7.2. Аумалы күш. Эйлер формуласы

Сығушы күштің шамасы аумалы күшке теңелгенде арқалық орнықтылығын жоғалтпай, шамалы иіліп, талғаусыз тепе-теңдік күйде болады (7.2, а-сурет).

Ию моментінің таңбалары туралы ереже бойынша, иілгенарқалықтың дөңес жағы жоғары жатса, оның қималарындағы ию

7.1-Сурет

моменттері теріс, иілу мөлшерлері оң таңбалы, ал дөңес жағы төмен жатса, ию моменті оң, иілу мөлшері теріс таңбалы.

Олай болса, координаты -ке тең. арқалықтың қимасындағы ию моменті

. (7.01)

Арқалық серпімді деформацияланады деп, серпімді сызығының, дифференциалдық тендеуін құрайық:

немесе (7.02)

Енді (7.03)

деп белгілейік. Сонда 7.02 теңдеуін келесі түрде жазуға болады.

(7.04

Бұл сызықты дифференциалдық. теңдеудің шешімі

Мұндағы А және В — тіректердегі келесі шарттарды қанағаттандыратын интегралдық тұрақты шамалар.

болса, ,z = l болса, у=0

Бірінші шарт бойынша А=0, өйткені cos sin= 0. Олай болса,

(7.05)

Екінші шарт бойынша . Егер= 0 болса, ондаарқалықтың кез келген қимасындағы иілу мөлшері нөлге тең болғаны. Бұл шешім есептің бастапкы шартына қайшы, сондықтан ,, яғниосыдан

немесе (7.06)

Алынған 7.03, 7.06 теңдіктерін салыстырып

екенін көреміз.

Сығылған арқалық орнықтылығын ең кiшi қатаңдық жазықтығында жоғалтады, олай болса , яғни

. (7.07)

Енді стреженьнің орнықты тепе-тендік күйінен ауытқуына сәйкес, аумалы күштің ең кіші мәнін табайық..

болса .

Бұл шешім есептің бастапқы шартына қайшы, демек аумалы күш болғанда өзінің ең кіші мәніне ие болады

(7.08)

Бұл формуланы 1744 жылы Петербург академиясының академигі Л.Эйлер формуласы деп атайды. Егер 7.05, 7,06 теңдеулерін бірге қарастырсақ, сығылған арқалықтың серпімді сызығы келесі теңдеумен өрнектеледі:

болса яғни

(7.09)

Соңғы теңдеуден бойынша туынды алып, нөлге теңестірейік

мұндағы олай болса,

Косинустың ең кіші мәніне сәйкес аргумент болғандықтан,

осыдан (7.10)

болғанда z=l/2. Демек, талғаусыз күйдегі қос тіректі

арқалықтың серімді сызығы синусоиданың жарты толқынына сәйкес келеді, ең, үлкен иілу мөлшері ортасында жатады (7.2,а-сурет).

болса болса,. Яғни, тірек аралығындағы синусоидалық жарты толқындардың саны -ге тең (7.2,б,в-сурет).

7.3. Tipek түрлерінің аумалы күш шамасына әсері

Талғаусыз күйдeгі топсалы қос тipектi арқалықтың серпімді сызығы синусоиданың жарты толқынымен сәйкес келеді (7.3 а-сурет).

Енді, басқа тіректермен бекітілген арқалықтарды қарастырайық. Бip ұшы қатаң, бекітілген аркалықтың екінші ұшында, шамасы аумалы күшке тең, бойлық күш әсер етсін. Бұл арқалықтың серпімді сызығы, талғаусыз күйдегі топсалы қос тipeкті, ұзындығы 2-ге тең арқалықтың серпімді сызығының жартысына сәйкес келеді (7.3 а, б-сурет). Олай болса, қарастырылған арқалықтың аумалы күші, ұзындығы 2-ге тең топсалықос тipeктi арқалықтың аумалы күшіне тең.

(7.11)

Енді екі ұшы қатаң бекітілген, талғаусыз күйдегі арқалықты қарастырайық. Арқалықтың серпімді сызығы, синусоиданың

ең жарты толқынына сәйкес келеді (7.3, в-сурет). Талғаусыз күйдегі қос тipeктi аркалықтың серпімді сызығымен салыстырып,

(7.12)

екенін көреміз (7.3 а, в-сурет).

Дәл осылай бip ұшы қатаң ал екінші ұшы топсалы тірекпен бекітілген талғаусыз күйдегі арқалықтың аумалы күшін табамыз (7.3 а, г-сурет).

(7.13)

Талғаусыз күйдегі тipeктepi әр түрлі стерженьдердің аумалы күштерін анықтайтын, Эйлер формулаларын жалпы түрге келтіруге болады

(7.14)

мұндағы: —стерженьнің ұзындығы,— тіректердің түрлерінебайланысты қабылданатын, келтірілген ұзындық коэффициенті, — стерженьнің, келтірілген ұзындығы.

Келтірілген ұзындық деп аумалы күші, берілген стерженьнің аумалы күшіне тең, топсалы қос тipeктi стерженнің ұзындығын айтады.