Modul_II

– что и требовалось доказать.

П1. Найти производную функции

.

Замечание. Если функция задана неявно

, то переменная у является

зависимой переменной, т.е. функцией

независимой переменной х. Поэтому

при нахождении , производные от выражений с у, содержащиеся в

функциональной зависимости

, необходимо пользоваться формулой

производных для сложной функции.

П 3. Найти производную функции

.

Записывая это выражение в виде

получаем функцию

заданную неявно. Дифференцируем эту функцию по аргументу х:

,

,

,

. Для нахождения производной,

разрешим это уравнение относительно :

,

.

2)

.

Найдем производную показательной функции

. Логарифмируя это

выражение, получим

. Тогда

,

.

Т.к.

, то

.

П 3. Найти производную

.

.

П 4. Найти производную

.

.

П 5. Найти производную

.

Чтобы найти производную, прологарифмируем это выражение

,

.

Таким образом, производная от функции

равна сумме производных

степенной и показательной функций.

Пусть функция

непрерывна и монотонна на интервале (a,b).

Тогда на этом интервале она имеет обратную функцию

, которая тоже

непрерывная функция. Это значит, что при

приращение функции

при

приращение обратной функции

:

и

. Воспользовавшись определением предела, получаем

.

Таким образом

.

2) Производная функции

.

Т.к. в своей области определения

функция является монотонно

возрастающей, то на этом отрезке она имеет обратную функцию

.

Воспользовавшись формулой для обратной функции, получаем

.

Аналогично показывается, что

.

3)

Производная функции

.

Т.к. в своей области определения

функция является монотонно

возрастающей, то на этом отрезке она имеет обратную функцию

.

Воспользовавшись формулой для обратной функции, получаем

.

Аналогично показывается, что

.

18.3

Дифференциал

Найдем приращение функции

:

.

df. Линейная часть приращения функции

(относительно приращения

аргумента ) называется дифференциалом функции dy.

В нашем примере

. Для единообразия обозначений, в

примера

. Коэффициент перед

–

является производной х2, т.е.

. Таким образом для нашего примера

и приращение функции

, или

). Оказывается, что выражения

и

справедливы для любой функции.

П1. Найти дифференциал функции

,

Очевидно

, или

– формула приближенных вычислений.

П2. Вычислить

.

Полагая х = 98, получаем функцию

. Т.к.

, то

. Беря в качестве а ближайший квадрат 100, получим

,

Дифференциал имеет простой геометрический смысл. Для этого запишем

уравнение касательной

виде

. Записав

дифференциал в исходном виде

видим, что правые

Найдем производную функции, заданной параметрически

. Для этого

найдем дифференциалы х и у:

и

. Тогда

П3. Найти производную функции

.

В общем случае, производная функции

является функцией аргумента х и

мы можем ее дифференцировать.

df. Производная первой производной называется производной второго

порядка или второй производной.

.

Аналогично, производная второй производной называется производной

третьего порядка или третьей производной

.

И вообще, производной n-го порядка от функции f(x) называется

производная от производной (n–1)-го порядка и обозначается

или

П4. Найти производную четвертого порядка функции

.

,

,

и, наконец,

.

П4. Найдем вторую производную функции, заданной параметрически

.

Согласно определения

, а

. Поэтому

,

.

В общем случае, дифференциал функции

является функцией

аргумента х, причем от х может зависеть только

а приращение

аргумента

от значения х не зависит. Найдем дифференциал этой функции.

df. Дифференциал от дифференциала функции называется

дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом

:

Найдем выражение второго дифференциала:

. Очевидно

– другое обозначение второй

45

дифференциал от дифференциала (n–1)-го порядка

,

причем

и

.

19.1

Теорема Коши

Т. Если функции

и

непрерывны на отрезке [a,b] и

дифференцируемы на интервале (a,b), причем

на этом интервале,

то существует такая точка

, что

Доказательство.

Составим вспомогательную функцию

)

– здесь число

.

Очевидно, функция

непрерывна на отрезке [a,b] и

дифференцируема на интервале (a,b). Это значит, что

– иначе

нарушается условие непрерывности и

.

Очевидно

. Тогда

1)

,

для

, для

,

2)

.

