Глава 8
.pdfРешая эту систему, находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
A = − |
3 , B = 1, C = − 5 |
, D = 0, E = 1, F = |
1 , H = 3 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|||
Следовательно, ò |
x5 + x −1 |
|
dx = |
−3x3 + 4x2 − 5x |
+ |
ò 4x2 + x + 3 dx . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4Q1 |
(x) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(x) |
|
|
|
|
|
4Q2 (x) |
||||||||||||||
Заметим теперь, что знаменатель Q2 |
(x) можно представить в |
||||||||||||||||||||||||||||||||
виде Q2 (x) = (x −1)(x2 +1). Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x2 + |
1 x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
1 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ò |
|
|
|
|
|
|
|
dx = ò |
|
+ |
4 ò |
|
|
|
= ln |
x −1 |
+ |
4 arctg x |
+ C , |
||||||||||||||
( |
x −1 |
|
x2 |
+1 |
x −1 |
x2 +1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
)( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
x6 − x5 + x4 + 3x2 − 2x + 2 |
|
|
dx = |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x7 − 3x6 + 5x5 − 7x4 + 7x3 − 5x2 + 3x −1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
−3x3 + 4x2 − 5x |
|
+ ln |
|
x −1 |
|
+ 1 arctg x + C.3 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
||||||||||||||
|
|
|
4 x |
4 |
− 2x |
3 |
+ 2x |
2 |
− 2x +1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.4.ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Функции вида |
P(u1 |
,u2 |
,...,un ) |
|
|
|
R(u1,u2 ,...,un ) = |
, |
(8.12) |
||||
Q(u1 |
,u2 |
,...,un ) |
||||
|
|
|
где P и Q – многочлены от переменных u1,u2 ,...,un , называются
рациональными функциями от u1,u2 ,...,un .
Если в формуле (8.12) переменные u1,u2 ,...,un , в свою очередь, |
|||||||||||||
являются функциями переменной x: ui |
= ϕi |
(x), i = |
|
, то функция |
|||||||||
1,n |
|||||||||||||
ë 1 ( |
x |
) |
,j |
2 ( |
x |
) |
,...,j |
n ( |
x |
)û |
|
|
|
R éj |
|
|
|
|
ù |
|
|
называется рациональной функцией от функций ϕ1 (x), …, ϕn (x).
Пр и ме р 8.17. sin x − 5sin xcos2 x |
= R(sin x,cos x), |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos3 x + 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5x + x2 + 3 |
(x2 +1)2 |
|
= R(x, |
|
, |
|
|
|
)= R |
( |
|
, 6 |
|
). |
||||
|
|
x2 +1, 3 |
x2 +1 |
x2 +1 |
||||||||||||||
|
x |
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6 |
|
− x2 +1 |
||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
204
8.4.1. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей
Рассмотрим интегралы вида
òR éêx, æç ax êë è cx
+ b ör1 |
æ ax + b ör2 |
|
÷ |
, ç |
÷ |
+ e ø |
è cx + e ø |
æ ax + b örn ù |
(8.13) |
||
, ... ç |
÷ |
ú dx , |
|
è cx + e ø |
ú |
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
a |
b |
|
|
где ri Τ, i =1, n, a,b,c,e ¡ |
и |
¹ 0 (если |
= 0 , то |
||||||||||||||||||||||
|
c |
e |
c |
e |
|||||||||||||||||||||
ax + b |
= const ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
cx + e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема 8.6. Пусть |
|
m – общий знаменатель чисел r1,r2 ,...,rn : |
|||||||||||||||||||||||
ri = |
pi |
, pi Î ¢, |
i = |
|
. |
Тогда интеграл |
(8.13) рационализируется |
||||||||||||||||||
1, n |
|||||||||||||||||||||||||
m |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
подстановкой t = m |
ax + b |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cx + e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4Так как |
x = etm - b |
|
= R |
(t), |
то dx = R (t)dt |
(производная ра- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a - ctm |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
