Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Глава 8

.pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
11.03.2016
Размер:
540.54 Кб
Скачать

Решая эту систему, находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = −

3 , B = 1, C = − 5

, D = 0, E = 1, F =

1 , H = 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

4

 

Следовательно, ò

x5 + x −1

 

dx =

−3x3 + 4x2 − 5x

+

ò 4x2 + x + 3 dx .

 

 

 

4Q1

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q(x)

 

 

 

 

 

4Q2 (x)

Заметим теперь, что знаменатель Q2

(x) можно представить в

виде Q2 (x) = (x −1)(x2 +1). Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 +

1 x + 3

 

 

 

 

 

 

 

dx

1

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

4

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò

 

 

 

 

 

 

 

dx = ò

 

+

4 ò

 

 

 

= ln

x −1

+

4 arctg x

+ C ,

(

x −1

 

x2

+1

x −1

x2 +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)(

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò

 

 

 

 

 

x6 x5 + x4 + 3x2 − 2x + 2

 

 

dx =

 

 

 

 

 

 

x7 − 3x6 + 5x5 − 7x4 + 7x3 − 5x2 + 3x −1

 

 

 

=

 

 

 

 

 

−3x3 + 4x2 − 5x

 

+ ln

 

x −1

 

+ 1 arctg x + C.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

4 x

4

− 2x

3

+ 2x

2

− 2x +1

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.4.ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

Функции вида

P(u1

,u2

,...,un )

 

 

R(u1,u2 ,...,un ) =

,

(8.12)

Q(u1

,u2

,...,un )

 

 

 

где P и Q многочлены от переменных u1,u2 ,...,un , называются

рациональными функциями от u1,u2 ,...,un .

Если в формуле (8.12) переменные u1,u2 ,...,un , в свою очередь,

являются функциями переменной x: ui

= ϕi

(x), i =

 

, то функция

1,n

ë 1 (

x

)

,j

2 (

x

)

,...,j

n (

x

)û

 

 

R éj

 

 

 

 

ù

 

 

называется рациональной функцией от функций ϕ1 (x), …, ϕn (x).

Пр и ме р 8.17. sin x − 5sin xcos2 x

= R(sin x,cos x),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos3 x + 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x + x2 + 3

(x2 +1)2

 

= R(x,

 

,

 

 

 

)= R

(

 

, 6

 

).

 

 

x2 +1, 3

x2 +1

x2 +1

 

x

x

 

 

 

 

 

 

6

 

x2 +1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

204

8.4.1. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей

Рассмотрим интегралы вида

òR éêx, æç ax êë è cx

+ b ör1

æ ax + b ör2

÷

, ç

÷

+ e ø

è cx + e ø

æ ax + b örn ù

(8.13)

, ... ç

÷

ú dx ,

è cx + e ø

ú

 

 

 

û

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

 

 

a

b

 

где ri Τ, i =1, n, a,b,c,e ¡

и

¹ 0 (если

= 0 , то

 

c

e

c

e

ax + b

= const ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cx + e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 8.6. Пусть

 

m общий знаменатель чисел r1,r2 ,...,rn :

ri =

pi

, pi Î ¢,

i =

 

.

Тогда интеграл

(8.13) рационализируется

1, n

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

подстановкой t = m

ax + b

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cx + e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4Так как

x = etm - b

 

= R

(t),

то dx = R (t)dt

(производная ра-

 

 

 

 

 

a - ctm

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

циональной функции является рациональной функцией), а значит,

 

 

ò

é

 

æ ax + b ör1

æ ax + b

ör2

æ ax + b örn ù

 

 

 

 

 

R êx, ç

÷

, ç

 

÷

,...ç

÷

ú dx =

 

 

 

 

ê

 

è cx + e ø è cx + e

ø

è cx + e ø

ú

 

 

 

 

 

 

ë

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

û

 

 

 

 

 

= ò R

é

 

 

 

 

 

p1

,t

p2

,...,t

pn ù

× R2 (t)dt = òR3 (t)dt,

 

 

 

 

ëR1 (t),t

 

 

 

û

 

 

(здесь R1 (t), R2 (t), R3 (t) некоторые рациональные функции пе- ременной t ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

é

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

ù

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

t =

 

x,

 

 

 

Пр и ме р 8.18.

