Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Modul_II

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.03.2016

Размер:

2.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

–

– 2

max

min

x2 2x 2

г) k lim

lim

x(x 1)

2x 2

lim

2x 2 x2 x

b lim

x 1

x 2

lim

x 1

П 6.

Построить график функции

а) D(y):

б) Т.к. функция

элементарная, то она непрерывная в своей ОДЗ –

на всей числовой оси.

в)

			x .					,						, x .
					.								.
					.								.
г)			,						,		.
г)			,						,		.

	x		–
					+					+
					+			0		–
	y							0

				x arctg x								arctg x
д) k lim										lim 1
д) k lim										lim 1
		x				x				x		x
1		arctg				1	2	1
1						1		1

b lim			x arctg x x lim arctg x arctg
b lim			x arctg x x lim arctg x arctg											2
	x								x					2

П 7. Построить график функции		.

а) D(y):	,	,	, x (– ; –2) (0; ).

б) Т.к. функция		– элементарная, то она непрерывна в своей ОДЗ.

Подозрительными точками являются края интервалов				– и	. –
0= −2−0−2−0+2 —2−0=		−2−0 —2=	—2=	, ln+0+0+2 —+0=ln0

—– . Таким образом, график имеет две вертикальные асимптоты:

в)

, x = 0,

x = – 2.

г)

– –

–

4,05

–

min

max

	ln	x	x

		x 2
д) k lim
д) k lim
x		x

		x	x
	ln
		x
lim
		x
x

	ln1 x
lim

x		x

	x	1 ,
lim		1 ,
x	x


b	lim
b	lim	ln
	x

x
	x x	lim ln
x 2	x x	lim ln
x 2		x

x
					lim ln
					lim ln
x 2					x

x		ln1 0


x

ПРИЛОЖЕНИЕ. Исследование кривых, заданных параметрически

Пусть кривая задана параметрическими уравнениями .

В этом случае исследование и построение кривой проводятся аналогично тому,


как это было сделано для кривой, заданной уравнением							.
Вычисляем производные				. Для тех точек кривой, вблизи которых


кривая является графиком некоторой функции y = f(x), вычисляем
производную		Находим значения параметра					, при

которых хотя бы одна из производных					или	обращается в нуль или терпит
разрыв. Такие значения t			мы будем называть критическими значениями. В
каждом из интервалов						, а, следовательно, и в
каждом из интервалов			,		,	,	(где
определяем знак	,тем самым определяем области возрастания и убывания.

Это дает также возможность определить характер точек, соответствующих значениям параметра . Далее, вычисляем .

На основании этой формулы определяем направление выпуклости кривой в каждой точке.

Для нахождения асимптот находим такие значения t, при приближении к которым или х, или у стремятся к бесконечности, и такие значения t, при приближении к которым и х, и у стремятся к бесконечности. Затем производим исследование обычным способом.

Некоторые особенности, появляющиеся при исследовании кривых, заданных параметрически, выясним на примерах.

П1. Исследовать кривую, заданную уравнениями

Решение. Величины х и у определены для всех значений t. Но так как функции cos3 t и sin3 t – периодические, с периодом 2 , достаточно рассмотреть, изменение параметра t в пределах от 0 до 2 ; при этом областью изменения х будет отрезок [– 4, 4 ] и областью изменения у будет отрезок [– 4, 4 ]. следовательно, рассматриваемая кривая асимптот не имеет. Далее, находим:

;
Эти производные обращаются в нуль при		.
Определяем
	.
	.
Найдем критические точки:			;

. Характер монотонности, очевидно, определяется знаками

Найдем точки перегиба:

;

Т.к.

, то характер кривизны

определяется знаками

Полученные результаты внесем в таблицу:

– 4

–

– 4

–


Из таблицы следует, что функция, заданная параметрически для
описывает две однозначные функции			и	для	,
при этом	, а	. Т.к. функции ограниченные, то графики

наклонных асимптот не имеют.

Составим таблицы для этих функций:

x	–4		0		4

	0	+	∞	–	0

	∞	+	∞	+	∞

y	0		4		0
y	0		max		0
			max

x	–4		0		4

	0	–	∞	+	0

	∞	–	∞	–	∞

y	0		4		0
y	0		min		0
			min

Отсюда видно, что в точках (– 4;0) и (4;0) функции имеют горизонтальные касательные ( ), а в точке (0;0) – вертикальную ( ).

П2. Исследовать кривую, заданную уравнениями

Решение. Величины х и у определены для всех значений t, кроме

, при

этом

;

lim y – точка кривой уходит на бесконечность в IV четверти

;

lim y – точка кривой уходит на бесконечность во II четверти.

