Глава 2 Случайные величины

В этой главе рассматривается еще одно из важнейших понятий теории вероятностей - случайные величины. Основная цель главы - рассмотреть особенности случайных величин, законы распределения и показать, как их применяют на практике. Изложен закон больших чисел в обобщенной форме и для частного случая, в форме Бернулли.

П. 2.1. Примеры случайных величин, взятых из сельскохозяйственного производства

Рассмотрим следующие величины:

1. годовой удой от одной коровы в литрах;

2. число яиц, полученных от одной несушки за год;

1. продолжительность лактации данной коровы в днях;

3. число растений спелой ржи на 1м²;

4. глубина заделки семян при посеве;

5. масса одного растения к началу 10-й недели его развития;

6. процент жира в молоке;

7. количество осадков, выпавших в некоторой местности в июле месяце.

Что объединяет эти величины? Существует ли строгая закономерность, которой они подчинены? Можно ли заранее, до выполнения измерений или счета, указать, какое значение примет та или иная величина?

Отвечая на поставленные выше вопросы, можно сказать: закономерным для перечисленных величин является то, что их возможные значения принадлежат некоторым ограниченным числовым множествам, случайным же является то, что на этих множествах они могут принять любое значение. Утверждать заранее, что каждая из перечисленных величин примет наверное некоторое числовое значение, нельзя.

Определение. Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

Случайная величина связана со случайным событием. Если случайное событие - это качественная характеристика испытаний, то случайная величина - его количественная характеристика. Если при этом события независимы, то и соответствующие случайные величины также независимы.

Случайные величины делятся на 2 типа: дискретные и непрерывные.

Определение. Случайная величина называется дискретной, если все возможные значения изолированы друг от друга и их можно занумеровать [см. примеры 1) - 4)].

Определение. Случайную величину называют непрерывной, если все ее возможные значения заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал [см. примеры 5)- 8)].

Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита X, У, Z, а их возможные значения - соответствующими малыми буквами, т. е.; x₁, x₂, х₃, ..., х_n; у₁, у₂, у₃, ... , у_m; z_l, z₂, z₃, ..., z_k. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, равное х₁ или значение х₂, обозначают через p₁, р₂ и т. д., так что P(X = x₁) = p_l, Р(Х = х₂) = р₂ и т. д.

П. 2.2. Дискретная случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики

Определение. Законом распределения случайной величины называется соответствие, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Пример. Отмечено, что в некоторой местности в течение ряда лет в июне 30% дождливых дней. Составить закон распределения случайной величины X - числа дождливых дней в течение одной недели июня месяца. События, состоящие в том, что в 1-й день недели дождь, во 2-й день дождь, в третий день дождь и т. д., считать независимыми.

Возможные значения случайной величины X таковы: x₁ = 0, х₂ = 1, x₃ = 2, x₄ = 3, х₅ = 4, x₆ = 5, x₇, = 6, х₈ = 7.

Вероятности этих значений соответственно равны:

Закон распределения представим в виде следующей таблицы.

Таблица 2.1

X	0	1	2	3	4	5	6	7
Pi	0,0824	0,2472	0,3128	0,2263	0,0973	0,0250	0,0036	0,0002

Наибольшую вероятность имеет событие, состоящее в том, что на неделе будет два дождливых дня.

Числовые характеристики дискретной случайной величины. Закон распределения случайной величины полностью характеризует случайную величину. Наиболее важные свойства случайной величины, используемые при решении задач, характеризуются несколькими постоянными величинами - их числовыми характеристиками. Важнейшими из них являются математическое ожидание M(Х) и дисперсия D(X).

1. Математическое ожидание. Определение. Математическим ожиданием M(Х) дискретной случайной величины X называется сумма произведений каждого значения этой величины на соответствующую вероятность

(2.2.1)

Смысл математического ожидания можно уточнить, установив его связь со средним арифметическим значением. Положим, что испытание проведено N раз, при этом случайная величина X приняла значение x₁ m₁ раз, х₂ m₂ раз, ..., x_k m_k раз. Ясно, что

Термин «математическое ожидание» возник в связи с применением вероятностных методов в страховом деле, когда необходимо было определить ожидаемую (предполагаемую) величину выплат по страховым договорам. В практических задачах за математическое ожидание принимается среднее значение случайной величины.

Свойства математического ожидания случайной величины.

1 °. Математическое ожидание постоянной величины С равно самой постоянной величине.

