Modul_II

можно записать в виде

16.2

Непрерывность функции в точке и на интервале.

Действия над

непрерывными функциями.

df. Функция называется непрерывной в точке х = а, если:

1. она определена в точке х = а и некоторой ее окрестности.

2.

функция имеет односторонние пределы

–

.

3.

односторонние пределы равны и равны значению функции в этой точке

–

.

Т.к.

выполнение третьего условия эквивалентно условию

,

Замечание. Если учесть, что

, то условие (1) можно записать в виде

в этой точке непрерывна и функция

.

Все случаи доказываются однообразно, в качестве примера докажем

последнее. Т.к. функции f(x) и g(x) непрерывны в точке

, то

,

и на основании теоремы о пределе

Т. Если функция

непрерывна в точке

, то сложная функция

y = f(g(x)) непрерывна в точке

.

Доказательство. В силу непрерывности функции

имеем

, т.е. при х

a также и U

U0. Поэтому

.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Найдем предел

.

Т.к.

, то функция непрерывна в окрестности

точки

, поэтому

, т.е.

.

Таким образом, в окрестности 0,

.

Найдем

.

Значит в окрестности

нуля

.

Внесем полученные результаты в таблицу эквивалентных б.м..

П 4. Найти предел

.

. Воспользовавшись таблицей эквивалентных б.м., получаем

–

.

П 5. Найти предел

.

частного

. Введение новой переменной

Найдем предел

.

, т.е.

Таким образом, в окрестности 0

.

Найдем

.

Значит в окрестности 0

.

Внесем полученные результаты в таблицу эквивалентных б.м.:

П 6. Найти предел

.

П 7. Найти предел

.

→ 0292 3 1 = 29 → 0

= 29 → 0 2 = −512ln2

.

П 1. Исследовать на непрерывность функцию

.

, поэтому, т.к. функция элементарная, то она непрерывна на

всей числовой оси, за исключением точки

. Найдем

, и

.

Доопределяя функцию в точке x = 2 как

, получаем функцию

2.

–

.

В этом случае говорят, что в точке

функция терпит разрыв I рода. При

.

Не смотря на то, что функции

и

–

элементарные функции, с ОДЗ

, то

.

Поэтому она должна быть непрерывна

, за исключением, быть может,

точки сшивки этих функций x =1.

Т.к.

;

,

, то функция в точке x = 1 терпит разрыв I рода.

3.

Хотя бы один из пределов

–

.

В этом случае говорят, что в точке

функция терпит разрыв II рода .

П 3. Исследовать на непрерывность функцию

.

Т.к.

, а функция

является элементарной,

то она непрерывна в своей ОДЗ, т.е. на всей числовой оси, за

исключением точки х = 0. Найдем односторонние пределы

функции при

:

,

в точке х = 0 функция терпит

разрыв II рода.

1.

Вычислить пределы:

а)

; б)

;

в)

г)

; д)

; е)

–

;

ж)

; з)

; и)

;

к)

л)

;

м)

;

н)

;

о)

.

2.

При каких значениях параметров k и b данная функция

k x b,

если x 2; 4

будет непрерывна в точках

2

и 4 ?

y

x

2

,

если x 2; 4

обозначается

. Естественно назвать разность f(x) – f(a) приращением

функция и обозначить символом

–

. Т.к.

, то

приращение функции можно записать в виде

–

1 Легко

.

Действительно, записывая условие непрерывности

на

языке приращений

и воспользовавшить теоремой о

пределе постоянной

, получаем

. Т.е. для непрерывной

функции б.м.

изменения

. Очевидно предел

, является скоростью изменения

функции в точке.

df. Если существует предел отношения приращения функции

к

приращению аргумента

, когда

стремится нулю произвольным

образом, то он называется производной данной функции

в точке x и

обозначается

:

или

.

Наряду с обозначением

для производной употребляются и другие

обозначения, например:

. Значение производной в точке x = a

обозначается

или

.