Далее,

;

Т.е. точку (0,0) график функции проходит три раза: при

и при

Найдем производные

Тогда

Найдем критические точки для параметра t из условий

;

Тогда

Т.к. , то согласно геометрическому смыслу

производной это означает, что на бесконечности в плоскости Оху кривая уходит по прямой под углом и поэтому, возможно, возможно имеет

наклонную асимптоту. Т.к.

b lim y k x lim

6t 2

6t(t 1)

( 1)

lim

2 2 , то

1 t

1 t t

t 1 0

действительно

– наклонная асимптота к кривой.

;

Подставляя эти значения в функцию, найдем значения аргумента х в критических точках и соответствующее им значения функций:

Все данные внесем в таблицу:

(–1,0)

–

(0,

– 0

∞

–

∞

–

–0

(– 0;– ∞)

(+ 0; ∞)

(0;

Как видно из таблицы, это параметрическое уравнение определяет три

однозначных функции

для

Составим таблицы для этих функций:

– 0

–

∞

–

∞

+ 0

– 0

+	0	–
–		–

max

Из таблиц видно, что участок кривой, описываемый функцией f(x) в точку (0,0) входит перпендикулярно оси Ох, а участок кривой, описываемый функцией g(x) в точку (0,0) входит параллельно оси Ох.

На основании проведенного исследования строим кривую (декартов ) лист.

П4. Исследовать кривую, заданную уравнениями

Решение. Величины х и у определены для

, поэтому график функции

вертикальных асимптот не имеет.

Найдем точки пересечения кривой с осями координат и исследуем поведение

функции на бесконечности:

;

. Т.е точка (9, 0) кривой проходится дважды

Найдем производные

Найдем критические точки для параметра t из условий

;

Тогда

;

Найдем точки перегиба для параметра t из условий

;

t ;

Подставляя эти значения в функцию, найдем значения аргумента х в

критических точках и соответствующие им значения функций:

Все данные внесем в таблицу.

–1

–

–2

Из таблицы следует, что функция, заданная параметрически для

описывает две однозначные функции

для

x	0		3

		–	0	+

		+		+
		+		+

y	0		–2
y	0		min
			min

x	0		3

		+	0	–

		–		–
		–		–

y	0		2
y	0		max
			max

Исследуем вопрос о существовании наклонных асимптот:

			y		3t t 3	t 3
k	lim			lim		lim	– предела не
					3t 2
	x	x		t		t 3t 2

существует, поэтому график функции наклонных асимптот не имеет. На основании проведенного исследования строим кривую

П 5. Исследовать кривую, заданную уравнениями

Решение. Величины х и у определены для	,	поэтому график функции
вертикальных асимптот не имеет.

Найдем точки пересечения кривой с осями координат и исследуем поведение

функции на бесконечности:											,	;			,
функции на бесконечности:											,	;			,
	,		.				,			.			.
	,		.				,			.			.
Найдем производные							,			.
Найдем критические точки для параметра t из условий													,	:
,		:	,				.
Тогда					и			.
Тогда					и			.
				;					. Т.к.	, то
.				;					. Т.к.	, то
.
Подставляя эти значения в функцию, найдем значения аргумента х															в
критической точке и соответствующее ей значение функции														.

						t				0

						x				0

							+					–

									–			–

						y
						y

Из таблицы следует, что функция, заданная параметрически для
описывает одна однозначная функция

x		0

		–		+

		–		–

	y
	y		min
			min
Из таблицы видно, что		– кривая в этой точке имеет вертикальную
касательную.

Исследуем вопрос о существовании наклонных асимптот:

1 6t

0, b lim y k x

1 6t

k lim

x x

lim

t 8t

кривая наклонной асимптоты не имеет.

На основании проведенного исследования строим кривую

Примеры для самостоятельной работы по разделу «Исследование функций»

1)	Найти интервалы монотонности функции			;

2)	Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции				;

3)	Найти асимптоты к графику функции		;

4)	Построить график функции	;

5)В полукруг вписана равнобочная трапеция. Определить угол при основании так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.

Вопросы к модульному контролю №2

1.Предел числовой последовательности. Определение, геометрический смысл предела.

2.Предел функции при х → . Определение, геометрический смысл.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.03.20163.54 Mб122Met_WORD2010_2012.pdf
#
03.03.20161.69 Mб81Met_WORD_2010.pdf
#
03.03.20161.14 Mб7Mikroekonomika_2chast.doc
#
03.03.201643.62 Кб25Ministerstvo_obrazovania_i_nauki_DNR.docx
#
03.03.2016278 Кб21MINISTERSTVO_OBRAZOVANIYa_I_NAUKI_UKRAIN (1).docx
#
03.03.20162.6 Mб4Modul_II.pdf
#
03.03.2016458.75 Кб13Moe.doc
#
03.03.20161.61 Mб56Moy_pp_3_12.doc
#
03.03.2016225.79 Кб5MR_ind.doc
#
03.03.20161.01 Mб9MU for LR po Aerologii Rus.pdf
#
03.03.20162.15 Mб17MU141.doc