Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю.Г. - Геодезия

наличия погрешностей исходных данных, ненадежности опре˝деле-

ния значений μ по формуле (14.24) при малом числе избыточных измерений r = ï – t. Принято считать, что при r > 20 апостеорные значения μ определяют достаточно надежно, а при r < 10 вычисле-

ние средней квадратической погрешности единицы веса ненадежно. Суммы [pυ2] могут быть вычислены тремя способами:

непосредственно

υ = υ + υ + + υ

âстолбцах υ è ðυ специальных таблиц;

âсхеме решения нормальных уравнений в соответствии с фор˝-

мулами

[pυ2] = [pllt] = [plst]

в столбцах l è s; по формуле

[pυ2] = [pll] + [pà1l]δõ1 + [pà2l]δõ2 + … + [pàtl]δõt.

После вычисления величины [p υ 2] определяют среднюю квад-

ратическую погрешность

которую используют для правильного округления погрешно˝стиμ. Из трех способов получения сумм [pυ2] первый наиболее прост.

Кроме того, по значениям поправок υ i можно судить о качестве

результатов уравнивания.

Второй и третий способы применяют только тогда, когда сум˝ма [p υ 2] получается с использованием свободных членов параметри˝-

ческих уравнений поправок.

Обратные веса уравненных значений j-х неизвестных вычисляют по формуле

ãäå Qjj — квадратичный весовой коэффициент.

Весовые коэффициенты получают из решения систем весовых˝ уравнений вида

ãäå i — номер системы уравнений; t — число неизвестных (весовых коэффициентов).

421

Символ Кронеккера определяют по формуле

Из каждой системы весовых уравнений (14.27) можно опреде-

ëèòü t весовых коэффициентов. Всех весовых коэффициентов бу-

äåò t2. Сравнивая системы весовых уравнений (14.27) с системой нормальных уравнений (14.21), видим, что их определители пол-

ностью совпадают. Поэтому весовые уравнения решают однов˝ре-

менно с нормальными и в той же последовательности, исполь˝зуя

одни и те же значения коэффициентов при неизвестных. При

этом следует иметь в виду, что в схемах решения нормальных˝ уравнений знак свободного члена берут из левой части урав˝нения.

Тогда свободные члены первой системы весовых уравнений б˝удут

иметь вид: –1, 0, …, 0; второй системы: 0, –1, 0, …, 0. Последняя

система будет иметь свободные члены: 0, 0, …, –1, т. е. в записи

свободных членов весовых уравнений соблюдается принцип˝ так называемой плавающей единицы.

Òàê êàê

то средние квадратические погрешности неизвестных полу˝чают

по формулам

Обратный вес функции уравненных величин вида F = f0 + f1x1 + + f2x2 + … + ftxt

находят по формуле

Среднюю квадратическую погрешность самой погрешности

вычисляют по формуле

422

=Тогда õ1 = 10 + δõ1; õ2 = 20 + δõ2.

5.Преобразуют параметрические уравнения поправок оконча˝тельно

υ1 = δx1 + 10 – 10; υ2 = δx2 + 20 – 20;

υ3 = –δx1 – δx2 – 10 + 20 + 36.

6. Рассчитывают веса результатов измерений.

Òàê êàê L1 = L2 = L3 = L, то, приняв k = L, получим

== =

7.Составляют нормальные уравнения в буквенном виде

8. Вычисляют уравненные значения неизвестных

õ1 = 10 + δx1 = 10 + 2 = 12 ìì; õ2 = 20 + δx2 = 20 + 2 = 22 ìì.

9. Вычисляют поправки к результатам измерений

υ1 = δx1 = +2 ìì; υ2 = δx2 = +2 ìì;

υ3 = –δx1 – δx2 + 6 = +2 ìì.

423

10. Вычисляют средние квадратические погрешности единицы ˝веса

Контроль: Q11 > 0; Q22 > 0; Q12 = Q21.

12. Выписывают обратные веса уравненных значений неизвест˝ных

= = = =

13. Составляют весовые функции и вычисляют обратные веса фу˝нкций уравненных значений неизвестных

14. Вычисляют средние квадратические погрешности неизвестных и их функций

= = μ = =

== =

Такие же значения будут и для остальных функций.

15. Вычисляют среднюю квадратическую погрешность на 1 км хо˝да

μêì = μ = 3,5 ìì 4 ìì.

424

14.4. УПРОЩЕННОЕ УРАВНИВАНИЕ ТИПОВЫХ ФИГУР ТРИАНГУЛЯЦИИ 2-го РАЗРЯДА

При изложении упрощенного уравнивания будем иметь в виду˝ только типовые фигуры триангуляции, для которых условные˝ уравнения могут быть разбиты на две или три группы так, что˝бы в

первой группе были уравнения с коэффициентами, равными ±1˝, во второй — только одно уравнение с коэффициентами ±qi, à â

третьей — два условных уравнения координат, если они име˝ют ме-

сто для уравниваемой сети.