циональной функции является рациональной функцией), а значит, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
ò |
é |
|
æ ax + b ör1 |
æ ax + b |
ör2 |
æ ax + b örn ù |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
R êx, ç |
÷ |
, ç |
|
÷ |
,...ç |
÷ |
ú dx = |
|
|
||||||||||||||
|
|
ê |
|
è cx + e ø è cx + e |
ø |
è cx + e ø |
ú |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
||
|
|
= ò R |
é |
|
|
|
|
|
p1 |
,t |
p2 |
,...,t |
pn ù |
× R2 (t)dt = òR3 (t)dt, |
|
|
|||||||||
|
|
ëR1 (t),t |
|
|
|
û |
|
|
(здесь R1 (t), R2 (t), R3 (t) – некоторые рациональные функции пе- ременной t ).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t = |
|
x, |
|
|
|
|||||||||
Пр и ме р 8.18. |
ò |
|
|
|
x + |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = ê |
|
|
|
|
|
ú |
= |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 x5 - |
6 x7 |
|
|
|
êx = t12 |
, dx =12t11dtú |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ t + 2 t -1 + 2 |
|
|||||||||
|
t |
6 |
+ t |
4 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
3 |
|
|
+ t |
( |
|
|
|
|
|
|
|
)( |
|
) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= ò |
|
12t dt =12ò t -1 dt =12ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t -1 |
|
|
dt = |
||||||||||||||||||||||
t15 - t14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
t |
3 |
|
|
|
|
t |
2 |
|
+ 2t + 2ln |
|
t -1 |
|
ö |
+ C . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
=12ç |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è 3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
205
Пр и ме р 8.19. ò |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= ò |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
(x +1) |
2 |
(x -1) |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
æ x +1 |
ö |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
(x -1) |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
é |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è x |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
ù |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-6t |
dt |
|
||||||||||||||||
= êt = 3 |
= |
3 1+ |
|
|
|
, x -1 = |
|
|
|
|
, dx = |
|
|
|
ú |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x -1 |
|
x -1 |
|
t3 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t |
3 |
-1) |
2 |
ú |
|
|||||||||||||||||||||
ë |
|
|
|
( |
|
|
) |
−2 dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= -ò |
6t2 |
|
t3 -1 |
|
|
= - |
|
3 |
òdt = - |
3 |
t + C |
= - |
3 |
3 |
|
x 1 |
|
+ C. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
( |
|
|
) |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x -1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
4 t |
-1 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.4.2. Интегрирование биномиальных дифференциалов
Биномиальным дифференциалом называют выражение вида xm (a + bxn )p dx,
где a,b Î ¡, ab ¹ 0, m,n, p Î ¤.
Теорема 8.7. Интеграл òxm (a + bxn )p dx рационализируется сле-
дующими подстановками:
1) Если p Î Z , то x = tk , где k – общий знаменатель дробей m и n;
2) |
Если |
m +1 |
Î Z , a + bxn = tk , где k – знаменатель дроби p; |
||||||||
|
|
||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|||||
3) |
Если p + |
m +1 |
Î Z , то ax−n |
+ b = tk , где k – знаменатель дроби p. |
|||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||
4Случай 1. Пусть m = |
zm |
, |
n = |
zn |
, где zm , zn Î ¢, k Î ¥. Тогда в |
||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
k |
||
результате подстановки x = tk |
получим |
||||||||||
|
|
xm = tzm , dx = ktk −1dt , |
(a + bxn )p = (a + btzn )p ; |
следовательно, òxm (a + bxn )p dx = òtzm (a + btzn )p ×ktk−1dt = òR(t)dt .
