Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Modul_II

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
2.6 Mб
Скачать

3. Составим

неравенство

 

. Т.к.

 

 

 

 

 

 

то

неравенство

 

приобретает

вид

 

 

 

 

. Значит, как только

 

 

 

 

 

так

.

Аналогично

можно показать, что

неравенство

 

f(x) 3

 

выполняется

при

 

 

 

 

 

. Введя обозначение

 

получаем, что как только аргумент х

попадает в -окрестность точки х = 2,

так значение функции попадает в

-

окрестность точки у = 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

df. Число А называется пределом функции y=f(x) при х а, если для

 

 

 

 

, найдется такое , что для всех х этой

любого, сколь угодно малого числа

 

окрестности точки х = а выполняется неравенство

.

 

Символически это записывается так:

.

 

 

 

Тогда в нашем примере

 

 

 

, т.е.

.

Определение

предела

функции

при

х

а

имеет простой геометрический смысл: для всех

аргументов из -окрестности точки х

= а,

график

функции y = f(x) находятся в полосе между

прямыми

и

 

. Как видно

из рисунка, на нелинейных участках кривой за

радиус -окрестности точки

х = а

берется

наименьшая из абсцисс точек пересечения

 

 

кривой y =

f(x) с граничными прямыми

и

 

(

 

 

).

Замечание. Необходимо обратить внимание на то, что в определение предела не входит понятие значение функции в точке х = а! Это значит, что существует

различие между понятиями предела функции при х

а и значением функции в

точке х = а.

 

 

 

 

 

 

П 5. Рассмотрим функцию

 

 

. В точке х = 2 функция не определена,

 

 

однако

 

 

 

 

. Действительно

для

неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Т.к.

 

 

неравенству

 

x 2

 

ε , что и означает,

 

 

 

что как только

 

так

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, что по определению означает, что

 

.

 

 

 

 

 

 

3.

 

Односторонние пределы.

 

 

 

 

 

Если функция y = f(x) имеет пределом число А при условии, что х

а слева

(

 

), то А называется пределом функции в точке а слева, и символически

записывается в виде

. Аналогично, Если функция y =

f(x)

имеет пределом число В при условии,

что х

а справа (

), то В

называется пределом функции в точке а справа, и символически записывается

21

. Эти пределы называются односторонними. Понятие

предела связано с односторонними пределами следующим образом: если f(a + 0) = f(a – 0) =A .

Все рассмотренные ранее пределы вычислялись подстановкой предельного значения аргумента в функцию и это позволяло пределы сразу найти. Однако бывают случаи, когда прежде чем применить эти теоремы необходимо под знаком предела сделать алгебраические преобразования. К ним относятся случаи, когда непосредственная подстановка предельного значения аргумента

приводят к «неопределенностям», типа

 

,

 

,

,

,

,

,

 

 

.

1.Раскрытие неопределенности .

 

 

 

 

 

Qm (x)

 

 

 

 

 

2

 

m

 

Пусть

lim

 

 

 

 

 

 

,

где Qm (x) b0 b 1 x b2 x

 

... bm x

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

Pn

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P (x) a

0

a

1

x a

2

x 2

... a

m

x n - многочлены (полиномы) степени m и n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

соответственно. Вынесем в числителе и знаменатели старшие степени х

 

. Т.к.

 

 

 

 

, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Правило.

Для открытия неопределенности

 

 

 

 

необходимо в числителе

 

 

 

 

 

 

и знаменателе оставлять старшие члены

(члены, дающие наибольший

 

вклад в бесконечность).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Раскрытие неопределенности

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Т.к f(a) = 0 и g(a) = 0, х = а является корнем

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнений f(x) = 0 и g(x) = 0, поэтому эти функции можно записать в виде

 

и

.

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

П 2.