ò

 

 

 

x +

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx = ê

 

 

 

 

 

ú

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 x5 -

6 x7

 

 

 

êx = t12

, dx =12t11dtú

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ë

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

û

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+ t + 2 t -1 + 2

 

 

t

6

+ t

4

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

3

 

 

+ t

(

 

 

 

 

 

 

 

)(

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ò

 

12t dt =12ò t -1 dt =12ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t -1

 

 

dt =

t15 - t14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

t

3

 

 

 

 

t

2

 

+ 2t + 2ln

 

t -1

 

ö

+ C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=12ç

 

 

+

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è 3

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

205

Пр и ме р 8.19. ò

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

= ò

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x +1)

2

(x -1)

4

 

 

 

 

 

 

 

 

æ x +1

ö

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

(x -1)

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

é

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è x

ø

 

 

 

 

 

 

 

ù

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-6t

dt

 

= êt = 3

=

3 1+

 

 

 

, x -1 =

 

 

 

 

, dx =

 

 

 

ú

=

x -1

 

x -1

 

t3

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t

3

-1)

2

ú

 

ë

 

 

 

(

 

 

)

−2 dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

û

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

= -ò

6t2

 

t3 -1

 

 

= -

 

3

òdt = -

3

t + C

= -

3

3

 

x 1

 

+ C.

 

 

(

 

 

)

−2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

x -1

 

 

 

 

4 t

-1

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.4.2. Интегрирование биномиальных дифференциалов

Биномиальным дифференциалом называют выражение вида xm (a + bxn )p dx,

где a,b Î ¡, ab ¹ 0, m,n, p Î ¤.

Теорема 8.7. Интеграл òxm (a + bxn )p dx рационализируется сле-

дующими подстановками:

1) Если p Î Z , то x = tk , где k общий знаменатель дробей m и n;

2)

Если

m +1

Î Z , a + bxn = tk , где k знаменатель дроби p;

 

 

 

 

n

 

 

 

 

3)

Если p +

m +1

Î Z , то axn

+ b = tk , где k знаменатель дроби p.

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

4Случай 1. Пусть m =

zm

,

n =

zn

, где zm , zn Î ¢, k Î ¥. Тогда в

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

k

результате подстановки x = tk

получим

 

 

xm = tzm , dx = ktk −1dt ,

(a + bxn )p = (a + btzn )p ;

следовательно, òxm (a + bxn )p dx = òtzm (a + btzn )p ×ktk−1dt = òR(t)dt .

Случай 2. Пусть

p =

z

, где z ¢, k ¥. Тогда в результате под-

 

становки a + bxn

= tk

 

k

 

 

 

 

получим

 

 

 

ö1/ n

(a + bxn )

p

= tz , bnxn−1dx = ktk −1dt ,

æ

k

 

 

x = ç t

 

- a

÷ .

 

 

 

 

 

 

è

 

b

ø

206

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xm (a + bxn )p dx = xm ×tz × ktk−1dt

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bnxn−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

æ

 

 

k

 

 

ö

mn+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

xmn+1

×tz+k−1dt =

 

 

 

 

ç t

 

 

- a ÷

 

 

 

 

×tz+k−1dt..

 

 

 

bn

 

bn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

b

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

если

 

 

 

m +1΢,

 

то после указанной подстановки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получаем интеграл от рациональной функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Случай 3. Пусть

 

p =

 

z

 

, где z ¢,

 

 

k ¥. Тогда в результате под-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

становки

a

+ b = tk

получим x =

æ

 

 

 

a

 

 

 

ön

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è t

 

-b ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

1

−1

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+1

 

dx = 1

 

a

 

ön

 

 

 

 

×

ç

 

 

 

 

 

-a

 

 

 

÷ktk−1dt = -

 

 

k

 

 

 

 

a

 

 

