- •Содержание
- •Глава 1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей
- •Глава 2. Случайные величины
- •Введение
- •Элементы теории вероятностей.
- •Глава 1 Основные понятия и теоремы теории вероятностей.
- •П. 1.1. Предмет теории вероятностей.
- •П. 1.2. Общие правила комбинаторики.
- •П. 1.3. События и их классификация
- •П. 1.4. Относительная частота событий и ее свойства
- •П. 1.5. Вероятность события и его свойства
- •П. 1.6. Теоремы сложения и умножения
- •2. Теорема умножения вероятностей.
- •3. Теорема сложения вероятностей для случая, когда события совместны.
- •П. 1.7. Теорема полной вероятности. Формула байеса
- •П. 1.8. Задачи, приводящие к определению частоты появления события в независимых испытаниях. Формула бернулли
- •Муавра-лапласа
- •П. 1.10. Выводы
- •Глава 2 Случайные величины
- •П. 2.1. Примеры случайных величин, взятых из сельскохозяйственного производства
- •П. 2.2. Дискретная случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики
- •П. 2.3. Биномиальное распределение
- •П. 2.4. Распределение пуассона
- •П. 2.5. Непрерывная случайная величина. Интегральная функция (закон) распределения
- •П. 2.7. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
- •П. 2.8. Примеры, приводящие к понятию нормального распределения. Нормальное распределение
- •П. 2.9. Вероятность попадания
- •Нормально распределенной случайной
- •Величины в заданный интервал.
- •Правило трех сигм
- •П. 2.10. Понятие о законе больших чисел
- •П. 2.11. Выводы
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи и упражнения
- •Заключение
- •Список использованной литературы:
П. 2.7. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины, возможные значения которой принадлежат интервалу [a, b], называется определенный интеграл т.е.
М (Х) =(2.7.1)
Если возможные значения случайной величины принадлежат всей числовой оси, то
М (Х) =
при этом предполагается что интеграл существует.
По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины определяется дисперсия непрерывной случайной величины:
(2.7.2)
Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то
Свойства М(х) и D(x) формулируются так же, как и соответствующие свойства для дискретной величины.
Величину σx =называют средним квадратическим отклонением случайной величины или стандартом, σx имеет ту же размерность, что и сама случайная величина. Из формулы (12.7.2) нетрудно получить более удобные формулы для вычисления дисперсии, а именно:
(2.7.3)
(2.7.4)
Пример. Случайная величина х задана функцией распределения
Найдите: 1) коэффициент а; 2) М(Х); 3) D(X).
Решение. Используя формулу (2.6.4), получаем
П. 2.8. Примеры, приводящие к понятию нормального распределения. Нормальное распределение
Случайные величины, имеющие нормальное распределение, очень часто встречаются в земледелии и животноводстве, ветеринарии, инженерном деле и в других отраслях знания. Приведем примеры таких величин:
масса клубня картофеля;
масса одного зерна пшеницы некоторого сорта;
содержание жира в молоке, полученного от различных животных;
содержание кормовых единиц в суточном рационе шестимесячных телок;
масса животного некоторой породы на определенную дату;
погрешности измерений.
Для этих величин характерным является то, что на их формирование влияет большое число факторов, причем влияние каждого из них мало и ни один фактор не имеет значительного преимущества перед другими. Эти величины можно отнести к величинам, имеющим нормальный закон распределения, полагая, что их возможные значения не отрицательны.
Определение. Случайная величина X имеет нормальный закон распределения, если ее функция плотности вероятности имеет вид
(2.8.1)
где σ и а - параметры распределения.
График функции f (x) называется кривой нормального распределения. Методами дифференциального исчисления можно установить, что:
1) кривая симметрична относительно прямой х = а;
2) функция имеет максимум при х = а,
3) по мере удаления х от точки а функция убывает и при х → ± кривая приближается к оси Ох;
4) кривая выпукла при и вогнута прии при. График функцииf (x) имеет вид, изображенный на рис. 5.
Форма кривой изменяется с изменением параметра σ. С возрастанием σ функцияf (x) убывает, кривая становится более пологой и растянутой вдоль оси Ох.
Рис. 5
Значениям случайной величины, близким к математическому ожиданию, соответствует большая плотность вероятности, т. е. малые отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания встречаются более часто, чем большие.
Параметр а есть математическое ожидание случайной величины, а σ - среднее квадратическое отклонение.
Пример 1. Известно, что случайная величина X подчинена нормальному закону распределения, М(Х) = 6, σ2 = 9. Найдите функцию плотности вероятности.
Решение. Имеем а = 6, а = 3:
Пример 2. Известно, что случайная величина X подчиняется нормальному закону с функцией плотности вероятности
Найдите М(Х) и D(X).
Решение. Имеем M(X) = 15, D(X) = σ2 = 102 = 100.