Разделим числитель на знаменатель, для этого запишем делимое и делитель по убывающим степеням и разделим член со старшей степенью делимого на старший член делителя. Результат запишем в частное и, умножая полученное выражение на делитель, вычтем полученное выражение из делимого; затем член со старшей степенью остатка, делим на старший член делителя и так до тех пор, пока в остатке не получится ноль, либо степень, меньшая, чем старшая степень делителя:

 

3x

3

+ 2x

2

+ 16

 

 

x + 2

 

x

2

- 2x - 8

x + 2

 

 

 

 

 

 

 

3 + 6x 2

 

 

 

3x 2 - 4x + 8

х 2

+ 2x

x - 4

 

 

 

- 4x 2 + 16

 

 

 

 

- 4x - 8

 

 

 

- 4x 2 - 8x

 

 

 

 

- 4x - 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8x +16

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8x +16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

П 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы раскрыть неопределенность, содержащие корни, необходимо сделать такое тождественное преобразование, которое бы привело к выражению, не содержащему корни. Для данного примера это возможно, если воспользоваться формулой разности квадратов . Очевидно для нашего примера необходимо числитель и знаменатель

умножить на . В результате мы получаем

П 4.

 

 

 

 

 

 

 

Мы столкнулись с новым выражением –

 

.

 

 

 

 

 

Чтобы понять, что оно обозначает и как с ним обращаться, необходимо ввести понятия бесконечно малой и бесконечно большой величин и выявить связь между ними.

23

Лекция 15. Основные теоремы о пределах

15.1 Бесконечно малые(б.м.) и бесконечно большие (б.б) функции. Теоремы о них.

Функция y = f(x) называется ограниченной на интервале (а,b), если существует такое положительное число М , что для всех х (а,b) выполняется

неравенство f(x) М.

 

 

П1. Функция

ограничена на всей числовой оси (

).

П2. Функция

ограничена на [0 , 3], т.к. для

 

3 21.

П3. Функция y = 1/x является неограниченной фунцией на (0,2). Функция

называется ограниченной

при

х

а,

если

она

ограничена в некоторой

окрестности точки а .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т1. Если функция имеет конечный предел при х

 

а,

значит она ограничена в

некоторой окрестности точки а.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Пусть

 

 

 

, тогда согласно определения предела

функции, для > 0

такая окрестность точки

 

,

в которой

 

 

.

Т.к.

согласно

свойств

модуля

 

 

 

 

 

 

,

то

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

, или

 

 

 

 

, что и

требовалось

доказать.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т2. Если функция

 

 

при

 

имеет

lim

 

0, то

функция

 

 

ограничена в некоторой окрестности точки х = а.

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы.

 

 

 

df. Функция y = (х) назывется б.м. фунцией при

 

 

, если

 

 

 

 

 

Это значит, что в некоторой окрестности точки

 

 

 

 

Т1. Сумма конечного числа б.м. функций при х

а также является б.м. фунцией

при х

а.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Пусть (х)

и (х) – б.м. функции при х

а.

Тогда,

согласно определения,

такая окрестность точки

х = а, в которой

 

 

и

 

 

. Рассмотрим функцию

 

 

 

 

Т.к.

по свойству модулей

 

 

 

 

 

 

 

 

,

то, очевидно, что в этой

окрестности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

что,

согласно

определения,

означает,

что

сумма б.м.

функций (х)

+ (х) является б.м. функцией при х

а. Эту теорему можно

обобщить на случай суммы

любого конечного числа б.м. функций.

 

 

 

 

Т2. Произведение б.м. функции при х

а на ограниченную функцию при

х а, также является б.м. функцией при х

а.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема доказывается аналогично доказательству предыдущей теоремы.

 

С1. Произведение конечного числа б.м. функций есть функция б.м..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

С2. Произведение постоянного числа на б.м. функцию есть функция б.м..

Т3. Частное от деления б.м. функции при х

а на функцию имеющую

предел при х а, является б.м. фунцией при х а.

 

Теорема доказывается аналогично доказательствам предыдущих теорем.

df. Функция y = f(х) назывется б.б. фунцией при х

а, если для М > 0, сколь

велико бы оно не было, такая окрестность точки х = а, что для х их этой

окрестности выполняется неравенство f(x) М.

Символически это записывают

Между б.б. и б.м. существует тесная связь. Легко показать, что если f(x)

б.б. функция, то 1/ f(x) – б.м. функция

 

 

и наоборот, если (х) – б.м.

 

 

функция, то 1/ (х) – б.б. функция

 

 

.

