П. 1.4. Относительная частота событий и ее свойства

Пусть проводится N испытаний, в каждом из которых может появиться или не появиться событие A. По завершении испытаний оказалось, что событие A наступило M раз.

Определение. Относительной частотой (частостью) события называют число

(1.4.1)

где M - число появлений события A, N-общее число проведенных испытаний.

Пример 1. Стрелок сделал 100 выстрелов по мишени и попал 90 раз. Пусть событие A = {попадание в мишень при одном выстреле}. Тогда

Пример 2. Посажено 70 плодовых деревьев, на другой год оказалось, что прижилось 50. Событие A - {посаженное дерево приживается}. Получаем

Свойства частости события.

1°. Частость события - величина безразмерная и изменяется на множестве

(1.4.2)

2°. Частость достоверного события равна 1.

3°. Частость невозможного события равна 0.

4°. Частость случайного события изменяется на множестве (0, 1).

Свойства 1° - 4° легко доказываются с помощью определения частоты и классификации событий. Так, например, пусть событие A достоверно. Это означает, что в серии из N испытаний оно наступило N раз

П. 1.5. Вероятность события и его свойства

Относительная частота зависит от случайных обстоятельств, сопутствующих испытанию. Назовем многократное повторение испытаний серий испытаний. При переходе от одной серии испытаний к другой, часто бывает, что для одного и того же события относительная частота P*(A) обнаруживает устойчивость, т. е. с возрастанием числа испытаний N в сериях колебания значений относительной частоты уменьшаются. Можно предположить, что существует постоянное число, от которого частости в разных сериях отклоняются в ту или другую сторону. Это число как количественная мера объективной возможности осуществления события при одном испытании принимается за статистическую вероятность.

Из этого определения следует, что частость события есть приближенное значение вероятности этого события, что используется в практических задачах. Если событие имеет большую вероятность по сравнению с другими, возможными в данном испытании, то оно и появляется чаще других.

Классическое определение вероятности события. Наблюдая или изучая какие-нибудь два или несколько событий, мы убеждаемся, что одни из них более возможны, чем другие, т. е. каждое событие обладает той или иной мерой возможности. Если каждому событию, возможному при испытании, ставить в соответствие некоторое положительное число, то логично приписывать большее число более возможному событию. Число, выражающее меру возможности события, называется вероятностью этого события.

Пример 1. Пусть имеется корзина с 25 клубнями картофеля, причем из них 5 имеют механические повреждения, нанесенные при уборке. Клубни перемешивают и берут один из них. Возможны следующие события:

A - {клубень взят без повреждений};

B - {клубень поврежден}.

Ясно, что возможность взять здоровый клубень больше, чем поврежденный, так как здоровых клубней больше. Числа ²⁰/₂₅ и ⁵/₂₅ показывают меру объективной возможности События A и события B и также называются их вероятностями.

Пусть в результате испытания может наступить конечное число n элементарных событий. Среди этих n событий имеется m таких, осуществление которых ведет к появлению события A. Эти m событий называют благоприятными для A.

Определение. Вероятностью события A называется отношение числа т равновозможных элементарных событий, благоприятных для A, к числу n всех возможных элементарных событий.

Вероятность события A обозначают P (A). Таким образом,

(1.5.1)

Пример 2. Брошена игральная кость. Найти вероятность события A = {выпало четное число очков}.

Решение. Элементарными событиями, благоприятными для A, являются события: А₁ = {выпадение 2 очков}, А₂ = {выпадение 4 очков}, А₃ = {выпадение 6 очков}. Всего таких событий 3.

Имеется шесть элементарных событий, n = 6, следовательно,

Пример 3. Найти вероятность события A = {выигрыш наибольшей суммы при игре в лото по 1 билету}, если для этого необходимо угадать 5 из 36 чисел.

Решение. При наличии одного билета имеется одно благоприятное для A элементарное событие = {все 5 чисел угаданы правильно}, т.е. m = 1

Число n всех элементарных событий равно числу всевозможных групп из 5 чисел, отличающихся хотя бы одним числом, т. е.

Приведем свойства вероятности события.

1°. Так как 0≤m≤n, то 0≤P(A)≤1, каково бы ни было по своей природе событие A.

2°. Если A-событие невозможное, то P(A) = 0.

3°. Если B - событие достоверное, то P(B) = 1.

Пример 4. В ящике 20 шаров, из них 12 белых, остальные голубые. Извлекают два шара.

Найти вероятности событий: A = {оба шара белые}.

Решение. Подсчитаем число всех элементарных событий, возможных при испытании, или число способов, которыми можно отобрать 2 шара из 20. Очевидно, что это

Тогда,

.