Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Глава 8

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.03.2016

Размер:

540.54 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Интегралы I-го типа. Можно показать, что первообразная для

функции

P(x)

имеет вид

ax2 + bx + c

P(x)

dx = Q(x) ax

+ bx + c + lò

+ bx + c

где Q(x)

– многочлен степени (n −1)

с неопределенными коэффи-

циентами, λ

– неизвестная константа.

Коэффициенты многочлена

Q(x) и число λ находятся при помощи дифференцирования по-

следнего равенства.			Adx
Интегралы II-го типа. Интеграл ò			Adx				подста-
		k
	(x - g)	k		ax	2
	(x - g)			ax		+ bx + c

новкой (x − γ) = 1t приводится к интегралу типа I.

Интегралы III-го типа. Для данного типа интегралов рассмот- рим два случая.

1. Предположим, что

ax2 + bx + c = a(x2 + px + q).

Тогда

(2x + p) + N

Mp ö

(Mx + N )dx

÷dx

ò(x2 + px + q)

ax2

+ bx + c ò

(x2 + px + q)m+

= C

d (x2 + px + q)

+ B

ò (x2 + px + q)m+

ò(x2 + px + q)m+ 2

= C

+ B

(1- 2m)(x2 + px + q)m−

ò (x2 + px + q)m+

Mp ö

где B =

ç N -

÷, C

a è

(8.18)

Прежде чем продолжить ход рассуждений, рассмотрим теорему.

214

Теорема 8.9. Интегралы вида

, где многочлен

x2 + px + q

ò(x2 + px + q)m+ 2

не имеет действительных корней, рационализируются

подстановкой Абеля

t = (

)¢ =

x + p / 2

x2 + px + q

(8.19)

x2 + px + q

41°. (x

+ px + q) =

p2 / 4 - q

= R(t), так как из (8.19) следует,

t2 -1

что

t2 (x2 + px + q)

= çæ x +

÷ö

= (x2

+ px + q)+ ç

- q ÷.

2°.

. Действительно, если продифференциро-

1- t2

+ px + q

вать (отдельно левую и правую части) равенство

x +

= t x2 + px + q ,

эквивалентное равенству (8.19), то получим

dx = dt ×

+ t ×(

x2 + px + q

dx =

= dt × x2 + px + q + t ×t dx..

Из 1° и 2° следует, что

R(t)dt .3

(x2 + px + q)m+

ò (x2 + px + q)

x2 + px + q

2. Если равенство (8.18) не выполняется, то есть отношение трехчленов ax2 + bx + c и x2 + px + q непостоянно, то в интеграле

делают замену переменного так, чтобы во вновь полученных трех- членах одновременно исчезли члены с первой степенью. Это дости- гается, например, с помощью дробно-линейной подстановки

x =	αt + β	, если p ¹ b	и x = t -	p	, если p = b .
	t +1
		a	2		a

215

At + B

В результате получаем интеграл ò(t2 + l)m st2 + r dt . Для вы-

числения этого интеграла представим его в виде

At + B

ò(t2 + l)m st2 + r dt =

= Aò	t dt		+ B ò	dt		= A× I1 + B × I2.
	(t2 + l)m			(t2 + l)m
		st2 + r			st2 + r

Покажем, что первый из этих интегралов рационализируется под-

становкой u = st2 + r , а второй – подстановкой Абеля v = (st2 + r )¢.

- r

öm

4Пусть u = st2 + r , тогда (t2 + l)

= ç u

+ l÷

= R(u),

du =

stdt

tdt

st2 + r

Для рационализации второго интеграла необходимо проделать

следующие выкладки:

v = (

)¢ =

st2 + r

Þ v2 (st2 + r) = s2t2 Þ (t

2 + l)

= ç

+ l÷ = R(v).

è s

- v

st = v

st2 + r Þ

+ v ×(

Þ sdt = dv × st2

+ r

st2 + r

dt = dv ×

st2 + r + v2dt

s - v2

st2 + r

Пр и ме р 8.26. Вычислим интеграл ò

(

)

x2 - x +1

4Воспользуемся подстановкой Абеля:

- x +1=

4 1-t2 .

