- •Міністерство освіти і науки україни
- •Розділ 1. Арифметичні основи обчислювальних машин
- •1.1. Позиційні системи числення. Переведення числа з однієї системи числення в іншу
- •1.2. Форма представлення чисел. Кодування чисел
- •1.3. Арифметичні операції над двійковими числами. Машинні одиниці інформації
- •Контрольні питання
- •Завдання
- •Розділ 2. Основи алгоритмізації обчислювальних процесів
- •2.1. Поняття і властивості алгоритму
- •2.2. Засоби представлення алгоритмів
- •2.3. Типи алгоритмічних процесів. Приклади
- •Контрольні питання
- •Завдання
- •3.1. Загальна характеристика програми
- •3.3. Кроки для створення та виконання програми
- •3.4. Змінні та константи
- •3.5. Директиви препроцесора
- •Контрольні питання
- •Розділ 4. Введення-виведення даних
- •4.1. Об’єкт виведення даних cout
- •4.2. Функція виведення даних printf
- •4.3. Об’єкт введення даних cin
- •4.4. Функція введення даних scanf
- •Контрольні питання
- •5.2. Операції відношення
- •5.3. Логічні операції
- •5.4. Додаткові операції
- •5.5. Порозрядні операції
- •Контрольні питання
- •Завдання Лінійний обчислювальний процес
- •1. Визначити значення функції y
- •2. Геометричні завдання
- •Розгалужений обчислювальний процес
- •1. Визначити значення функції y
- •3. Перевірити, чи міститься точка з заданими координатами усередині заштрихованої області.
- •Розділ 6. Організація циклів
- •6.1. Організація арифметичних циклів з використанням оператору for
- •6.2. Організація ітераційних циклів з передумовою while та післяумовою do...While
- •6.3. Оператори switch та goto
- •Контрольні питання
- •Завдання Арифметичний цикл
- •Вкладені цикли
- •Ітераційний цикл
- •Суміщення розгалуженого та циклічного процесів
- •Розділ 7. Зовнішні пристрої та символьне введення/виведення. Рядкові, числові функції та функції роботи з датою та часом
- •7.1. Загальна концепція та функції символьного введення-виведення
- •7.2. Символьні функції
- •7.3. Рядкові функції
- •7.4. Числові функції
- •7.5. Функції роботи з датою та часом
- •Контрольні питання
- •Завдання
- •Розділ 8. Вказівки, посилання та масиви
- •8.1. Вказівки
- •8.2. Посилання
- •8.3. Одновимірні масиви
- •8.4. Багатовимірні масиви
- •8.5. Символьні масиви
- •Контрольні питання
- •Завдання Одновимірні масиви
- •Двовимірні масиви
- •Розділ 9. Робота з функціями
- •9.1. Засоби створення функцій
- •9.2. Видимість змінних
- •9.3. Параметри функції та передача значень
- •9.4. Передача масивів в якості параметрів функцій
- •9.5. Функції та вказівки
- •9.6. Перевантаження та шаблони функцій
- •Контрольні питання
- •Завдання
- •Розділ 10. Рекурсивне програмування
- •10.1. Основні поняття рекурсії. Визначення факторіалу числа
- •10.2. Приклади рекурсій
- •Контрольні питання
- •Розділ 11. Робота з файлами
- •11.1. Робота з текстовими та бінарними файлами
- •Можливі режими доступу
- •11.2. Довільний доступ у файлах
- •11.3. Файли потокового введення/виведення з використанням структури file.
- •Контрольні питання
- •Завдання
- •Розділ 12. Структури
- •12.1. Загальна характеристика структури
- •12.2. Масиви структур
- •12.3. Використання масивів, як елементів структур
- •3. Робота зі структурами є універсальною, передбачено додавання записів до файлу (флаг ios:app). Для підрахунку кількості структур на диску приведемо наступні рядки програми:
- •Контрольні питання
- •Завдання
- •Розділ 13. Об’єднання та інші типи даних. Обробка виключних ситуацій
- •13.1. Об’єднання
- •13.2. Перелічені типи даних (enum)
- •13.3. Бітові поля
- •13.4. Обробка виключних ситуацій
- •Контрольні питання
- •Розділ 14. Динамічні структури даних
- •14.1. Стек
- •14.2. Черга
- •14.3. Лінійний список
- •Контрольні питання
- •Завдання
- •Розділ 15. Типові методи сортування масивів
- •15.1. Бульбашкове сортування (bubble sort)
- •15.2. Сортування за допомогою вибору (choice sort)
- •15.3. Сортування вставками (insert sort)
- •15.4. Сортування Шелла
- •15.5. Швидке сортування (quick sort)
- •Контрольні питання
- •Завдання
- •Розділ 16. Чисельне диференціювання та інтегрування
- •16.1. Методи правих та центральних різниць чисельного диференціювання
- •16.2. Методи прямокутників, трапецій, Сімпсона (парабол) чисельного інтегрування
- •Контрольні питання
- •Завдання Чисельне диференціювання
- •Чисельне інтегрування
- •Розділ 17. Чисельні методи розв’язання алгебраїчних рівнянь
- •17.1. Метод половинного ділення (дихотомія)
- •17.2. Метод Ньютона (метод дотичних)
- •17.3. Метод Рибакова
- •Контрольні питання
- •Завдання
- •Розділ 18. Чисельні методи розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь
- •18.1. Визначник. Дії над матрицями. Обчислення оберненої матриці
- •18.2. Метод оберненої матриці.
