Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Modul_II

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
2.6 Mб
Скачать

D(y): x E(y): y [0; )

D(y): x E(y): y

1.2 Кубическая парабола

,

1.3 ,

a) ,

1 y 2kx x 2k

D(y): x [0; ) E(y): y [0; )

1.4

b)

1

y 2k 1 x x 2k 1

D(y): x E(y): y

11

1. n 2k ,

2. n 2k 1 ,

 

y

1

x 2k

y

1

x(2k 1)

 

x 2k 1

 

x2k

 

 

D(y): x ( ;0) (0; )

D(y): x ( ;0) (0; )

E(y): y (0; )

E(y): y ( ;0) (0; )

2. Показательная функция:

где – основание показательной функции

,

a) При a 0;1 функция является убывающей:

b) При

функция является возрастающей:

12

3. Логарифмическая функция.

где a 0;1 1; основание логарифмической функции

1. При a 0;1 функция является убывающей:

2. При a 1; функция является возрастающей

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

1.

loga (xy) loga x loga y ;

 

 

 

(2k 1)log a x при n 2k - 1

 

log a x n 2klog

 

 

x

 

при n 2k

;

 

 

 

 

3.

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.loga xy loga x loga y ;

4. loga b

logcb

формула

logca

 

 

перехода к новому основанию

13

loga N

1

;

 

log Na

 

 

5. log a n x loga x n ;

6. loga a n n ;

7. log a 1 0 ;

4. Тригонометрические функции.

4.1

,

4.2

,

4.3

;

8.log10x lg x ;

9.a log a N N ;

10.log ex ln x .

14

4.4

;

Таблица значений тригонометрических функций в первой четверти.

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x)

 

6

 

 

 

4

 

 

 

 

3

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

0

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

1

2

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

cos x

1

 

3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

0

2

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg x

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

Лекция № 14. Тема 2 : Пределы

14.1Функции целочисленной переменной. Числовые последовательности.

1. Определение и примеры. До сих пор мы рассматривали переменную как величину, непрерывно пробегающую все значения в некотором интервале.

Однако в математике часто встречаются и величины, зависящие только от натурального числа, номера n , который может принимать значения 1, 2, 3, . . .

Такую величину называют функцией целочисленной (натуральной) переменной, или числовой функцией, или же функцией индекса, рассматривая целочисленную независимую переменную как номер или индекс (указатель). Смысл этого понятия мы лучше всего поймем на примерах.

Сумма первых n целых чисел

 

является

 

функцией от п.

 

 

Аналогично, сумма квадратов первых n целых чисел

 

 

тоже является функцией натуральной переменной n

Функцию целочисленного аргумента обычно представляют в виде

числовой последовательности.

Числовой последовательностью называется

бесконечная совокупность чисел

 

, следующих друг за

другом по какому-нибудь закону,

определяющему

как функцию индекса п.

Другими словами, здесь мы имеем функцию натурального аргумента п. Единственная разница состоит в том, что вместо символа u(n) пользуются индексным обозначением uп. Сокращенно числовую последовательность

записывают в виде .

2. Понятие предела последовательности чисел.

Понятие предела последовательности принадлежит, наряду с понятием функции, к числу основных понятий математического анализа. Разъясним этот вопрос сначала на нескольких примерах.

П 1. Рассмотрим последовательность чисел

 

, сведенную в таблицу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

1

 

2

3

 

10

 

100

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

0,01

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Все числа этой последовательности отличны от нуля, однако чем больше индекс

п, тем меньше число

отличается от нуля и эта последовательность убывает,

 

16

неограниченно приближаясь к нулю (

).

В математике мерой близости

двух чисел a и b является

величина

.

Поэтому неограниченное

приближение последовательности (1) к нулю означает, что величина

по

мере роста n становится все меньше и меньше,

и может стать меньше любого,

сколь угодно малого положительного числа. Легко показать, что для

 

отклонение членов последовательности от предела

 

, для

 

 

 

 

 

а для

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Действительно, т.к.

 

 

 

 

 

 

,

то

неравенство

 

 

 

 

 

 

 

приобретает вид

 

 

 

 

для

 

 

 

 

члены последовательности

.

 

 

 

 

 

 

 

Остальные соотношения получаются аналогично.

 

 

 

 

 

 

Таким образом, каким бы малым было число

 

, найдется такой номер

, что для членов последовательности

с

номерами

будет

выполняться неравенство

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометрически это означает, что если мы рассмотрим какую-либо

 

окрестность нуля, то, какой бы малой ни была эта окрестность, все числа

 

рассматриваемой последовательности, начиная с некоторого номера N,

 

попадают в эту окрестность.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это свойство данной последовательности мы выражаем так: числа

при

возрастании п стремятся к 0 (

 

 

 

 

при

 

),

или последовательность

чисел

сходится к 0, или же: имеют своим пределом (limes) нуль.

Наглядно это означает, что если изображать числа точками числовой прямой, то точки при возрастании п все плотнее и плотнее скопляются у предельной

точки нуль.

Совершенно таким же образом ведут себя числа последовательности

 

,

,

, …,

, .. .

И здесь числа

при возрастании п стремятся к нулю;

различие заключается

только в том, что эти числа попеременно то больше, то меньше своего предела, или что они, как говорят, колеблются вокруг своего предела 0. Символически

сходимость последовательности чисел

к нулю записывают равенством

 

(1)

Для удобства вычислений запишем (1) в виде подстановки в

17

последовательность предельного значения . Такая запись

приводит к важному соотношению –

3. Определение сходимости.