ön

tk−1 dt ,

ç

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

÷

 

 

k

 

 

 

 

 

 

(tk -b)

2

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

n è t

-b ø

 

 

 

 

 

èç

 

 

 

ø÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

è t

 

 

-b

ø

 

 

 

 

 

 

 

(a +bx

n

)

p

 

 

 

 

(x

n

)

p

 

 

æ a

 

 

 

 

 

 

öp

 

æ

 

 

 

a

 

 

öp

 

 

z

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

×

ç

 

 

 

 

 

+ b÷

=

ç

 

 

 

 

 

 

 

÷ t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

k

-b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è x

 

 

 

 

 

 

ø

 

è t

 

ø

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

æ a öp

 

(-k ) æ

 

 

 

 

 

1

+1

xm (a + bxn )

p

 

 

 

æ a ö n

 

 

 

a ön

 

dx =

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

×

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

×tz ×

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

÷

×tk−1 dt =

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è t

 

 

-b ø è t

 

 

 

 

- b ø

 

 

 

 

 

 

an è t

 

-b ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k æ

 

 

 

a

 

 

ö

m+1

+ p+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= -

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

tz+ p−1 dt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an è t

 

- b ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, если p +

m +1

Î ¢,

то после указанной подстановки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xm (a + bxn )p dx = R (t)dt .3

З ам е ч ан и е . П. Л. Чебышев доказал, что указанными в теореме тремя случаями исчерпываются все случаи, когда биномиальный дифференциал интегрируется в элементарных функциях [2].

207

dx

Пр и ме р 8.20. Вычислим интеграл ò 4 x3 (1- 6 x ).

4Подынтегральное выражение является биномиальным диффе-

ренциалом, в котором m = −

3

, n =

1 ,

 

 

p = −1 ¢, поэтому восполь-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

зуемся подстановкой x = tHOK (4,6) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò 4 3

 

dx

 

 

 

 

 

= òx

−3/4

(1- x

 

)

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1- t

 

 

)

−1

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

dx

= ët

=

12

 

x û = òt

−9

2

×12t

11

dt =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ 6

 

 

 

 

 

 

 

 

é

 

 

 

ù

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

1-

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

 

 

 

æ

 

1

æ

 

1

 

 

 

 

1

öö

 

 

 

 

 

 

 

t -1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=12

 

 

 

 

 

 

dt =12

 

ç

-1-

 

 

ç

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

÷÷dt = -12t - 6ln

 

 

 

 

 

 

+ C

=

ò1

 

 

 

2

ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- t

 

 

 

 

è

 

2

è t -1

 

 

 

t +

1øø

 

 

 

 

 

 

 

t +

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= -1212 x - 6ln

+ C.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пр и ме р 8.21. Вычислим интеграл òx1/3 (2 + x2/ 3 )3/ 4 dx . 4Подынтегральное выражение является биномиальным диффе-

ренциалом, в котором m = 1 , n =

2 , p =

3 ¢. Так как

m +1

 

= 2 ¢,

n

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то интеграл будем вычислять с помощью подстановки t4 = 2 + x2/ 3 .

Тогда x = (t4 − 2)3/ 2 ,

dx = 23 (t4 − 2)1/ 2 3t3dt . Следовательно,

 

òx1/3 (2 + x2/3 )3/ 4 dx = ò((t4 - 2)3/

2 )1/ 3 (t4 )3/ 4 × 3

(t4 - 2)1/ 2 3t3dt =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

9

ò(t4 - 2)t6dt =

 

9

 

æ

t

11

 

 

t

7

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

ç

 

- 2

 

÷ + C.3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

è 11

 

7

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пр и ме р 8.22. Вычислим интеграл ò

æ

 

 

3

 

 

 

ö−8/ 5

 

ç 2 +

 

 

 

 

 

÷

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

x

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

4Подынтегральное выражение является биномиальным диффе-

ренциалом, в котором m = 0 , n = −5/ 2 ,

 

p = 7 / 2 , а значит,

 

p ¢ , m +1 = - 2 Ï¢, m +1 + p = -

2 -

8

= -2΢.