Случай 2. Пусть |
p = |
z |
, где z ¢, k ¥. Тогда в результате под- |
||||||
|
|||||||||
становки a + bxn |
= tk |
|
k |
|
|
|
|
||
получим |
|
|
|
ö1/ n |
|||||
(a + bxn ) |
p |
= tz , bnxn−1dx = ktk −1dt , |
æ |
k |
|
||||
|
x = ç t |
|
- a |
÷ . |
|||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
b |
ø |
206
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
xm (a + bxn )p dx = xm ×tz × ktk−1dt |
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bnxn−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
æ |
|
|
k |
|
|
ö |
m−n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= |
xm−n+1 |
×tz+k−1dt = |
|
|
|
|
ç t |
|
|
- a ÷ |
|
|
|
|
×tz+k−1dt.. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
bn |
|
bn |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
b |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Таким образом, |
если |
|
|
|
m +1΢, |
|
то после указанной подстановки |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
получаем интеграл от рациональной функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Случай 3. Пусть |
|
p = |
|
z |
|
, где z ¢, |
|
|
k ¥. Тогда в результате под- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
становки |
a |
+ b = tk |
получим x = |
æ |
|
|
|
a |
|
|
|
ön |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è t |
|
-b ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
æ |
|
|
|
|
1 |
−1 |
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+1 |
|
||||||
dx = 1 |
|
a |
|
ön |
|
|
|
|
× |
ç |
|
|
|
|
|
-a |
|
|
|
÷ktk−1dt = - |
|
|
k |
|
|
|
|
a |
|
|
ön |
tk−1 dt , |
||||||||||||||||||||||||||
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
(tk -b) |
2 |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n è t |
-b ø |
|
|
|
|
|
èç |
|
|
|
ø÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
è t |
|
|
-b |
ø |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(a +bx |
n |
) |
p |
|
|
|
|
(x |
n |
) |
p |
|
|
æ a |
|
|
|
|
|
|
öp |
|
æ |
|
|
|
a |
|
|
öp |
|
|
z |
. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
× |
ç |
|
|
|
|
|
+ b÷ |
= |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ t |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
k |
-b |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è x |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
è t |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
æ a öp |
|
(-k ) æ |
|
|
|
|
|
1 |
+1 |
|||||||||||||||||||||||||||
xm (a + bxn ) |
p |
|
|
|
æ a ö n |
|
|
|
a ön |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx = |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
× |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
×tz × |
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
×tk−1 dt = |
|||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
è t |
|
|
-b ø è t |
|
|
|
|
- b ø |
|
|
|
|
|
|
an è t |
|
-b ø |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k æ |
|
|
|
a |
|
|
ö |
m+1 |
+ p+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= - |
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
tz+ p−1 dt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an è t |
|
- b ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Таким образом, если p + |
m +1 |
Î ¢, |
то после указанной подстановки |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xm (a + bxn )p dx = R (t)dt .3
З ам е ч ан и е . П. Л. Чебышев доказал, что указанными в теореме тремя случаями исчерпываются все случаи, когда биномиальный дифференциал интегрируется в элементарных функциях [2].
207
dx
Пр и ме р 8.20. Вычислим интеграл ò 4 x3 (1- 6 x ).
4Подынтегральное выражение является биномиальным диффе-
ренциалом, в котором m = − |
3 |
, n = |
1 , |
|
|
p = −1 ¢, поэтому восполь- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
зуемся подстановкой x = tHOK (4,6) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
ò 4 3 |
|
dx |
|
|
|
|
|
= òx |
−3/4 |
(1- x |
|
) |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1- t |
|
|
) |
−1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
dx |
= ët |
= |
12 |
|
x û = òt |
−9 |
2 |
×12t |
11 |
dt = |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
|
|
|
ù |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
1- |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
æ |
|
1 |
æ |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
öö |
|
|
|
|
|
|
|
t -1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
=12 |
|
|
|
|
|
|
dt =12 |
|
ç |
-1- |
|
|
ç |
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
÷÷dt = -12t - 6ln |
|
|
|
|
|
|
+ C |
= |
||||||||||||||||
ò1 |
|
|
|
2 |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
- t |
|
|
|
|
è |
|
2 |
è t -1 |
|
|
|
t + |
1øø |
|
|
|
|
|
|
|
t + |
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= -1212 x - 6ln |