Рассмотрим упрощенное уравнивание некоторых типовых фи˝-

гур: центральной системы, геодезического четырехугольни˝ка,

цепи треугольников между двумя сторонами исходной сети и˝ вставки пунктов в угол.

Центральная система. Рассмотрим центральную систему из N

треугольников (рис. 14.5, à). Этой системе будет соответствовать N + 2 независимых условий: N условий фигур (треугольников), ус-

ловие горизонта и полюсное условие. Рассмотрим эти услови˝я.

меренным углам (AR), (ÂR), (CR).

С учетом обозначений условие фигуры (условное уравнение

связи) можно выразить формулой

+ + = °

т. е. сумма уравненных углов треугольника должна быть рав˝на

180°.

Рис. 14.5. Центральная система (à) и пример вычисления первичных поправок в углы (á)

425

Тогда после некоторых преобразований условное уравнение по-

ãäå wR — свободный член (невязка) условного уравнения; wR = ÀR + BR + CR –180°.

Допустимое значение свободного члена не должно превышат˝ь

= β (14.34)

ãäå òβ — запроектированная средняя квадратическая погрешнос˝ть измерения угла в сети.

Для триангуляции 2-го разряда òβ = 10². Тогда

ловия горизонта состоит в том, что сумма уравненных углов˝ при центральной точке должна быть равна 360°, т. е.

+ + + = °

С учетом принятых обозначений после некоторых преобразо˝- ваний условное уравнение поправок горизонта получим в виде

Допустимое значение свободного члена не должно превышат˝ь

люсного уравнения состоит в том, что вычисленное по уравн˝енным связующим углам всех треугольников значение исходно˝й стороны, за которую принимают одну из связующих сторон, должн˝о быть равно ее исходному значению.

426

Для вывода этого условного уравнения берут произведение˝ всех уравненных связующих сторон и делят на произведение этих˝ же сторон, только записанных иначе

= (14.37)

Заменяют отношение сторон отношением синусов противоле˝- жащих углов

Это равенство и выражает полюсное условие для углов.

Приводят левую часть равенства (14.39) к линейному виду, разложив в ряд Тейлора по степеням поправок (AR), (BR), ограничив-

шись при этом членами с первыми степенями поправок. Извес˝т-

но, что разложение в ряд Тейлора имеет вид

ãäå (AR), (BR) — поправки в углы и ρ выражены в секундах.

427

Далее

Получают значения частных производных в выражении (14.41)

ния (14.28) равен 1. Поэтому частная производная по À1 будет рав-

на Но согласно математическому анализу в выражениях для

частных производных при разложении в ряд Тейлора функций˝ надо замениòь аргументы их начальными значениями, т. е. в д˝ан-

равно ctg A1. Аналогичные выражеíия можно получить и для остальных частных производных по

428

На основании тех же положений, что и для частных производ-

Тогда полюсное условное уравнение поправок в угловой мере îêîí-

ãäå wï — свободный член полюсного условного уравнения в углов˝ой мере;

Упрощенный способ уравнивания состоит в том, что поправки˝ находят не для всей системы, а для отдельных групп уравнен˝ий.

Разделим систему уравнений на две группы I и II и напишем все условные уравнения поправок к центральной системе.

I группа. Условные уравнения фигур

……………………………………………………………………………....................................................

bN (AN) + (BN) + (CN) + wN = 0.

(14.49)

429

Условное уравнение горизонта (только промежуточные углы˝)

br (C1) +(C2) + ……………….+ (CN) + wã = 0. (14.50)

II группа. Полюсное условное уравнение (только связующие

óãëû)

Применяя коррелатный способ уравнивания, находят первич˝- ные поправки из решения первой группы условных уравнений˝, а

затем вторичные — из решения второй группы. Полные попра˝вки будут равны сумме первичных и вторичных поправок.

Составляют нормальные уравнения коррелат для первой гру˝п- пы условных уравнений. Для этого на основании условных ур˝ав-

нений фигур b1, b2, …, bN (14.49) и условного уравнения горизонта br (14.50) составляют таблицу коэффициентов этих уравнений (табл. 14.5).

14.5. Коэффициенты условных уравнений фигур и горизонта

На основании формул (14.12) и значений коэффициентов условных уравнений b1, b2, …, bN, br (см. табл. 14.5) вычисляют коэффициенты нормальных уравнений коррелат

[b1b1] = 3,

[b1b2] = 0,…………………….........………, [b1br] = 1, [b2b2] = 3,……………..……………………., [b2br] = 1, ……..…………………………………………….

[bNbN] = 3, [bNbr] = 1, [brbr] = N.

430