1°. 4t

- x +1)=4x

-4x +1=4(x

- x +1)-3 Þ x

(

)

216

2°. Дифференцируя равенство tx2 - x +1 = x -1/ 2, получаем:

dt ×

+ t ×

(2x -1)dx

= dx Þ

x2 - x +1

1- t2

2 x2 - x +1

x2 - x +

= ò

(

)

(

)

- x +1

x - x +1

= ò

16(1- t2 )2

16 ò(1- t2 )dt =

- t

ö3

t3 ö

2x -1

çt -

÷ + C =

+ C.3

9 2 x2 - x

2 x2 - x +1 ø

Пр и ме р 8.27. Вычислим интеграл ò

x3 - 6x2 +11x - 6

dx .

+ 4x + 3

x3-6x2+11x -6

4ò

dx =(Ax

+ Bx +C)

+4x +3 + lò

x2+ 4x +3

x2+4x +3

x3 -

6x2 +11x - 6

= (2Ax + B)

x2 + 4x + 3

2x + 4

+(Ax

+ Bx + C)

x2 + 4x + 3

x2 + x +1

x3 - 6x2 +11x - 6 = (2Ax + B)(x2 + 4x + 3)+ (Ax2 + Bx + C)(x + 2) + l.

= 2A

+ A

A =1/3;

-6 = 8A+ B + B + 2A

B = -14/3;

11 = 6A+4B+C + 2B

Þ C = 37;

-6 =

+3B

+2C +l

l = -66.

Так как ò

= ln

x+2+ x2+4x +3

+C , то

+4x+3

(x +2)

-1

x3-6x2+11x -6

dx =

x2+ 4x +3

14x

x2+4x +3 - 66ln

x + 2+

x2+ 4x +3

+C.3

37÷

è 3

217

Пр и ме р 8.28. Вычислим интеграл ò				2x + 5			dx .
	(	x	2	)
					2	+1
				+ x +1 x

4Так как отношение трехчленов x2 + x +1 и x2 +1 – не констан-

та, то делаем дробно-линейную подстановку x =	αt + β	. Тогда
	t +1

x2 + x +1 = a2t2 + 2abt +b2 + (at +b)(t +1) + t2 + 2t +1 ,

(t +1)2

x2 +1 = a2t2 + 2abt +b2 + t2 + 2t +1 . (t +1)2

Приравнивая к нулю коэффициент при t , получим систему для на- хождения α и β :

ì2ab + a + b + 2 = 0, íî2ab + 2 = 0.

Одно из решений этой системы: −α = β = −1.

В результате замены x =

t −1

получим

t +1

x2 + x +1 =

3t2 +1

, x2 +1 =

2t2 + 2

, 2x + 5 =

7t + 3

, dx =

dt ,

(t +1)2

t +1

(t +1)2

2x + 5

7t + 3

)

I = ò

dx = 2ò

(

)

(

)

+ x +1 x

1 t +1

Вычислим отдельно интегралы ò

tdt

, ò

(

)

(

)

3t +1 t +1

+1 t

используя в первом из них подстановку u =

t2 +1 , а во втором –

подстановку Абеля v = (

)′.

t2 +1

tdt

u =

t2 +1,

= ê

du =

ú = ò

(

)

3u2 - 2

= 3u - 2,

+1 t

ê3t

t +1 ú

- u

+ C =

+ C.

2 2

2 / 3 + u

2 6

2 + 3u

218

v =

(

t2 +

)

t2 +

(3t

+1)

, 3t2 +1 =

+1ú

- v2

ê1

1+ t

1- v

= ò

arctg

+ C.