+ C.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пр и ме р 8.21. Вычислим интеграл òx1/3 (2 + x2/ 3 )3/ 4 dx . 4Подынтегральное выражение является биномиальным диффе-
ренциалом, в котором m = 1 , n = |
2 , p = |
3 ¢. Так как |
m +1 |
|
= 2 ¢, |
|||||||||||||||||||
n |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
то интеграл будем вычислять с помощью подстановки t4 = 2 + x2/ 3 . |
||||||||||||||||||||||||
Тогда x = (t4 − 2)3/ 2 , |
dx = 23 (t4 − 2)1/ 2 3t3dt . Следовательно, |
|
||||||||||||||||||||||
òx1/3 (2 + x2/3 )3/ 4 dx = ò((t4 - 2)3/ |
2 )1/ 3 (t4 )3/ 4 × 3 |
(t4 - 2)1/ 2 3t3dt = |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
9 |
ò(t4 - 2)t6dt = |
|
9 |
|
æ |
t |
11 |
|
|
t |
7 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
ç |
|
- 2 |
|
÷ + C.3 |
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
è 11 |
|
7 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пр и ме р 8.22. Вычислим интеграл ò |
æ |
|
|
3 |
|
|
|
ö−8/ 5 |
|
|||||||||||||||
ç 2 + |
|
|
|
|
|
÷ |
dx . |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x |
5 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
||||
4Подынтегральное выражение является биномиальным диффе- |
||||||||||||||||||||||||
ренциалом, в котором m = 0 , n = −5/ 2 , |
|
p = 7 / 2 , а значит, |
|
|||||||||||||||||||||
p ¢ , m +1 = - 2 Ï¢, m +1 + p = - |
2 - |
8 |
= -2΢. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
n |
5 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
208
Поэтому будем вычислять интеграл по третьему случаю:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t5 = 2x5/ 2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
t |
5 |
- 3 |
|
ö |
2/ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3, x = |
ç |
|
|
|
÷ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
æ t5 |
- 3 |
ö−3/5 |
|
5t4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
æ t5 |
- 3 |
ö−3/ 5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
× |
|
|
dt = t |
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
dt , |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
æ |
|
|
3 |
|
ö−8/ 5 |
|
|
æ |
|
|
|
|
|
3 ö−8/ 5 |
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
3× 2 |
|
|
|
ö−8/ 5 |
|
|
æ t5 |
- 3 |
ö8/5 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||
ç |
2 |
+ |
|
|
|
÷ |
|
= |
ç |
2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
= ç |
2 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
= |
ç |
|
÷ |
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
è |
|
|
|
x5 |
ø |
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
x5/ 2 |
ø |
|
|
|
èç |
|
|
|
|
|
5 - 3)ø÷ |
|
|
|
|
|
|
è |
2 |
ø |
t8 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
æ |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
ö−8/ 5 |
|
|
|
|
ò |
|
æ t5 |
- 3 |
ö8/5 |
|
1 |
|
|
4 |
æ t5 - 3 ö−3/5 |
|
|||||||||||||||||||||
Следовательно, |
ç |
2 + |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
dx = |
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
×t |
|
ç |
|
÷ |
dt = |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
t |
8 |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
ø |
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
t5 |
|
|
- 3 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 ò |
|
|
t4 |
|
dt = |
4 t |
|
|
+ |
|
+ C .3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t3 |
|
|
|
|
|
|
|
8.4.3. Интегрирование выражений вида R(x,ax2 + bx + c ).
Подстановки Эйлера |
|
||
Теорема 8.8. Интегралы вида |
|
||
òR(x, |
|
)dx , |
|
ax2 + bx + c |
(8.14) |
||
где a,b,c Î ¡, a ¹ 0, а квадратный трехчлен ax2 + bx + c |
не имеет |
кратных корней, сводятся к интегралам от рациональной дроби при помощи подстановок Эйлера:
|
|
|
|
|
|
|
, если a > 0; |
|
1) |
ax2 |
+ bx + c = ±t ± x |
|
a |
(8.15) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
ax2 |
+ bx + c = ±tx ± |
|
, если c > 0; |
(8.16) |
|||
c |
||||||||
|
|
|
= ±t (x - x1 ), если ax2+bx +c =a(x - x1 )(x - x2 ). (8.17) |
|||||
3) |
ax2 |
+ bx + c |
При этом в первой и второй подстановках комбинация знаков произвольна и определяется областью допустимых значений пере- менных x и t .
41. Докажем, что первая подстановка Эйлера (8.15) рациона-
лизирует интеграл от функции (8.14). Возводя в квадрат обе части равенства (8.15), получаем
ax2 + bx + c = t ± 2txa + ax2 .
209
Отсюда x = |
t2 - c |
= R1 (t), dx = R1¢(t)dt = R2 (t)dt, |
|||
|
|
|
|||
b m 2 at |
|||||
|
|
ax2 + bx + c = ±t ± R1 (t)a = R3 (t).
Таким образом,
òR(x, ax2 + bx + c )dx = òR(R1 (t), R3 (t )) R2 (t)dt = òR4 (t)dt .
2.Докажем теперь, что вторая подстановка Эйлера (8.16) ра-
ционализирует интеграл (8.14) .
Возводя в квадрат равенство (8.16), получаем
ax2 + bx + c =
x = b tm2 2tac = R1 (t),
-
ax2 + bx + c = ±
Следовательно,
x2t2 ± 2cxt + c .
dx = R1¢(t)dt = R2 (t)dt , c ± t R1 (t) = R3 (t ).
òR(x, ax2 + bx + c )dx = òR(R1 (t), R3 (t )) R2 (t)dt = òR4 (t)dt .