 

 

 

 

 

Докажем, что если f(x) – б.б. функция, то 1/ f(x) – б.м. функция. Если f(x)

б.б. функция, то согласно определения

 

 

и в некоторой окрестности

точки х = а выполняется неравенство f(x) М, где М – сколь угодно большое положительное число. Тогда в этой окрестности . Пологая – сколь угодно малое, положительное число. Таким образом, в этой окрестности

и согласно определения б.м. функции

 

 

– б.м. функция.

 

Второе соотношение

 

доказывается аналогично.

 

 

 

15.2Классификация б.м. функций.

 

Пусть

 

 

и

б.м. функции при

 

 

 

 

 

Тогда, согласно определения

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

, поэтому

 

 

–это неопределенность

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Если при

 

 

раскрытии

неопределенности

 

ее предел равен нулю

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, то при

функция б.м.

называется б.м. более

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

высокого порядка, чем б.м.

 

, что обозначается как

.

2.

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если при раскрытии неопределенности

 

ее предел равен конечному числу

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

то при

 

б.м. функция

называется б.м.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

одного порядка с

,

что обозначается как

 

. Очевидно в

 

окрестности нуля

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Если при раскрытии

 

неопределенности

 

 

ее предел

равен единице

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

то

при

 

 

б.м. функция

называется

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

эквивалентной б.м.

, что обозначается как

 

.

 

 

15.3Связь между пределами и б.м. функциями.

25

Т.

Для того, чтобы функция у = f(x) имела пределом число А при х а

(

, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности точки

х = а функция у = f(x)

являлась суммой числа и б.м. функции:

f(x) = А + (х).

Доказательство.

 

 

 

Необходимость. Пусть

. Тогда, согласно определению предела, для

0 существует такая окрестность точки х = а, в которой

. Вводя

обозначение

, получаем

, согласно определения,

является б.м. функцией в окрестности точки х = а f(x) = А + (х) в некоторой окрестности точки х = а, что и требовалось доказать. Достаточность. Пусть в некоторой окрестности точки х = а функция f(x) представляется в виде суммы конечного числа А и б.м. функции (х) при

(f(x) = А + (х) . Тогда – – и согласно определения для 0 существует такая окрестность точки х = а, в которой

 

,

в этой окрестности, что согласно определения

предела, означает, что

 

.

15.4Основные теоремы о пределах.

Т1. Функция f(x) при х а может иметь только один предел.

Доказательство. Доказательство проведем от противного – предположим,

что при х а функция имеет два предела:

и

, причем

А В. Тогда, в силу теоремы о связи б.м.

функции и пределов,

в некоторой

окрестности точки х = а f(x) = А + (х)

и f(x) = В + (х), где (х), (х) – б.м.

функции при х а. Отсюда А – В = (х) – (х). В этом выражении А – В конечное число, а (х) – (х) – б.м. функция (согласно теоремы о б.м. функции). Поэтому полученное равенство невозможно. Таким образом, мы пришли к противоречию, предположив, что функция f(x) имеет 2 предела. Следовательно, наше предположение о существовании двух пределов не верно.

Т 2. Предел алгебраической суммы двух функций f(x) и g(x) при х

а равен

сумме этих пределов, если они существуют

 

.

 

Т 3. Предел произведения двух функций f(x) и g(x) при х

а равен

произведению этих пределов, если они существуют.

 

.

 

С1. Постоянный множитель выносится за знак предела

С2. Предел степени равен степени предела.

.

26

Т 4. Предел частного двух функций f(x) и g(x) при х а равен частному этих пределов, если предел знаменателя не равен нулю.

Все эти теоремы доказываются аналогично доказательству Т1. Докажем например Т2 .

 

Пусть

и

. Тогда в некоторой окрестности точки

х = а

по теореме о связи пределов с б.м. функциями f(x) = А + (х) и g(x) = В +

(х)

 

 

. Очевидно, в этой окрестности f(x) +

g(x) = А + В + (х) + (х). По теореме о б.м. функциях, сумма б.м. (х) + (х)

есть функция б.м. (х), тогда

 

f(x) + g(x) = А + В +

(х), следовательно

по теореме о связи пределов с б.м.

функциями

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

Замечание. Доказанные теоремы показывают, что предел обладает

свойством линейности:

 

 

 

 

 

.

Эти теоремы существенно упрощают нахождение пределов.