- •18.3. Метод Крамера
- •18.4. Метод Гауса
- •Контрольні питання
- •Завдання
- •1. Розв’язати систему алгебраїчних рівнянь.
- •2. Обчислити добуток матриць.
- •3. Розв’язати матричні рівняння.
- •Список літератури
17.3. Метод Рибакова
Метод Рибакова призначений для визначення всіх дійсних коренів рівняння f(x) = 0 на відрізку [а, b]. Для збіжності цього методу достатньо, щоб f(x) була безперервною, а похідна цієї функції обмежена на всьому відрізку [а, b]. Потрібно визначити M > max|f'(x)| на цьому відрізку. Відмітимо, що завищення M не порушує збіжності методу, а тільки уповільнює її. Як початкове наближення вибирається лівий кінець відрізку – x0 = а. Для кожного n обчислюють чергове наближення за формулою:
xn+1 = xn + |f(xn)|/M.
При цьому перевіряється умова xn+1<b. Якщо вона не виконана, то вважається, що всі корені знайдені, інакше продовжують обчислення, перевіряючи нерівність: |f(xn)|<e.
Якщо нерівність виконана, то вважають, що xn черговий корінь рівняння f(x). Далі вважають xn+1 = xn + e та продовжують процес знаходження коренів за формулою. Таким чином знаходяться всі дійсні корені без урахування їх кратності. Цей метод нагадує модифікований метод Ньютона. Слід відмітити, що збіжність методу Рибакова достатньо повільна.
Наведемо фрагмент програми реалізації методу Рибакова на прикладі рівняння x2 + 5x + 6 = 0 (проміжок пошуку коренів [-1000; 1000]).
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
#include <conio.h>
double func(double x)
{
return x*x + 5*x + 6;
}
double difer(double x,double h)
{
return (func(x+h)-func(x-h))/(2*h);
}
// Розв’язання рівняння методом Рибакова
// (знаходження всіх дійсних коренів)
void main()
{
double a,b,h,x,y,y1,m,eps,difa,difb;
a = -1000;
b = 1000;
eps = 0.00000001;
h = eps;
// Знаходження максимального модулю похідної
// на заданому відрізку
difa = fabs(difer(a,h));
difb = fabs(difer(b,h));
m = (difa>difb)?difa:difb;
m++;
//////////////////////////////
x = a;
do
{
y = func(x);
y1 = difer(x,h);
if(fabs(y1)>=m)
{
cout<<"\nПерша похідна функції повинна бути менше m по модулю !";
getch();
exit(0);
}
if(fabs(y)<eps)
{
cout<<"\nКорінь рівняння x="<<x;
x+=10*eps;
y=func(x);
}
x+=fabs(y/m);
}while(x<b);
getch();
}
Важливим у даному фрагменті є вибір максимальної похідної на заданому відрізку (величина m). У якості варіанта запропоновано знайти максимальне значення похідної по абсолютній величині на кінцях відрізку.
Результат виконання програми:
Корінь рівняння x = -3
Корень рівняння x = -2
Контрольні питання
Які ви знаєте чисельні методи розв’язання алгебраїчних рівнянь?
Розкрийте сутність методу половинного ділення розв’язання алгебраїчних рівнянь. Наведіть фрагмент програми.
Розкрийте сутність методу Ньютона розв’язання алгебраїчних рівнянь. Наведіть фрагмент програми.
Розкрийте сутність методу Рибакова розв’язання алгебраїчних рівнянь. Наведіть фрагмент програми.
Завдання
Скласти програму розв’язання алгебраїчних рівнянь за допомогою чисельних методів. Проміжки знаходження кореня рівняння та величину помилки обрати самостійно.
Варіанти індивідуальних завдань
Розв’язати рівняння , використовуючи метод половинного ділення.
Розв’язати рівняння , використовуючи метод Ньютона.
Розв’язати рівняння , використовуючи метод Рибакова.
Розв’язати рівняння , використовуючи метод половинного ділення.
Розв’язати рівняння , використовуючи метод Ньютона.
Розв’язати рівняння , використовуючи метод Рибакова.
Розв’язати рівняння , використовуючи метод Рибакова.
Розв’язати рівняння , використовуючи метод половинного ділення.
Розв’язати рівняння , використовуючи метод Ньютона.
Розв’язати рівняння , використовуючи метод Рибакова.
Розв’язати рівняння , використовуючи метод половинного ділення.
Розв’язати рівняння , використовуючи метод Ньютона.
Розв’язати рівняння , використовуючи метод Рибакова.
Розв’язати рівняння , використовуючи метод половинного ділення.
Розв’язати рівняння , використовуючи метод Ньютона.
Розв’язати рівняння , використовуючи метод Рибакова.
Розв’язати рівняння , використовуючи метод Рибакова.
Розв’язати рівняння , використовуючи метод половинного ділення.
Розв’язати рівняння , використовуючи метод Ньютона.
Розв’язати рівняння , використовуючи метод Рибакова.
Розв’язати рівняння , використовуючи метод половинного ділення.
Розв’язати рівняння , використовуючи метод Ньютона.
Розв’язати рівняння , використовуючи метод Рибакова.
Розв’язати рівняння , використовуючи метод половинного ділення.
Розв’язати рівняння , використовуючи метод Рибакова.