3.Для доказательства того, что третья подстановка Эйлера (8.17) рационализирует интеграл (8.14), возведем в квадрат равен-
ство (8.17):
|
|
|
|
t2 (x - x )2 |
= ax2 |
+ bx + c = a(x - x )(x - x ) , |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
t2 (x - x1 ) = a(x - x2 ). |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
-ax + x t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда x = |
|
|
2 |
1 |
|
= R (t) |
, dx = R¢(t)dt = R |
(t), |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
t |
2- a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
at (x1 |
- x2 ) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
-ax2+ x1t2 |
ö |
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ax |
+ bx + c = ±t (x |
- x1 ) = ±t ç |
|
|
|
|
- x1 ÷ |
= ± |
|
|
|
|
|
= R3 |
(t ). |
||||||
|
|
t |
2 |
- a |
|
t |
2 |
- a |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
òR(x, ax2 + bx + c)dx = ò R(R1 (t), R3 (t))R2 (t)dt = ò R4 (t )dt .3
З ам е ч ан и е 1 . Заметим, что для рационализации любого инте- грала вида (8.14) достаточно первой и третьей подстановок Эйлера.
Действительно, если квадратный трехчлен ax2 + bx + c имеет ком- плексные корни, то его знак совпадает со знаком a (а значит, a > 0) и тогда применима первая подстановка Эйлера. Если же квадратный
трехчлен ax2 + bx + c имеет действительные корни, то применима третья подстановка Эйлера.
210
|
З ам е ч ан и е |
2 . Если квадратный |
трехчлен |
|
|
|
ax2 + bx + c |
имеет |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
действительные корни x1 и x2 , то при a > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
ö |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x - x |
|
|
|
|
|
|
|
x - x |
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
+bx +c = a(x - x1 )(x - x2 ) = a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ax |
x - x1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
= R1 ç x, |
|
2 |
÷ |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x - x |
|
x |
- x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
R(x, ax2 + bx + c )= R1 |
|
|
|
x - x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ç x, |
|
÷. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
x - x1 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Аналогично для a < 0 получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ax2 + bx + c |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a(x - x1 )(x - x2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
- x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x - x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
= |
|
|
a |
|
× |
|
x - x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
= R1 ç x, |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
÷. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x - x |
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
x - x |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, если квадратный трехчлен ax2 + bx + c имеет дей- ствительные корни, то интегралы вида òR(x, ax2 + bx + c )dx сводят- ся к интегралам вида (8.13) от дробно-линейных иррациональностей.
З ам е ч ан и е 3 . Интегралы вида òR(x,ax + b,cx + e )dx сво-
дятся к интегралам вида (8.14) подстановкой t2 = ax + b .
4 x = t2 a- b , dx = a2 tdt , cx + e = ac t2 - cba + e = At2 + B .3
Пр и ме р 8.23. Вычислим интеграл ò |
|
dx |
. |
||
|
|
|
|
||
x + |
x |
2 |
+ x +1 |
||
|
|
|
4Поскольку квадратный трехчлен имеет комплексные корни и
a =1 > 0, |
сделаем |
первую подстановку |
Эйлера |
t = x2 + x +1 + x . |
|||||||||||||||||||||||
Тогда x = |
t2 -1 |
|
, dx = 2 |
t |
2 + t +1 |
dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2t +1 |
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t +1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ò |
|
|
dx |
|
|
|
|
= 2ò |
|
t2 + t +1 |
dt = 2ò |
dt |
- 3ò |
dt |
- 3ò |
|
dt |
= |
|||||||||
x + |
|
|
|
|
|
|
|
t(2t +1)2 |
t |
|
1+ 2t |
(1+ 2t)2 |
|||||||||||||||
x2 + x +1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
= 2ln | t | - |
ln | 2t +1| + |
|
|
|
|
|
+ C , |
t = |
|
x2 + x +1 + x .3 |
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
2(2t +1) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
211 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пр и ме р 8.24. Вычислим интеграл ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1+ |
|
|
1- 2x - x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4Так как c = 1 > 0, то можно применить вторую подстановку |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Эйлера 1- 2x - x2 |
= xt -1. |
|
|
|
|
|
|
2t − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Тогда -2x - x2 = x2t2 - 2xt , x = |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
t2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t2 |
- 2t |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
-2t2 |
+ 4t + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
dx = |
dt , 1+ 1- |
2x - x |
2 |
|
= 1+ xt -1 = xt = |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
t2 +1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом, |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= |
ò |
|
t2 +1 |
|
|
× |
|
-2t2 |
+ 4t + 2 |
dt = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
2 |
- 2t |
|
|
( |
|
|
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ 1- 2x - x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
-t2 |
|
+ 2t +1 |
|
|
|
|
|
é-1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
= ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
= òê |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
ú dt |
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
)( |
|
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
t - |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
ë t |
|
|
|
|
|
|
t -1 t +1û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= -ln |
|
t |
|
+ ln |
|
t -1 |
|
- 2arctgt + C, |
|
|
|
t = |
1+ 1- 2x - x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пр и ме р 8.25. Вычислим интеграл ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7x -10 - x2 |
|
|
|
4В данном случае a < 0 и c < 0 , поэтому ни первая, ни вторая
подстановки |
Эйлера неприменимы. Но |
квадратный |
трехчлен |
|||
7x -10 - x2 |
имеет действительные корни |
x |
= 2, x |
2 |
= 5, |
поэтому |
|
|
1 |
|
|
|
|
можно применить третью подстановку Эйлера: |
|
|
|
|
7x -10 - x2 = (x - 2)(5 - x) = (x - 2)t .