, что внутри интервала

. Тогда из непрерывности функции

(a,b) существуют точки, в которых функция

принимает наибольшее

значение M и наименьшее значение m. Пусть в точке

функция

принимает наибольшее значение M. Очевидно, из-за граничных значений

(

), M

0. Тогда в некоторой окрестности точки х = с

<0, независимо от знака х. Поэтому

→ −0

а

и из дифференцируемости функции

,

, что и требовалось доказать.

19.2

Теорема Лагранжа

Т. Если функция

непрерывны на отрезке [a,b] и дифференцируема на

интервале (a,b), то существует такая точка

, что

46

Доказательство. Взяв функция

. Тогда

условия теоремы Лагранжа для функции

и

свойства функции

на отрезке [a,b]

полностью

совпадают с условиями теоремы Коши, поэтому

,

, что

выражение

. Как видно из рисунка,

из

, что

, где –угол наклона секущей к оси Ох. Т.к.

сек –угловой коэффициент секущей, а

– угловой коэффициент

касательной. Тогда

, что является условием

точки

и

.

19.3

Теорема Роля

Т.

Если функция

непрерывны на отрезке [a,b]

, дифференцируема на интервале (a,b) и на концах

отрезка принимает равные значения

,

то

существует по

крайней мере

одна

точка

, в которой производная обращается в

нуль

Доказательство. Т.к. условия теоремы Роля

полностью совпадают с условиями теоремы

Лагранжа,

то

, в которой

. Следовательно

. Т.к.

, то

,

.

Терема Роля имеет простой геометрический смысл. Условие

,значит в точке х = с касательная параллельна оси Ох. Тогда

геометрическая формулировка теоремы Роля: Если функция

непрерывны

на отрезке [a,b] , дифференцируема на

интервале (a,b) и на концах отрезка

принимает равные значения

, то существует по крайней мере

одна точка

, в которой касательная параллельна оси Ох.

19.4 Правило Лопиталя

Правило Лопиталя позволяет раскрывать неопределенности

или

47

Т. Пусть функции

и

непрерывны и дифференцируемы в

окрестности точки

и

, предел

существует, тогда

Доказательство.

Докажем теорему для случая

.

Т.к. условия теоремы полностью соответствуют условиям теоремы Коши,

применим теорему Коши для отрезка [a,х] :

где с (а,х). Т.к.

, то

. Найдем предел этого выражения

. Очевидно, что при х а и с, чтобы оставаться в интервале

(a,х) тоже а, поэтому

, что и

требовалось доказать.

Случай

доказывается аналогично.

Замечание. Если после применения правила Лопиталя опять будет

или

, его нужно применить еще раз.

П 1. Вычислить

.

.

П 2. Вычислить

.

. Это значит, что при

функция

растет медленней, чем функция

и ее график лежит ниже

прямой

.

Неопределенность

раскрывается с помощью тождественного

преобразования, приводящего ее к неопределенности

или

.

П 3. Вычислить

.

П

4. Вычислить

.

48

Неопределенности

,

и

возникают при нахождении пределов

и раскрываются с помощью тождественного преобразования

:

, приводящего их к

неопределенности

.

П 5. Вычислить

.

таблицей эквивалентных б.м., получаем

.

Предположим, что функция

имеет все производные до (n+1)-го

порядка

включительно

в некотором

промежутке, содержащем точку

.

Найдем многочлен

степени не выше n, значение которого в точке х =

а равняется значению функции f (x )

в этой точке, а значения его производных

до п - г о

порядка в

точке

равняются

значениям соответствующих

производных от функции f (x ) в этой точке

(1)

Естественно ожидать, что в окрестности точки

такой многочлен мало

отличается от функции f ( х ) .

Будем искать этот многочлен в форме многочлена по степеням

с неопределенными коэффициентами

(2)

Неопределенные коэффициенты

определим так, чтобы

удовлетворялись условия (1).

Предварительно найдем производные от

:

( 3 )

Введя понятие n факториал

и вычислив значения

многочлена и его производных в точке

, получим выражение (1) в виде:

49

Подставляя найденные значения

, в формулу (2), получим

искомый многочлен:

Очевидно, в малой окрестности точки

разность

будет

б.м.

и еѐ называют остаточным членом, поэтому