Modul_II

20.2Разложение по формуле Макларена функций

1)Разложение функции

При х =1получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа е:

– мы получили исходное выражение. Т.е. результаты повторяются с циклом 4. Поэтому

51

– мы опять получили исходное выражение, и результаты снова повторяются с циклом 4. Поэтому

20.1Связь между функциями

Великий Леонард Эйлер первым в вел в математике новое число названную в дальнейшем мнимой единицей. Он обнаружил, что степени этого

. В результате мы получили знаменитую формулу Эйлера

которая устанавливает связь между тригонометрическими и показательными функциями.

Несложные алгебраические преобразования позволяют тригонометрические функции выразить через показательные функции:

– практически совпадающие с выражениями для введенных в аналитической геометрии гиперболических функций:

52

Примеры для самостоятельной работы по разделу «Производная».

1)Пользуясь определением производной, найти производные следующих функций:

Лекция 21. Исследование поведения функций.

21.1Возрастание и убывание функций.

Т. Для того, чтобы дифференцируемая на отрезке функция была возрастающей (убывающей) необходимо и достаточно, чтобы на

Аналогично доказывается теорема и для убывающей функции.

21.2Экстремум функций.

df 1. Функция f(x) в точке x1 имеет минимум (minimum), если в любой, сколь угодно малой -окрестности точки x1, значение функции f(x)

больше ее значения в точке x1

df 2. Функция f(x) в точке x2 имеет максимум (maximum), если в любой, сколь угодно малой -окрестности точки x2, значение функции f(x) меньше

ее значения в точке x2

значение только в малой окрестности xmin . Как видно на этом рисунке минимум

совпадает с касательной справа).

Такие точки называются критическими точками. Таким образом, все точки экстремума являются критическими точками. Однако не все критические точки являются точками экстремума. Так, точки являются критическими, однако экстремума в них нет! Если сравнить поведение кривой вблизи этих точек и вблизи точек экстремума, то отличие сразу бросается в глаза: вблизи этих точек

54

характер монотонности кривой не меняется, а вблизи точек экстремума характер монотонности меняется. Причем, если кривая из монотонно возрастающей становится монотонно убывающей, то критическая точка является точкой максимума, а если кривая из монотонно убывающей становится монотонно возрастающей – то точкой минимума.

Докажем теперь, что в точках гладкого экстремума касательная к кривой

критические точки функции, а затем с помощью достаточного признака экстремума определяют, какие из критических точек являются точками экстремума.

Т . ( достаточные условия существования экстремума). Пусть

функция непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки ). Если при переходе слева направо

направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум. Таким образом, если:

то в точке х1 функция имеет минимум. При этом надо иметь в виду, что условия

а) или б) должны выполняться для всех значений х, достаточно близких к х1, т. е. во всех точках некоторой достаточно малой окрестности критической точки

х1.

55

доказывается вторая часть теоремы о достаточных условиях минимума.

21.3Исследование поведения функций с помощью формулы Тейлора.

2)

В этом случае графиком функции является кубическая парабола, которая экстремумов не имеет.

21.4Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

56

Рассмотрим на плоскости кривую y = f ( x ), являющуюся графиком однозначной дифференцируемой функции f (x ) .

df1. Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале , если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом

интервале.

Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вниз на интервале если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале. Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть выпуклой, а обращенную выпуклостью вниз – вогнутой.

На рисунке показана кривая, выпуклая на интервале ( а , b ) и вогнутая на интервале (b , с).

Направление выпуклости кривой является важной характеристикой ее формы. Настоящий параграф посвящен установлению признаков, по которым можно было бы, исследуя функцию y = f (x ) , судить о направлении выпуклости ее графика на различных интервалах.

Докажем следующую теорему.

T . Если во всех точках интервала ( а , b ) вторая производная функции f ( х )

Приложение. Кривизна кривой.

Мы выяснили, что знак второй производной на некотором интервале определяет выпуклость или вогнутость графика функции на этом интервале. Однако, одни функции более выпуклы (вогнуты), чем другие. Установим меру изогнутости кривой . Введѐм понятие, которое характеризует это явление. Пусть мы имеем кривую, которая не пересекает сама себя и имеет определѐнную касательную в каждой точке. Проведѐм касательные к кривой в каких-нибудь двух еѐ точках А и В и обозначим через угол, образованный этими касательными, или, точнее – угол поворота касательной при переходе от точки А к точке В (рис. 1). Этот угол называется углом смежности. Угол смежности в некоторой степени даѐт представление о степени изогнутости дуги. У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута та, у которой угол

Полной характеристикой изогнутости кривой будет отношение угла смежности к длине соответствующей дуги.

df. Средней кривизной дуги называется отношение соответствующего угла смежности к длине дуги:

Для одной и той же кривой средняя кривизна еѐ различных дуг может быть различной; так, например, для кривой (см. рис. 3) средняя кривизна дуги АВ не равна средней кривизне дуги А1В1 , хотя длины этих дуг равны между собой.

58

Отметим, что вблизи различных точек кривая искривлена по-разному. Для того чтобы охарактеризовать степень искривлѐнности данной линии в непосредственной близости к данной точке А, введѐм понятие кривизны в данной точке.

кривизны дуги АВ, когда длина этой дуги стремится к нулю:

Проведѐм касательные к кривой в точках M и M1 с абсциссами x и x+ x и обозначим через θ и θ + Δθ углы наклона этих касательных. Длину дуги MM1 обозначим через . Как видно из рисунка, угол смежности, соответствующий дуге равен абсолютной величине разности углов θ и θ + Δθ, то есть равен Δθ.

Согласно определению средней кривизны кривой на участке имеем .

Чтобы получить кривизну в точке М, нужно найти предел полученного выражения при условии, что длина дуги стремится к нулю:

.

Так как величины θ и зависят от x, то можно считать, что эта функция задана

. Тогда формула для вычисления кривизны кривой принимает вид

Если кривая задана в полярной СК уравнением вида ρ = (φ), то подставляя

df. Величина R, обратная кривизне К линии в данной точке М, называется радиусом кривизны этой линии в рассматриваемой точке: R = 1/K.

Построим в точке М нормаль к кривой, направленную в сторону вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок МС, равный радиусу R кривизны кривой в точке М. Точка С называется центром кривизны данной кривой, а круг радиуса R с центром в точке С (проходящий через точку М) называется кругом кривизны данной кривой в точке М.

Из определения круга кривизны следует, что в данной точке кривизна кривой и кривизна круга кривизны равны между собой. Выведем формулы, определяющие координаты центра кривизны.

этой точке. Для этого напишем уравнение нормали к кривой в точке М:

60