Тогда (5 - x) = (x - 2)t2 , x = |
5 + 2t2 |
; dx = |
−6t dt |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ t |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
7x -10 - x2 = |
|
|
(x - 2)(5 - x) |
|
= (x - 2)t = ç |
5 + |
2t |
- 2÷t = |
3t |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1+ t |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
1+ t |
ø |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Следовательно, при t = |
|
5 - x |
|
, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1+ t |
2 |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
5 + 2t |
|
-6t dt |
|
|
|
|
|
|
2 |
æ 5 |
|
|
ö |
|
|
|
|
2 æ 5 |
ö |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ò |
|
|
|
|
3 |
× |
|
|
2 |
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
= - |
|
òç |
|
|
+ 2 |
÷dt = |
|
ç |
|
- 2t ÷ |
+ C .3 |
||||||||||||||
( |
|
) |
|
|
|
|
( |
|
|
2 |
) |
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
3t |
|
|
|
1+ t |
|
|
|
|
+ t |
|
|
|
|
|
|
|
9 è t |
|
|
|
ø |
|
|
|
9 è t |
ø |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
212
8.4.4.Интегрирование квадратичных иррациональностей другими способами
Хотя подстановки Эйлера всегда рационализируют интеграл от функции (8.14), обычно эти подстановки приводят к весьма гро- моздким выкладкам. Поэтому на практике часто пользуются други-
ми способами интегрирования функций вида R(x,ax2 + bx + c ).
Функция R(x, |
|
|
) может быть представлена в виде: |
|||||
ax2 + bx + c |
||||||||
|
|
|
) = R (x) + |
|
R2 (x) |
|
||
R(x, |
ax2 + bx + c |
, |
||||||
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
ax2 + bx + c |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
где R1(x) и R2 (x) – некоторые рациональные функции. Интегриро- вание рациональных выражений было рассмотрено ранее, поэтому
перейдем к вычислению интеграла от функции |
|
R2 (x) |
|
. Выде- |
|
|
|
||
ax2 + bx + c |
ляя из рациональной функции R2 (x) целую часть – многочлен P(x)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R (x) = P(x) + |
|
S(x) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Q(x) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и раскладывая дробь |
S(x) |
|
в сумму простейших дробей, видим, что |
||||||||||||||||||||||||
Q(x) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 (x) |
|
|
|
||||||||
интегрирование функций |
|
|
|
|
|
приводит к вычислению ин- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
ax2 + bx + c |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
тегралов следующих типов: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
I. ò |
|
|
|
|
|
P(x) |
|
|
dx, P(x) – многочлен степени n . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
ax |
2 |
+ bx + c |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
II. |
ò |
|
|
|
|
|
|
Adx |
|
|
|
|
|
|
|
, a,b,c, γ, A ¡. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(x − γ) |
k |
|
ax |
2 |
|
+ bx + c |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
III. |
|
ò |
|
|
|
|
|
(Mx + N )dx |
|
|
|
, M , N ¡, многочлен x2 + px + q |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
(x2 + px + q)m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
ax2 + bx + c |
не имеет действительных корней.
Рассмотрим отдельно каждый случай.
213