Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ODM_Лекции

.pdf
Скачиваний:
13
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
1.12 Mб
Скачать

81

Второй искл. переменной - х4

или х5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получим f (1,0)

f (1,1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

x4 x5

00

01

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f11 = x 2 + x 5 + x4 = x 2 x5 + x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

x4 x5

00

01

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f10 = x 2 x5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функции f(0,0) и f(0,1) получ. искл. х4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f00 = х5 f01 = x 1 + х2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По имеющимся данным строим принц. схему каск. метода :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f 00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

f 0

&

1

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f 01

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

1

 

 

 

f 1

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

 

 

 

 

&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f 11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f00 = х5 f01 = x 1 + х2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

82

АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ И ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ.

Логические связки алгебры высказываний:

НЕ

-

 

 

 

 

 

 

ИЛИ - Р q

 

 

P

 

 

 

 

 

 

ЕСЛИ…, то - Р q (импликант)

И

-

P & g

Семантическая область алгебры высказываний содержит всего 2 значения:

истина и ложь( 1 и 0 ). Каждое элементарное высказывание обозначается ма-

лыми латинскими буквами (литералы). Используя элементарные высказыва-

ния и логические связки, можно составить сложные высказывания. Алгебра высказываний базируется на алгебре Буля, а в алгебре Буля аналогично вы-

сказываниям – функция.

Если некоторое высказывание в качестве аргументов имеет m литералов, то оно m – местное.

Буквой Е в высказываниях обозначается множество всех высказываний от m – аргументов. Все множество высказываний можно разделить на 3 класса:

1.Общезначимые высказывания (тарфтология)

2.Выполнимые высказывания.

3.Невыполнимые высказывания.

Общезначимое - высказывание , принимающее значение ИСТИНА для любых наборов литералов.

Выполнимые – высказывания, которые имеют хотя бы одну интерпретацию.

Интерпретационные высказывания – некоторый набор литералов, при кото-

ром высказывание принимает значение ИСТИНА.

Высказывание, которое не имеет на одной интерпритации, называется невы-

полнимым.

Основными задачами алгебры высказываний являются алгоритмы опреде-

ления выполнимости и общезначимости высказываний. Так как АВ базиру-

ется на Булевой алгебре, то все методы последней применимы к первой , в

том числе и методы представления функций.

83

Основная форма представления высказываний является ДСНФ , а иногда и КСНФ.

p

q

v

y

 

 

 

 

0

0

0

0

 

 

 

 

0

0

1

1

 

 

 

 

0

1

0

1

 

 

 

 

0

1

1

0

 

 

 

 

1

0

0

1

 

 

 

 

1

0

1

0

 

 

 

 

1

1

0

1

 

 

 

 

1

1

1

0

 

 

 

 

ДСНФ

f ( p, q, v ) = p q v p q v p q v pq v

КСНФ

f ( p, q, v ) = ( p q v ) & ( p q v ) ( p q v ) & ( p q v )

ДСНФ и КСНФ можно свести к ДНФ и КНФ.

Сведем КСНФ к КНФ.

p q v

00

01

11

10

0

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

КНФ

f ( p, q, v ) = ( p q v ) & ( q v ) & ( p v )

Анализ высказываний, представленных в ДНФ.

Задача в ДНФ общезначна, если каждый из ее элементов общезначен (дизъ-

юнкт). Высказывание выполнимое в ДНФ , если выполним хотя бы один дизъюнкт.

84

Пример.

Дано сложное высказывание, зависящее от 3-х литералов p, q, r, заданное таблично:

p

q

r

A1

A2

 

 

 

 

 

0

0

0

1

0

 

 

 

 

 

0

0

1

1

0

 

 

 

 

 

0

1

0

0

1

 

 

 

 

 

0

1

1

1

1

 

 

 

 

 

1

0

0

1

0

 

 

 

 

 

1

0

1

0

1

 

 

 

 

 

1

1

0

1

1

 

 

 

 

 

1

1

1

1

1

 

 

 

 

 

Представим высказывания А1 и А2 в ДНФ, для этого составим карты Карно :

 

А1 p q r

00

 

01

11

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

1

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1 = qr + p q + p r

 

 

 

 

 

А2 p q r

00

 

01

11

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1 = q + pr

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда высказывание f

имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f = qr + p q + p r + q + pr

 

 

По полученному f можно сделать вывод, что высказывание является выпол-

нимым. Это следует из того ,что выполнимым является 1 из дизъюнктов,

85

например pr , если p = 1 и r = 1 , то pr = 1 и следовательно все высказывания принимают значение true.

