанных интегралов представляет собой функцию, не являющуюся элементарной. Данные интегралы не только реаль- но существуют, но и играют большую роль в различных вопросах физики.

231

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.03.2016546.03 Кб8Глава 3,4.pdf
#
11.03.2016719.99 Кб7Глава 3.2.pdf
#
11.03.2016746.33 Кб8Глава 3.pdf
#
11.03.2016911.85 Кб7Глава 5.pdf
#
11.03.2016660.06 Кб5Глава 6.pdf
#
11.03.2016540.54 Кб7Глава 8.pdf
#
23.09.2019497.15 Кб8Главная Шпора ТФКП теория.doc
#
27.03.20151.92 Mб123Голуб курсач.doc
#
27.03.20151.69 Mб20Горин С.А. - НЛП. Техники россыпью [2004].doc
#
22.09.2019694.27 Кб8ГОСЫ КПРФ.doc
#
21.09.2019310.78 Кб1Госы ответы ФиК.doc