П. 1.6. Теоремы сложения и умножения

Определение. Суммой или объединением двух событий A и B называется событие C, состоящее в появлении хотя бы одного из них.

Обозначают C = A + B, или C = , или C =(A или B).

Пример. Пусть A - событие, состоящее в том, что наудачу выбранная из стада корова имеет годовой удой от 3000 до 3500 кг, B - событие, состоящее в том, что выбранная корова имела удой свыше 3500 кг. Тогда событие C=A+B означает, что выбранная корова имеет удой свыше 3000 кг.

Нахождение вероятности наступления суммы двух событий основывается на следующей теореме.

1. Теорема сложения вероятностей. Вероятность наступления одного из двух несовместных событий равна сумме их вероятностей, т. е.

(1.6.1)

Доказательство. Пусть n - число всех возможных элементарных событий, при которых может наступить событие A или событие B. Пусть m_A - число равновозможных элементарных событий, благоприятных для A, m_B - такое же число для события B. Имеем

Очевидно, m_А + m_В-число элементарных событий, благоприятных для появления события или A, или B, так что

P(A или B)=P(A+B)==P(A)+P(B).

Теорема доказана.

Теорема сложения для большего числа попарно несовместных событий формулируется и доказывается аналогично:

P (A или, B или C) = P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C). (1.6.2)

Следствие 1. Если события A, B, C образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна 1.

Действительно, в результате испытания обязательно произойдет из этих событий (или B, или A, или C). Поэтому A + B + C - событие достоверное и

P(A+B+C)=1. (1.6.3)

Из (11.6.3) и (11.6.2) следует, что

P(A)+P(B)+P(C)=1.

Следствие 2. Сумма вероятностей двух противоположных событий A и равна1.

Противоположные события являются частным случаем событий, образующих полную группу, поэтому

(1.6.4)

(1.6.5)

В частности, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8, то вероятность промаха равна 1–0,8 = 0,2.

Пример. В ящике 4 белых, 5 красных, 8 зеленых и 3 голубых шара. Шары перемешивают и извлекают 1 шар. Какова вероятность события, состоящего в том, что шар окажется цветным?

Решение. Элементарными исходами являются события A = {извлечение белого шара}, B = {извлечение красного шара}, C - {извлечение зеленого шара}, D - {извлечение голубого шара}.

Интересующее нас событие состоит в появлении события B, или C, или D, т.е. события B+C+D. Так как события B, C, D - несовместны, то

2. Теорема умножения вероятностей.

Определение. Произведением или пересечением событий A и B называется событие C, состоящее в совместном наступлении этих событий, т. е. в наступлении и события A, и события B.

В случае произведения событий обозначают AВ = С или A∩В = С, или (А и В) = С.

Произведение нескольких событий определяется аналогично.

Дадим определение понятия условной вероятности.

Определение. Вероятность события B при условии, что событие A произошло, называется условной вероятностью события B и обозначается P(B/A) или P_A(B).

Аналогично определяется условная вероятность события A, обозначение P(А/В).

Пример 2. В стаде животных из 24 голов одной породы 4 животных не получили прививку. Наудачу последовательно, без возвращения отбирается два животных. Вероятность события A = {первому отобранному животному не сделана прививка}, т. е. P(А) = 4/24= 1/6. Вероятность события В= {второму животному не сделана прививка} при условии, что произошло событие А, Р (В) = 3/23.

Если же первое отобранное животное вернуть в стадо, то P(B) = 4/24=1/6.

В первом случае вероятность события В зависит от того, наступило событие А или нет, а во втором случае не зависит.

Определение. События A и B называются независимыми, если

P(B/A)=P(B) и P(A/B)=P(A)

Если Р(В/А)≠Р(В) или Р(А/В≠Р(А), то события А и В зависимы.

Теорема. Вероятность произведения двух событий, т. е. вероятность совместного наступления событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.

Доказательство. Пусть для события А благоприятны m_А равновозможных элементарных события из общего числа n элементарных исходов, причем m_АВ из этих m_А событий благоприятны для события В. Тогда по определению (1.5.1) имеем

Отсюда следует, что

P(AB)=P(A и B)=P(A)∙P(B/A). (1.6.6)

Теорема доказана.

Если события A и В независимы, то

P(A∙B) = P(A)∙P(B).

Вероятность совместного наступления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

Для вычисления вероятности совместного наступления большего числа событий, например трех, используют формулу

P(A₁A₂A₃)=P(A₁)∙P(A₂/A₁)∙P(A₃/A₁A₂),

где P(А₃/А₁А₂) - вероятность события А₃, вычисленная при условии, что события А₁ и А₂ уже произошли.

Пример 1. Всхожесть семян, предназначенных для посева, оценивается вероятностью в 98%. Вероятность попадания семян в благоприятные для прорастания условия равна 96%. Какой процент семян даст всходы?

Решение. Обозначим А₁ - событие = {семенной материал способен дать всходы}, А₂ = {семена попали в благоприятные условия}.

Событие С = {посеянные семена дадут всходы} состоит в совместном наступлении событий А₁ и А₂:

P(C) = P(A₁A₂) = P(A₁)∙P(A₂/A₁) = 0,98∙0,96 = 0,94.

Таким образом, взойдет 94% семян.