Обобщая рассмотренные ранее примеры, мы приходим к следующему общему

определению понятия предела:

 

 

df. Если задана бесконечная последовательность чисел

и

существует такое число A, что в любой, сколь угодно малой окрестности

A,

содержатся все числа

, за исключением, быть может, конечного их числа,

то говорят, что число A является пределом данной последовательности или

что последовательность

сходится к пределу A.

 

 

Необходимо подчеркнуть, что это общее определение включает также и

тот тривиальный случай,

когда все числа

равны между собой

и,

следовательно, совпадают со своим пределом A.

Только что данному определению можно придать и следующую, эквивалентную, формулировку, общепринятую в математике:

df 1. Число A называется пределом числовой последовательности , е сли для любого, сколь угодно малого положительного числа существует такое

натуральное число

что

для

всегда

.

 

 

 

 

.

 

 

 

 

Символически это записывается как:

.

 

 

 

Вычислим

предел

последовательности

при

. Очевидно

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Докажем теперь, что

 

. Для этого зададим сколь угодно

малое число

(

 

и составим неравенство

 

 

. Разрешим

последнее выражение относительно n:

 

 

, т.к.

 

 

. Полагая

 

 

– целая часть числа

, получим, что для

 

выполняется

 

 

, для любого, сколь угодно малого числа

 

– что и

доказывает

 

 

.

 

 

 

 

 

 

Естественно, что чем меньшим выбрано число , тем большее значение

придется выбрать для целого числа

;

другими словами,

будет возрастать

безгранично, если стремится к нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

Несходящаяся числовая последовательность называется расходящейся, если с возрастанием п числа безгранично возрастают, пробегая положительные значения, то говорят, что последовательность расходится к + ∞.

df 2. Числовая последовательность называется расходящейся при

,если для любого, сколь угодно большого положительного числа M

существует такой номер

, что для всех номеров

все члены числовой

последовательности

 

 

 

 

 

,

и пишут:

или

, если

.

 

 

 

Аналогично пишут

 

или

, если при возрастании п числа

 

 

безгранично возрастают в положительном направлении.

 

 

 

П 2. Покажем, что у последовательности

 

 

 

.

 

 

Зададим число

 

и составим неравенство

для нашей

последовательности:

 

 

 

 

. Тогда, полагая

 

 

 

 

 

 

, получаем, что для

выполняется неравенство

– что и

требовалось доказать.

Замечание. Расходимость может происходить и другим путем, как, например, у последовательности , , , , члены которой принимают поочередно два различных значения и совершают колебания от одного значения к другому и обратно.

Еще одно важное замечание: поведение последовательности в отношении сходимости не изменится, если удалить из нее конечное число членов . В дальнейшем мы этим будем часто пользоваться, ставя, например, вопрос о сходимости или расходимости таких последовательностей, в которых члены для конечного числа значений п вообще не определены.

Полезно запомнить, что из определения предела последовательности непосредственно вытекают следующие свойства:

С1. Предел постоянной равен этой постоянной.

С2. Если последовательность имеет предел, то он единственный. С3. Если последовательность имеет предел, то она ограничена. С4. Не любая последовательность имеет предел.

С5. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Замечание. Во всех рассмотренных примерах дело обстояло так, что пределом изучаемой последовательности являлось уже известное нам число. Если бы понятие предела не давало ничего другого, кроме указания на возможность приближенно выражать с какой угодно точностью некоторые известные числа с помощью последовательности других известных чисел, то это понятие не принесло бы много пользы. Плодотворность понятия предела в анализе определяется в значительной степени тем, что пределы последовательностей известных чисел порождают новые числа, до этого не известные или не допускающие другого представления.

19

Весь математический анализ дает сплошную цепь примеров, подтверждающих этот факт, который нам станет в дальнейшем все яснее и яснее. Представление иррациональных чисел в виде пределов рациональных чисел можно рассматривать как первый пример. С другими примерами мы познакомимся позже.

14.2 Предел функции непрерывного аргумента.

 

 

 

 

 

 

1. Предел функции при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перейдем к функции непрерывного аргумента. Возьмем

 

и

 

посмотрим, как ведет функция при возрастании ее аргумента.

 

 

Для этого составим таблицу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

1

1,5

2

2,5

3

 

10

100

 

 

1000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

0

0,33

0,5

0,6

0,66

 

0,9

0,99

 

 

0,999

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как видно из таблицы, с возрастанием х, функция f(x)неограниченно

приближается к 1. Это означает,

что величина

 

может быть сделана

сколь угодно малой для достаточно больших значений аргумента. Т.к. в нашем

примере

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, то

 

 

 

при х >10,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при х > 100, ну и для произвольного числа

 

 

 

 

 

 

 

 

при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

df. Число А называется пределом функции

при

 

 

, если для

любого, сколь угодно малого числа

 

 

, можно указать такое конечное число

М , что для

 

выполняется неравенство

 

.

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Символически это записывается в виде

 

 

 

 

 

 

. Определение предела имеет простой

 

 

 

 

геометрический смысл. Т.к. неравенство

 

 

 

 

 

неравенству

 

 

 

. Это

 

 

 

 

значит, что начиная с аргумента x Mε , график

 

 

 

 

 

функции попадает в полосу между прямыми

 

 

 

 

 

 

 

и

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Предел функции при х а.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражение

х

а надо понимать так, что аргумент х меняется не

беспорядочно,

а

последовательно,

принимая

значения

х12, …,

хn,…, сколь

угодно близкие к а, но не равные а. Рассмотрим функцию f(x) = 2х – 1. Еѐ значение при х = 2 равно 3, т.е. f(2) = 3. Покажем, что при х 2 значения f(x)

20

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]