6.6.Tik кернеуді анықтау

Ию моменті - арқалықтың көлденең қимасындағы ішкі тік кернеулердің қорытынды моменті. Тік кернеулердің шамасы мен қима бетіндегі таралу заңдылығын анықтау үшін, таза иілген арқалықты қарастырайық (6.6 а-сурет).

Есептің статикалық жағы. Таза иілген арқалықтың кез келген көлденең қимасында ию моментінен басқа ішкі күштер нөлге тең. Ию моменті

6.6-Сурет

ішкі күштердің қорытынды моменті болғандықтан, көлденең қимада (т - т) жатқан кез келген нүктеде тек қана тік кернеу әсер етеді. Қима жазықтығынан бөлініп алынған шексіз кіші аудандағы (dF) кернеулердің қорытынды күші мен У және X өсіне қарағандағы моменттерін анықтайық (6.6, б-сурет).

dN = G dF, dM_x = у dF, dM_y = xdF, осыдан

Аралықтың таза иіліп деформацияланғанда

демек,

. (6.09)

Статикалық теңдіктер кернеудің шамасы мен қима бетіндегі таралу заңдылығын анықтауға жеткіліксіз. Соңдықтан, есеп бip рет статикалық анықталмаған.

Есептің геометриялық жағын қарастырайық. Ол үшін, берілген арқалықтың бетіне, бойлық өске параллель және көлденең сызықтар жүргіземіз (6.7, а-сурет). Деформацияға дейінгі т - т, п - п түзу сызықтары деформациядан кейін өзара d()бұрышына бұрылып, түзу күйінде қалады. Демек, деформацияға дейінгі жазық қималар деформациядан кейін де арқалықтың бойлық талшықтарына перпендикуляр жазық күйінде қалады.

Деформацияға дейін арқалыктың өзара теңab, dc, ef талшықтары

6.7-Сурет

деформациядан кейін шеңбер доғасы бойынша иіліп, ef қысқарады (сығылады) да, ab ұзарады (созылады), ал dc талшығының ұзындығы өзгермейді (6.7, б-сурет). Арқалықтың ұзындығы өзгеріссіз қалатын

талшықтарының геометриялық орны бейтарап жазықтық деп, ал бейтарап жазықтықтың кез келген көлденең қимамен қиылысу сызығы, қиманың бейтарап сызығы деп аталады (6.7, в-сурет).

Деформациядан кейін бейтарап жазықтықта жатқан dc талшығы радиусы -ге тең, алab талшығы радиусы -ке тең доғаларға айналады. ab талшығының салыстырмалы созылуы

мұндағы ab₁=ал ab = dz, болғандықтан

(6.10)

Бейтарап жазықтықта жатқан dc=dz талшығы деформациядан кейін шеңбердің доғасы бойынша иіліп, ұзындығы өзгермейді

(6.11)

Олай болса, 6.10 теңдігін 6.11 теңдігіне еңгізіп

(6.12

екенін көреміз.

Яғни, талшықтың салыстырмалы бойлық деформациясы оның бейтарап өске дейінгі ара қашықтығына тура пропорционал.

Енді есептің физикалық жағын қарастырайық. Жанама кернеулердің жұптық заңы бойынша көлденең қимада жанама кернеу жоқ болғандықтан, ол бойлық қималарда да жоқ. Соңдықтан, бойлық талшықтар өзара әсерлеспейді деп қарастыруға болады. Олай болса, аb талшығы сызықтық кернеулі күйде. Сызықтық кернеулі күй үшін Гук заңы а=Е.

Енді синтез жасайық Гук заңына 6.12 теңдігін енгізіп

(6.13)

кернеу қима биіктігінде қарастырылған нүкте мен бейтарап өстің ара қашықтығына (у) тура пропорционал өзгеретінін көреміз. Бейтарап өсте жатқан нүктедегі кернеулер нөлге тең, ал қиманың ең жоғарғы және ең төменгі нүктелерінде ең үлкен кернеулер әсер етеді (6. 16-сурет).

Статикалық 6.09-теңдеуге 6.13-теңдікті енгізіп

ал теңдіктегі интеграл қиманыңХ өске қарағандағы өстік инерция моменті екенін ескерсек,

(6.14)

Мұндағы: ЕI_x-арқалықтың қатандығы,арқалықтың қисықтығы.

Гук заңынан (6.13)

(6.15)

яғни

немесе (6.16)

Соңғы формула таза иілген арқалықтың көлденең қимасында жатқан кез келген нүктедегі тік кернеуді анықтауға мүмкіндік береді.

Енді, 6.16 формуласын 6.09 -теңдеулеріне кезекпен енгізейік

1. болғандықтан.

Бұл интеграл - қиманың бейтарап өске қарағандағы статикалық моменті. Статикалық момент нөлге тең болғандықтан, бейтарап өс қиманың ауырлық центрі арқылы өтіп, X өсімен сәйкес келеді.

2. алболғандықтан

Бұл интеграл - қиманың X, У өстеріне қарағандағы центрден тепкіш инерция моменті. Центрден тепкіш инерция моменті нөлге тең болғандықтан X, У өстері басты, ал сыртқы момент басты У өсі арқылы ететін жазықтықта әсер етуі тиіс. Демек, жазық иілуде У өсімен сәйкес келетін сыртқы күштердің әсер ету сызығы мен бейтарап сызық өзара перпендикуляр.

Теориялық және тәжірибе жүзіндегі зерттеулердің нәтижелеріне қарағанда, 6.16 -формуланы көлденең жазық иілген арқалықтар үшін де қолдануға болады.