Доказательство. Случайная величина будет постоянной, если она принимает одно значение, равное С, с вероятностью р=1. Тогда, по определению,

M (C) = C∙1=C. (2.2.2)

2°. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т. е.

M (CX) = CM (X) (2.2.3)

Доказательство. Возможные значения случайной величины СХ таковы: Сх₁, Сх₂, Сх₃, ..., Cx_k, а соответствующие вероятности следующие: р₁ р₂, p₃ …, p_k. Тогда

3°. Математическое ожидание случайной величины заключено между ее возможными наименьшим и наибольшим значениями.

Доказательство. Пусть а и b - соответственно наименьшее и наибольшее из всех возможных значений x₁, x₂, x₃, ..., x_k с вероятностями p_l, р₂, р₃, ..., p_k. Тогда

ap₁ + ap₂ + … + ap_k ≤ x₁p₁ + x₂p₂ + … + x_kp_k ≤ bp₁ + bp₂ + … + bp_k,

преобразуя, имеем

Так как p₁ + p₂ + … + p_k = 1, то

A ≤ M (X) ≤ b (2.2.4)

Приведем без доказательства еще два свойства.

4°. Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин ровно сумме математических ожиданий этих величин, т. е.

M (X+Y)=M (X)+M (Y) (2.2.5)

Замечание. Прежде чем перейти к рассмотрению следующего свойства случайных величин, сформулируем понятие независимости случайных величин.

Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения одной их них не зависит от того, какие значения приняла другая величина.

5°. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

M (XY) = M (X)∙M (Y) (2.2.6)

2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Еще одной важной характеристикой случайной величины является дисперсия. Дисперсия характеризует меру рассеяния возможных значений случайной величины около ее математического ожидания. Это очень важная характеристика. В приложениях теории вероятностей приходится сравнивать две однородные случайные величины. Из двух величин с равными математическими ожиданиями та считается «лучшей», которая имеет меньший разброс. За меру разброса можно было бы принять среднее значение абсолютных величин отклонений , но такая характеристика не всегда удобно и не дает хорошей оценки, так как большие отклонения становятся «мало ощутимы». Поэтому вычисляют отклонения возможных значений случайной величины отМ (Х), возводят их в квадрат, умножают на вероятности р_i и складывают полученные произведения.

Определение. Дисперсией D(X) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата разности между случайной величиной X и ее математическим ожиданием

D (X) = M (X – M (X))² (2.2.7)

Составим закон распределения случайной величины (X – М(X))² в виде табл. 2.2.

Таблица 2.2

(xi–M (X))2	(x1–M (X))2	(x2–M (X))2	(x3–M (X))2	…	(xk–M (X))2
pi	p1	p2	p3		pk

По определениям дисперсии и математического ожидания случайной величины получим

D (X) = M (X – M (X))²

или

D (X) = (2.2.8)

Для практического применения используют следующую формулу:

D (X) = M (X)² – (M (X))² (2.2.9)

Таким образом, дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом математического ожидания.

Свойства дисперсии.

1°. Если случайная величина X принимает только одно возможное значение С с вероятностью р=1, то D (X) = 0, т. е. дисперсия постоянной величины равна нулю.

Доказательство. Имеем

D (X) = D (C) = M (C–C)² = M (0) = 0 (2.2.10)

2°. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат,

D (CX) = C² D (X). (2.2.11)

3°. Дисперсия суммы или разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий

D (X±Y) = D (X) + D (Y) (2.2.12)

Доказательство. По формуле (2.2.9) получаем

D (X ± Y) = M (X±Y)² - [M (X ± Y)]².

Раскрывая скобки и используя свойства имеем

D (X ± Y) = M (X² ± 2 XY+Y²) – [M (X) ± M (Y)]² =

= M (X²) ± 2M (X) M (Y) + M (Y²) – (M (X))² ± 2M (X) M (Y) – (M (Y))² =

= M (X²) – (M (X))² + M (Y²) – (M (Y))² = D (X) + D (Y)

В случае суммы большего числа независимых случайных величин свойство формулируется аналогично.

Следствие. Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины

D(C+X) = D(X) (2.2.13)

Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины. Естественно желание иметь показатель рассеяния случайной величины той же размерности, что и размерность случайной величины. Для этого извлекают корень квадратный из дисперсии.

Определение. Корень квадратный из дисперсии случайной величины называется средним квадратическим отклонением и обозначается σ(Х) или σ_х:

(2.2.14)