 

 

 

n

5

 

n

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

5

 

 

 

 

208

Поэтому будем вычислять интеграл по третьему случаю:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t5 = 2x5/ 2 +

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

t

5

- 3

 

ö

2/ 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3, x =

ç

 

 

 

÷

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

æ t5

- 3

ö−3/5

 

5t4

 

 

 

 

 

 

 

 

4

æ t5

- 3

ö−3/ 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx =

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

×

 

 

dt = t

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

dt ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

3

 

ö−8/ 5

 

 

æ

 

 

 

 

 

3 ö−8/ 5

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

3× 2

 

 

 

ö−8/ 5

 

 

æ t5

- 3

ö8/5

1

 

ç

2

+

 

 

 

÷

 

=

ç

2 +

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

= ç

2

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

=

ç

 

÷

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

x5

ø

 

 

 

 

è

 

 

 

 

x5/ 2

ø

 

 

 

èç

 

 

 

 

 

5 - 3)ø÷

 

 

 

 

 

 

è

2

ø

t8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò

æ

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

ö−8/ 5

 

 

 

 

ò

 

æ t5

- 3

ö8/5

 

1

 

 

4

æ t5 - 3 ö−3/5

 

Следовательно,

ç

2 +

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

dx =

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

×t

 

ç

 

÷

dt =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

t

8

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

x5

ø

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

è

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

t5

 

 

- 3

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2 ò

 

 

t4

 

dt =

4 t

 

 

+

 

+ C .3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2t3

 

 

 

 

 

 

 

8.4.3. Интегрирование выражений вида R(x,ax2 + bx + c ).

Подстановки Эйлера

 

Теорема 8.8. Интегралы вида

 

òR(x,

 

)dx ,

 

ax2 + bx + c

(8.14)

где a,b,c Î ¡, a ¹ 0, а квадратный трехчлен ax2 + bx + c

не имеет

кратных корней, сводятся к интегралам от рациональной дроби при помощи подстановок Эйлера:

 

 

 

 

 

 

 

, если a > 0;

 

1)

ax2

+ bx + c = ±t ± x

 

a

(8.15)

 

 

 

 

 

 

 

2)

ax2

+ bx + c = ±tx ±

 

, если c > 0;

(8.16)

c

 

 

 

= ±t (x - x1 ), если ax2+bx +c =a(x - x1 )(x - x2 ). (8.17)

3)

ax2

+ bx + c

При этом в первой и второй подстановках комбинация знаков произвольна и определяется областью допустимых значений пере- менных x и t .

41. Докажем, что первая подстановка Эйлера (8.15) рациона-

лизирует интеграл от функции (8.14). Возводя в квадрат обе части равенства (8.15), получаем

ax2 + bx + c = t ± 2txa + ax2 .

209

Отсюда x =

t2 - c

= R1 (t), dx = R1¢(t)dt = R2 (t)dt,

 

 

 

b m 2 at

 

 

ax2 + bx + c = ±t ± R1 (t)a = R3 (t).

Таким образом,

òR(x, ax2 + bx + c )dx = òR(R1 (t), R3 (t )) R2 (t)dt = òR4 (t)dt .

2.Докажем теперь, что вторая подстановка Эйлера (8.16) ра-

ционализирует интеграл (8.14) .

Возводя в квадрат равенство (8.16), получаем

ax2 + bx + c =

x = b tm2 2tac = R1 (t),

-

ax2 + bx + c = ±

Следовательно,

x2t2 ± 2cxt + c .

dx = R1¢(t)dt = R2 (t)dt , c ± t R1 (t) = R3 (t ).

òR(x, ax2 + bx + c )dx = òR(R1 (t), R3 (t )) R2 (t)dt = òR4 (t)dt .

3.Для доказательства того, что третья подстановка Эйлера (8.17) рационализирует интеграл (8.14), возведем в квадрат равен-

ство (8.17):

 

 

 

 

t2 (x - x )2

= ax2

+ bx + c = a(x - x )(x - x ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

t2 (x - x1 ) = a(x - x2 ).