2v2 +1

Следовательно,

tdt

I = 7 2ò

+ 3 2ò

(

)

(

)

+1 t +1

t2 +1

+ 3arctg

+ C.

t2 +1

Учитывая, что t =

x +1

, получаем окончательный ответ:

1− x

(x -1) -

x2 + 2x + 2

I =

(x -1)+

x2 + 2x + 2

(x +1)sgn (1- x)

+ C.3

+3arctgç

+ 2

8.5.ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

8.5.1. Интегралы вида òR(sinx,cosx)dx

Теорема 8.10. Интегралы вида òR(sin x,cos x) dx сводятся к ин-

тегралам от рациональной дроби при помощи подстановки t = tg

1- t2 ,

2dt

4Так как sin x =

cos x =

x = 2arctgt ,

dx =

, то

+ t2

1+ t2

1- t

2dt

(t)dt .3

R(sin x,cos x)dx =

Rç

1+ t

219

З ам е ч ан и е . Подстановка t = tg 2x , хотя и является универсаль-

ной подстановкой, часто приводит к довольно громоздким выклад- кам. В связи с этим укажем несколько частных случаев, когда по-

дынтегральная функция приводится к рациональной дроби более простым способом:

– если R(−sin x,cos x) = −R(sin x,cos x) , то применяется подстановка

t = cos x , sin x =		, dx = -		dt
	1- t2				;

			1- t2

– если R(sin x,−cos x) = −R(sin x,cos x) , то применяется подстановка

		dt
t = sin x , cos x = 1- t2 , dx =		dt	;

	1- t2
	1- t2

– если R(−sin x,−cos x) = R(sin x,cos x) , то применяется подстановка

t = tg x , sin x =

, cos x =

, dx =

. (8.20)

+ t2

1+ t2

Пр и ме р 8.29. Вычислим òsin3 xcos4 xdx.

4Так как R(−sin x,cos x) = (−sin x)3 (cos x)4 = −R(sin x,cos x), то

òsin3 xcos4 xdx = [t = cost] = -ò(1- t2 )t4dt = - t5

+ t7

+ C.3

Пр и ме р 8.30. Вычислим интеграл ò

sin x

+ cos x

4Полагая t = tg

, получим

= ò

2dt

sin x + cos x

1- t2

1+ t2

-t2 + 2t +1

1+ t2

2dt

+ t -1

= ò

+ C .3

2 - (t -1)2

- t +1

220

Пр и ме р 8.31. Вычислим интеграл ò

sin3 x dx

cos4 x (sin x + cos x)

4Пусть R(sin x,cos x) =

sin3 x

. Тогда

cos4 x(sin x + cos x)

R(−sin x,−cos x) = R(sin x,cos x) ,

поэтому применяем подстановку t = tg x:

sin3 x dx

= ò

sin3 x d (tg x)

cos4 x (sin x + cos x)

cos2 x (sin x + cos x)

tg3 x d(tg x)

t3 dt

çt

- t +1

÷ dt

ò (1+ tg x)

ò(t +1)

t +1

òè

+ t - ln | t +1| +C, t = tg x.3

8.5.2. Интегралы вида òsins x cosr xdx

Теорема 8.11. Пусть

s,r ¤. Тогда интеграл

òsins x cosr xdx

с помощью подстановок u = sin x или u = cos x сводится к интегралу от дифференциального бинома.

4Для подстановки u = sin x получим:

1						du			1
cos x = (1- u2 )2	, du = cos xdx Þ dx =					du	= (1- u2 )− 2 du ;
cos x = (1- u2 )2	, du = cos xdx Þ dx =					cos x	= (1- u2 )− 2 du ;
следовательно,
		r	1					r−1
òsins x cosr xdx = òus (1- u2 )			(1- u2 )−		du = òus (1- u2 )					du .3
òsins x cosr xdx = òus (1- u2 )		2	(1- u2 )−	2	du = òus (1- u2 )			2		du .3
З ам е ч ан и е 1 . Если s,r ¢, то интеграл òsins x cosr									xdx отно-

сится к типу интегралов, рассмотренных в предыдущем пункте, и для его вычисления лучше использовать указанные там подстановки.

З ам е ч ан и е 2 .