Логика высказываний занимаетсяся логическими связями, а логика предика-

тов проникает в структуру высказываний и исследует связь того, о ком или о чем идет речь (субъект) с тем, что говорится о данном объекте (предикат). По-

этому язык логики предикатов лучше приспособлен для выражения логиче-

ских связей между различными понятиями и утверждениями P(x1, x2, …,xn). N – местный предикат есть неоднородная двузначная логическая функция Аргументы х12n представляют собой объекты из множеств их представле-

ния, т.е. х1 х1 х2 х2

Конкретное значение аргументов называют предметными постоянными.

Предметные переменные и const образуют класс логических понятий – термы.

При замещении аргумента Хк (предмет var), некоторым его значениям а

(предмет const) n – местный предикат р(х12, …,хn) превращается в ( n – 1 ) местный предикат p(x1,x2,…ki-1,a,ki+1,xn). И от переменной хn он уже не зависит. Присвоив значение всем переменным n местного предиката из соответ-

ствующих областей определения, мы получим высказывание,которое можно рассматривать как О местный предикат.

Например: дан 3-х местный предикат p(x1,x2,x3) для которых х1 есть сумма х2 и х3

При подстановке х1 = 5 он переходит в двуместный предикат вида р (5,х23)

При подстановке х2 = 2 он переходит в одноместный предикат вида р (5,2,х3)

При х3 = 3 , он становится истинным высказыванием При х3 3 - ложным.

86

В логике предикатов большое значение имеют две операции, которые называются КВАНТОРН., с помощью которых выражается отношение общности к существованию.

Пусть предикат р(х) определенный на множестве М , утверждение , что все х М и обладают свойством р(х) , записывают с помощью квантора общности

x p(x) {Для всех х ,р(х) }.

Утверждение ,что существует хотя бы 1 объект х из множества М , обла-

дающий свойством р(х), записывается с помощью квантора существования:

х р(х) {существует такой х, что р(х)}

Вэтих двух выражениях встречаются переменные х , но они не зависят от значения этой переменной. Кванторы общности и существования связыва-

ют переменные х , превращая одноместный предикат в высказывание.

Рассмотрим предикат р(х) , где х – простое число. Предикат р определен на множестве натуральных чисел. Подставляя вместо х числа натурального ряда,

получаем счетное множество высказываний. Некоторые из них р(1),р(2),р(3)…. являются истинными. Высказывание х р(х) – ложное, а

х р(х) для 2-го предиката (некоторые числа простые) – истинными.Между кванторами общности и существования имеют место соотношениния, обоб-

щающие законы де Моргана вида:

х р(х) = х p(x)

х р(х) = х p(x)

Применение квантора к n – местному предикату, превращает его в (n – 1)

местный предикат. Кванторы можно также применять к нескольким раз-

личным переменным ( по 1 квантору к-л. типа к каждой переменной). Если к n местному предикату применяется k кванторов, то он превращается в

(n – k) предикат.

87

Переменные , к которым применяются кванторы – связанные , остальные переменные – свободные.

Например: из двуместного предиката р(х,у) можно получить следующий одноместные предикаты:

x p(x,y)

x p(x,y)

y p(x,y)

y p(x,y)

атак же высказывания:

x y p(x,y);

x y p(x,y);

…………………

x y p(x,y); и т.д.