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-ax + x t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда x =

 

 

2

1

 

= R (t)

, dx = R¢(t)dt = R

(t),

 

 

 

 

 

 

t

2- a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

2

 

at (x1

- x2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

-ax2+ x1t2

ö

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax

+ bx + c = ±t (x

- x1 ) = ±t ç

 

 

 

 

- x1 ÷

= ±

 

 

 

 

 

= R3

(t ).

 

 

t

2

- a

 

t

2

- a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

ø

 

 

 

 

 

òR(x, ax2 + bx + c)dx = ò R(R1 (t), R3 (t))R2 (t)dt = ò R4 (t )dt .3

З ам е ч ан и е 1 . Заметим, что для рационализации любого инте- грала вида (8.14) достаточно первой и третьей подстановок Эйлера.

Действительно, если квадратный трехчлен ax2 + bx + c имеет ком- плексные корни, то его знак совпадает со знаком a (а значит, a > 0) и тогда применима первая подстановка Эйлера. Если же квадратный

трехчлен ax2 + bx + c имеет действительные корни, то применима третья подстановка Эйлера.

210

 

З ам е ч ан и е

2 . Если квадратный

трехчлен

 

 

 

ax2 + bx + c

имеет

действительные корни x1 и x2 , то при a > 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x - x

 

 

 

 

 

 

 

x - x

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+bx +c = a(x - x1 )(x - x2 ) = a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax

x - x1

 

 

 

 

2

 

 

 

= R1 ç x,

 

2

÷

,

 

 

 

 

x - x

 

x

- x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R(x, ax2 + bx + c )= R1

 

 

 

x - x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç x,

 

÷.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

x - x1

ø

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично для a < 0 получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax2 + bx + c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a(x - x1 )(x - x2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

 

 

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

- x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x - x

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

a

 

×

 

x - x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

= R1 ç x,

2

 

 

 

 

 

 

 

÷.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x - x

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

x - x

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, если квадратный трехчлен ax2 + bx + c имеет дей- ствительные корни, то интегралы вида òR(x, ax2 + bx + c )dx сводят- ся к интегралам вида (8.13) от дробно-линейных иррациональностей.

З ам е ч ан и е 3 . Интегралы вида òR(x,ax + b,cx + e )dx сво-

дятся к интегралам вида (8.14) подстановкой t2 = ax + b .

4 x = t2 a- b , dx = a2 tdt , cx + e = ac t2 - cba + e = At2 + B .3

Пр и ме р 8.23. Вычислим интеграл ò

 

dx

.

 

 

 

 

x +

x

2

+ x +1

 

 

 

4Поскольку квадратный трехчлен имеет комплексные корни и

a =1 > 0,

сделаем

первую подстановку

Эйлера

t = x2 + x +1 + x .

Тогда x =

t2 -1

 

, dx = 2

t

2 + t +1

dt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2t +1

(

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2t +1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò

 

 

dx

 

 

 

 

= 2ò

 

t2 + t +1

dt = 2ò

dt

- 3ò

dt

- 3ò

 

dt

=

x +

 

 

 

 

 

 

 

t(2t +1)2

t

 

1+ 2t

(1+ 2t)2

x2 + x +1

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2ln | t | -

ln | 2t +1| +

 

 

 

 

 

+ C ,

t =

 

x2 + x +1 + x .3

 

 

2

 

2(2t +1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

211

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пр и ме р 8.24. Вычислим интеграл ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+

 

 

1- 2x - x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4Так как c = 1 > 0, то можно применить вторую подстановку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эйлера 1- 2x - x2

= xt -1.

 

 

 

 

 

 

2t − 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда -2x - x2 = x2t2 - 2xt , x =

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2 +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2t2

- 2t

 

 

 

-2t2

+ 4t + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx =

dt , 1+ 1-

2x - x

2

 

= 1+ xt -1 = xt =

.