Если s = r ¢, то

òsin

x cos

xdx = ò

sins (2x)

dx =

òsin

t dt .

s+1

221

З ам е ч ан и е 3 . Если s,r Î ¥ U{0}, то для понижения степени

целесообразно применять формулы

sin2 x = 12 (1- cos(2x)), cos2 x = 12 (1+ cos(2x));	(8.21)
sin3 x = 14 (3sin x - sin (3x)), cos3 x = 14 (3cos x + cos(3x));	(8.22)

sin4 x = 18 (cos(4x)-4cos(2x)+3), cos4 x = 18 (cos(4x)+4cos(2x)+3),

которые приводят рассматриваемый интеграл к интегралам того же типа, но с меньшими, также неотрицательными целыми степенями.

8.5.3.Интегралы вида òsin(αx) cos(βx)dx ,

òsin(αx) sin(βx)dx , òcos(αx) cos(βx)dx

Интегралы òsin ax cosbxdx , òsin ax sinbxdx , òcosax cosbxdx

непосредственно вычисляются, если их подынтегральные функции

преобразовать по формулам

sin ax cosbx =	1	ésin (a +b)x + sin (a -b)xù,
	2 ë		û
sin ax sinbx =	1	écos(a - b) x - cos(a + b)xù ,
	2	ë	û
cosax cosbx =	1	écos(a -b)x + cos(a + b) xù .
	2	ë	û

Пр и ме р 8.33. Вычислим интеграл òsin3 (2x) cos2 (3x)dx. 4Воспользуемся формулами (8.21) и (8.22):

òsin3 (2x) cos2 (3x)dx = 18 ò(3sin (2x) - sin(6x)) (1+ cos(6x))dx =

=-9cos(2x) + cos(6x) + 1 ò(3sin (2x)cos(6x) -sin (6x)cos(6x))dx = 48 8

=	-3cos(2x)	+	cos(6x)	+	3cos(8x)	-	3cos(4x)	+	cos(12x)	+ C.3
	16				128		64
		48						182

222

Пр и ме р 8.34*. Вычислим интеграл ò

sin (2n +1) x

dx .

sin x

4Так как sin

(

(2n +1)x

)

= 2cos

(

2nx

)

sin x + sin

((

2n -1 x

)

, то

)

sin ((2n +1) x)

dx = 2òcos(2nx)dx + ò

sin ((2n -1)x)

dx =

sin x

1 sin (2nx) + ò

sin ((2n -1)x)

dx.

sin x

Обозначив In

= ò

sin ((2n +1) x)

dx , получаем

sin x

n > 0 In

= 1 sin (2nx) + In−1 ,

I0 =nòdx = x.

1 sin

(2kx) + x.3

Таким образом, In = å

k=1

Пр и ме р 8.35*. Вычислим интеграл ò

sin (2nx)

dx.

sin x

2n - 2

, то

4Так как sin

(

2nx

)

= 2cos

((

2n -1 x

)

sin x + sin

((

)

sin (2nx)

dx = 2òcos((2n -1) x)dx + ò

sin ((2n - 2) x)

dx =

sin x

sin

((2n -1) x)+ ò

sin ((2n - 2) x)

dx .

2n -1

sin x

Обозначив In

sin (2nx)

dx, получаем

sin x

n > 1 In

sin ((2n −1)x)+ In−1 ,

2n −1

sin (2x)

I1 = ò

dx = ò2cos xdx = 2sin (x).

sin x

Таким образом, In = åç

sin ((2k -1)x)÷

2k -1

k=1

223

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.03.2016546.03 Кб8Глава 3,4.pdf
#
11.03.2016719.99 Кб7Глава 3.2.pdf
#
11.03.2016746.33 Кб8Глава 3.pdf
#
11.03.2016911.85 Кб7Глава 5.pdf
#
11.03.2016660.06 Кб5Глава 6.pdf
#
11.03.2016540.54 Кб7Глава 8.pdf
#
23.09.2019497.15 Кб8Главная Шпора ТФКП теория.doc
#
27.03.20151.92 Mб123Голуб курсач.doc
#
27.03.20151.69 Mб20Горин С.А. - НЛП. Техники россыпью [2004].doc
#
22.09.2019694.27 Кб8ГОСЫ КПРФ.doc
#
21.09.2019310.78 Кб1Госы ответы ФиК.doc