Операция нахождения производной функции

называется

дифференцированием этой функции.

П 1. у = С. Найти .

1)

2)

3)

.

. Найти .

П 2.

1)

–

2)

3)

.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то

говорят, что она дифференцируема на этом интервале.

Т.

Если функция

дифференцируема в точке

, то она в

этой точке непрерывна.

Действительно,

, то по теореме о связи пределом с б.м.

функциями, в некоторой окрестности точки

,

,

=

+

0 =0, т.е.

– что и означает непрерывность функции

.

Таким образом, в точках разрыва функция производной не

имеет. Очевидно, в общем случае, из непрерывности функции в

точке

не следует ее дифференцируемость в этой точке.

Наглядно это видно на рисунке – хотя функция непрерывна,

кривая

в точке

не имеет касательной, а и

производной.

определение касательной к графику функции

.

Проведем секущую

. Если точка М1 приближается по

кривой к точке М0 , то секущая

принимает

различные

положения

,

и т.д.

функция имеет значение y =

f (x ) . Этим значениям х и у

на

кривой

соответствует точка М 0 ( х0 , у0).

Дадим аргументу х приращение

.

Новому

значению аргумента

соответствует «наращенное» значение функции

.

Соответствующей ему

точкой кривой будет точка М 1

. Проведем секущую М0М1

и обозначим

Составим

отношение

. Как

видно из

рисунка

.

Если теперь

будет стремиться к нулю, то

точка М1

будет перемещаться вдоль кривой,

приближаясь к М0. Секущая М0М1

будет поворачиваться вокруг точки М0 и угол

φ будет

меняться

с

изменением

. Если при

угол φ стремится к

т. е. значение производной

при данном значении аргумента х0

равняется

тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ох

касательной к графику функции

в точке М 0 ( х 0 , у 0 ) .

Замечание. Согласно аналитической геометрии

, где

–

угловой коэффициент касательной к графику функции

в точке М0,

т.е. значение производной

.

Т.к.

–уравнение прямой с угловым коэффициентом,

проходящую через точку М0 ,

то уравнение касательной имеет вид:

Для того, чтобы выяснить физический смысл производной смысл

производной вспомним определение скорости

движения тела. Если за время t

тело прошло путь

, а за время

–

, то средняя скорость

движения тела

, а

– мгновенная скорость

тела в момент времени t. С другой стороны

– производная пути

по времени. Таким образом, производная

по времени – это мгновенная скорость

движения тела.

Наряду с обозначением

для производной употребляются и другие

обозначения, например:

.

З а м е ч а н и е . Т . к .

, т о

,

. Т.к. функция , непрерывны и не зависят от , то их можно

вынести за знак предела:

, что и требовалось

доказать.

17.4 Производная логарифмической и тригонометрических функций.

1) Найдем производную функции

:

;

;

. Воспользовавшись таблицей

39

эквивалентных б.м., получим

=

.

Таким образом

. Т.к.

то

.

2 ) Найдем производную функции

:

;

;

.

Таким образом

.

Аналогично показывается, что

.

3 ) Найдем производную функции

.

,

Аналогично показывается, что

.

17.5 Производная сложной функции.

Пусть дана сложная функция

, такая, что функции

и

дифференцируемы в некоторой точке х.

Т. Если функция

имеет в некоторой точке х производную

, а

функция

имеет при соответствующем значении

производную

, то сложная функция

в указанной точке х имеет производную,

которая равна

Таким образом, производная сложной функции

, равна

произведению производной этой функции

по промежуточному аргументу u

на производную промежуточного аргумента

по независимому аргументу х.

Доказательство. Т.к. функции

и

дифференцируемы в точке

х, то в некоторой окрестности этой точки приращение

,

Очевидно, в некоторой окрестности соответствующего значения

промежуточного аргумента

приращение

,

,

,

. Тогда

,