(

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

t

2

 

2

 

 

 

 

t2 +1

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

=

ò

 

t2 +1

 

 

×

 

-2t2

+ 4t + 2

dt =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2t

2

- 2t

 

 

(

 

 

)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ 1- 2x - x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-t2

 

+ 2t +1

 

 

 

 

 

é-1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2 ù

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

= òê

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

ú dt

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

)(

 

2

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

t -

 

t

 

 

 

 

 

 

 

ë t

 

 

 

 

 

 

t -1 t +1û

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= -ln

 

t

 

+ ln

 

t -1

 

- 2arctgt + C,

 

 

 

t =

1+ 1- 2x - x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пр и ме р 8.25. Вычислим интеграл ò

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

.

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)3

 

 

 

 

7x -10 - x2

 

 

 

4В данном случае a < 0 и c < 0 , поэтому ни первая, ни вторая

подстановки

Эйлера неприменимы. Но

квадратный

трехчлен

7x -10 - x2

имеет действительные корни

x

= 2, x

2

= 5,

поэтому

 

 

1

 

 

 

можно применить третью подстановку Эйлера:

 

 

 

 

7x -10 - x2 = (x - 2)(5 - x) = (x - 2)t .

Тогда (5 - x) = (x - 2)t2 , x =

5 + 2t2

; dx =

−6t dt

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ t

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

7x -10 - x2 =

 

 

(x - 2)(5 - x)

 

= (x - 2)t = ç

5 +

2t

- 2÷t =

3t

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1+ t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

1+ t

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, при t =

 

5 - x

 

, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x - 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ t

2

 

3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

)

 

5 + 2t

 

-6t dt

 

 

 

 

 

 

2

æ 5

 

 

ö

 

 

 

 

2 æ 5

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò

 

 

 

 

3

×

 

 

2

 

 

×

 

 

 

 

 

 

= -

 

òç

 

 

+ 2

÷dt =

 

ç

 

- 2t ÷

+ C .3

(

 

)

 

 

 

 

(

 

 

2

)

2

 

 

2

 

 

 

 

3t

 

 

 

1+ t

 

 

 

 

+ t

 

 

 

 

 

 

 

9 è t

 

 

 

ø

 

 

 

9 è t

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

212

8.4.4.Интегрирование квадратичных иррациональностей другими способами

Хотя подстановки Эйлера всегда рационализируют интеграл от функции (8.14), обычно эти подстановки приводят к весьма гро- моздким выкладкам. Поэтому на практике часто пользуются други-

ми способами интегрирования функций вида R(x,ax2 + bx + c ).

Функция R(x,

 

 

) может быть представлена в виде:

ax2 + bx + c

 

 

 

) = R (x) +

 

R2 (x)

 

R(x,

ax2 + bx + c

,

 

 

 

 

1

 

ax2 + bx + c

 

 

 

 

 

 

 

 

где R1(x) и R2 (x) – некоторые рациональные функции. Интегриро- вание рациональных выражений было рассмотрено ранее, поэтому

перейдем к вычислению интеграла от функции

 

R2 (x)

 

. Выде-

 

 

 

ax2 + bx + c

ляя из рациональной функции R2 (x) целую часть многочлен P(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R (x) = P(x) +

 

S(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

Q(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и раскладывая дробь

S(x)

 

в сумму простейших дробей, видим, что

Q(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2 (x)

 

 

 

интегрирование функций

 

 

 

 

 

приводит к вычислению ин-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax2 + bx + c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тегралов следующих типов:

 

 

 

I. ò

 

 

 

 

 

P(x)

 

 

dx, P(x) – многочлен степени n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax

2

+ bx + c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II.

ò

 

 

 

 

 

 

Adx

 

 

 

 

 

 

 

, a,b,c, γ, A ¡.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x − γ)

k

 

ax

2

 

+ bx + c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III.

 

ò

 

 

 

 

 

(Mx + N )dx

 

 

 

, M , N ¡, многочлен x2 + px + q

 

 

 

 

 

 

(x2 + px + q)m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax2 + bx + c

не имеет действительных корней.

Рассмотрим отдельно каждый случай.

213

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]