 

П 1.

=

=

12 + 14 – 6 = 20

 

 

 

 

 

 

П 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

В рассмотренных примерах непосредственное применение теорем о пределах позволило быстро вычислить пределы.

15.5Первый замечательный предел.

Лемма. Если функции

 

 

 

 

таковы, что для

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

, то

 

.

 

Доказательство. Согласно условию леммы,

 

 

 

 

 

 

 

.

Т.к. функции

 

имеют предел

при

, то для

в некоторой окрестности точки х = а

 

 

 

 

 

 

и

 

.

Поэтому

 

 

,

следовательно, в

этой

окрестности и

 

записи

 

, т.е.

 

.

 

 

 

Легко показать, что если на интервале (b;c) функции

 

 

таковы, что

 

они имеют пределы при

 

 

и

 

, то

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем предел функции

 

 

 

 

при

. Очевидно

 

 

.

 

 

 

 

 

27

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Рассмотрим окружность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

единичного радиуса. Обозначим центральный угол OAD

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

через x. Как видно из рисунка,

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т.к.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Как известно из элементарной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

математики, площадь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кругового сектора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Т.к.

 

 

 

 

 

 

 

, где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, то деление этого выражение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

знаки неравенств не изменит:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Введем новую переменную t = –x очевидно, при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

новая переменная

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Таким образом, предел слева

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т.к.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

односторонние пределы равны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, то

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предел

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в математике называют первым замечательным

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пределом. Т.к.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, то эти функции являются б.м. при

 

 

 

 

 

 

 

и согласно классификации б.м., эти функции являются эквивалентными

б.м. функциями. Поэтому в

окрестности

нуля

.

 

Это соотношение

существенно упрощает нахождение пределов от более сложных функций.

П 1. Вычислить предел

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П 2. Вычислить предел

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Согласно классификации б.м.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функций,

 

 

 

 

 

– б.м.

 

 

 

одного порядка, поэтому

в

окрестности нуля

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П 3. Вычислить предел

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Т.к.

 

 

 

 

 

 

, то множитель

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

не

 

дает вклад

 

в неопределенность

 

 

 

 

 

. Применяя

теорему о пределе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28

произведения, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и в окрестности нуля

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П 4. Вычислить предел

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

, в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

окрестности нуля

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П 5. Вычислить предел

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в окрестности нуля

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Составим таблицу эквивалентных б.м. функций в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

окрестности нуля

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П 6. Вычислить предел

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Хотя мы и

получили неопределенность

 

 

, но

 

 

 

 

 

воспользоваться таблицей эквивалентно малых в окрестности нуля не имеем

право, т.к. в примере

. Однако введение новой переменной

устраняет

 

 

 

 

 

эту проблему, т.к. при

! Таким образом

 

 

 

 

 

 

.

Лекция 16. Непрерывность функции

16.1II замечательный предел.

df. При

числовая последовательность

 

сходится, причем

 

называется вторым замечательным пределом.

Здесь иррациональное число е = 2,71824… называется числом Эйлера.

29

Очевидно, что последовательность

 

при

тоже сходится к

 

 

 

 

числу е

 

 

.

 

Легко показать, что эти соотношения справедливы и для случая непрерывного

аргумента:

 

 

 

 

 

и

 

П 1. Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Проведенные вычисления показывают, что и в этом случае можно пользоваться правилом – при нахождении пределов, в выражениях, содержащие

бесконечности, следует оставлять старшие члены:

П 2. Найти

 

.

 

 

 

 

 

 

. Похож на второй замечательный

 

 

 

 

 

предел. Приведем наш предел к стандартному выражению, записав предел в виде и разделив числитель и знаменатель дроби на – 3:

П 3. Найти

 

 

 

 

.

 

 

 

 

. Похож на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

второй замечательный

предел. Приведем наш предел

к

стандартному виду,

x 2 - 2x + 3

 

x 2 + 3x + 4

 

 

выделив в неправильной дроби целую часть – 1:

 

 

 

 

 

Т.к. старшая степень

 

меньше старшей

x 2 + 3x + 4

 

 

1

 

 

 

 

 

 

степени делителя

,

то величина

- 5x - 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

называется остатком. Значит неправильную дробь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]