Порядок следования одноименных кванторов не имеет значения, но раз-

ноименные переставлять нельзя.

x y p(x,y) y x p(x,y)

x y p(x,y) y x p(x,y)

Вэтом можно убедиться на примере:

p(х,у) = << x делит у >>

 

x

y

<<

x

делит

у

>> - это высказывание истинное

 

y

x

<<

y

делит

x

>> - это высказывание ложное.

Категорические высказывания.

В традиционной логике большое внимание уделяется 4-м типам катего-

рических высказываний , которые обозначаются:

A, E, I, O.

А – общеутвержденное высказывание.

 

<< Всякое S суть P >>

 

Для всех х ,если х обладает свойством S , то

х обладает и свойством р.

x ( S(x) p(x))

 

88

Е – общеотрицательное высказывание

<<никакое S не есть p >>

x ( S(x) p(x) )

Для всех х , если х обладает свойством S ,то он обладает свойством р.

I - частноутвердительное высказывание.

<< некоторое S суть р >>

x ( S(x) & p(x))

cуществует такой объект х , который обладает свойством S и одновре-

менно обладающий свойством р.

О – частноотрицательное высказывание

<< некоторое S не суть р >>

x ( S(x) & p(x) )

существует такой объект х, который обладает свойством S и не обладает свойством р.

Пример: S(x) = << x – селедка >> p(x) = << x – рыба >>

Четырем типам высказываний соответствуют утверждения:

А : всякая селедка – рыба Е : никакая селедка не является рыбой

I : некоторая селедка – рыба

О: некоторая селедка не является рыбой

Взаконах де Моргана эти категоричные высказывания выглядят следующим образом:

x (S(x) p(x)) x (S(x) & p(x) );

x (S(x) p(x) ) x (S(x) & p(x));

x (S(x) p(x) ) x (S(x) & p(x));

x (S(x) p(x)) x (S(x) & p(x) );

89

Высказываеие А и О, а так же Е и I отличаются друг от друга. Если одно из них истинное, то другое – ложно и нызываются противоположными.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АВТОМАТОВ.

Конечный автомат:

x1

 

y1

………КА ………

xn

yn

Рассмотрим следующий элемент:

Дано некоторое логическое устройство ,имеющее один вход и один выход:

х1

 

у1

 

 

 

На вход подается некоторая двоичная последовательность: х = 011101001101

Алгоритм устройства следующий:

Выходом У будет текущего и предыдущего элемента вход. последова-

тельности:

У = 10011101011

С помощью логических устройств, которые мы рассматривали ранее, данная задача не выполнима. Для решения этой задачи нужно применить устройство конечного автомата.

Основные определения:

Декарт. Произведение 2-х множеств АВ называется множество С ,элементы которого составляют пары исходных элементов 2-х множеств.

Пример: С = А*В; А{a1,a2,a3}; B{b1,b2} C{(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)}

Конечный автомат – объект определенный 5-ю параметрами:

1) S = < A, Q, V, , >

90

A – множество букв входящего алфавита;

Q – множество сост. автомата;

V – множество букв выход. алфавита;

: A*Q Q - функция переход. КА;

: A*Q V - функция выходов

Пример конечного автомата: Задан вход и выход , набор , и набор состояний:

A = {a0,a1}, V = { V0, V1}, Q = { q0, q1, q2}.

Одним из способов задания функции переходов и выходов является таблич-

ный метод:

 

Функция переходов

Функция выходов

 

q0

q1

q2

 

 

 

 

a0

q1

q0

q2

 

 

 

 

a1

q2

q1

q0

 

 

 

 

 

q0

q1

q2

 

 

 

 

a0

v0

v1

v1

 

 

 

 

a1

v1

v1

v0

 

 

 

 

С помощью 2-х функций из 3-х исходных множеств полностью задается КА.

Кроме табличного способа задания КА можно использовать аппарат графов.

Граф – топологический объект , основными элементами которого являются вершины.

1

2

1,2 – вершины

Ребро графа может соединять вершины и входить само в себя.

1) Неориентировочные графы.

1 2

Для данного графа имеет значение соединение между собой, направления не учитываются.

2) Ориентировочные графы.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]