ODM_Лекции
.pdf81
Второй искл. переменной - х4 |
или х5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Получим f (1,0) |
f (1,1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
x4 x5 |
00 |
01 |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f11 = x 2 + x 5 + x4 = x 2 x5 + x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
x4 x5 |
00 |
01 |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f10 = x 2 x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Функции f(0,0) и f(0,1) получ. искл. х4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
f00 = х5 f01 = x 1 + х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
По имеющимся данным строим принц. схему каск. метода : |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f 00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
f 0 |
& |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f 01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
f |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x4 |
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
1 |
|
|
|
f 1 |
& |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f00 = х5 f01 = x 1 + х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
82
АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ И ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ.
Логические связки алгебры высказываний:
НЕ |
- |
|
|
|
|
|
|
ИЛИ - Р q |
|
|
P |
||||||
|
|
|
|
|
|
ЕСЛИ…, то - Р q (импликант) |
||
И |
- |
P & g |
Семантическая область алгебры высказываний содержит всего 2 значения:
истина и ложь( 1 и 0 ). Каждое элементарное высказывание обозначается ма-
лыми латинскими буквами (литералы). Используя элементарные высказыва-
ния и логические связки, можно составить сложные высказывания. Алгебра высказываний базируется на алгебре Буля, а в алгебре Буля аналогично вы-
сказываниям – функция.
Если некоторое высказывание в качестве аргументов имеет m литералов, то оно m – местное.
Буквой Е в высказываниях обозначается множество всех высказываний от m – аргументов. Все множество высказываний можно разделить на 3 класса:
1.Общезначимые высказывания (тарфтология)
2.Выполнимые высказывания.
3.Невыполнимые высказывания.
Общезначимое - высказывание , принимающее значение ИСТИНА для любых наборов литералов.
Выполнимые – высказывания, которые имеют хотя бы одну интерпретацию.
Интерпретационные высказывания – некоторый набор литералов, при кото-
ром высказывание принимает значение ИСТИНА.
Высказывание, которое не имеет на одной интерпритации, называется невы-
полнимым.
Основными задачами алгебры высказываний являются алгоритмы опреде-
ления выполнимости и общезначимости высказываний. Так как АВ базиру-
ется на Булевой алгебре, то все методы последней применимы к первой , в
том числе и методы представления функций.
83
Основная форма представления высказываний является ДСНФ , а иногда и КСНФ.
p |
q |
v |
y |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
ДСНФ
f ( p, q, v ) = p q v p q v p q v pq v
КСНФ
f ( p, q, v ) = ( p q v ) & ( p q v ) ( p q v ) & ( p q v )
ДСНФ и КСНФ можно свести к ДНФ и КНФ.
Сведем КСНФ к КНФ.
p q v |
00 |
01 |
11 |
10 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
КНФ
f ( p, q, v ) = ( p q v ) & ( q v ) & ( p v )
Анализ высказываний, представленных в ДНФ.
Задача в ДНФ общезначна, если каждый из ее элементов общезначен (дизъ-
юнкт). Высказывание выполнимое в ДНФ , если выполним хотя бы один дизъюнкт.
84
Пример.
Дано сложное высказывание, зависящее от 3-х литералов p, q, r, заданное таблично:
p |
q |
r |
A1 |
A2 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
Представим высказывания А1 и А2 в ДНФ, для этого составим карты Карно :
|
А1 p q r |
00 |
|
01 |
11 |
10 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A1 = qr + p q + p r |
|
|
|
|
|||||||||||
|
А2 p q r |
00 |
|
01 |
11 |
10 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 = q + pr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда высказывание f |
имеет вид: |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
f = qr + p q + p r + q + pr |
|
|
По полученному f можно сделать вывод, что высказывание является выпол-
нимым. Это следует из того ,что выполнимым является 1 из дизъюнктов,
85
например pr , если p = 1 и r = 1 , то pr = 1 и следовательно все высказывания принимают значение true.
Логика высказываний занимаетсяся логическими связями, а логика предика-
тов проникает в структуру высказываний и исследует связь того, о ком или о чем идет речь (субъект) с тем, что говорится о данном объекте (предикат). По-
этому язык логики предикатов лучше приспособлен для выражения логиче-
ских связей между различными понятиями и утверждениями P(x1, x2, …,xn). N – местный предикат есть неоднородная двузначная логическая функция Аргументы х1,х2,хn представляют собой объекты из множеств их представле-
ния, т.е. х1 х1 х2 х2
Конкретное значение аргументов называют предметными постоянными.
Предметные переменные и const образуют класс логических понятий – термы.
При замещении аргумента Хк (предмет var), некоторым его значениям а
(предмет const) n – местный предикат р(х1,х2, …,хn) превращается в ( n – 1 ) местный предикат p(x1,x2,…ki-1,a,ki+1,xn). И от переменной хn он уже не зависит. Присвоив значение всем переменным n местного предиката из соответ-
ствующих областей определения, мы получим высказывание,которое можно рассматривать как О местный предикат.
Например: дан 3-х местный предикат p(x1,x2,x3) для которых х1 есть сумма х2 и х3
При подстановке х1 = 5 он переходит в двуместный предикат вида р (5,х2,х3)
При подстановке х2 = 2 он переходит в одноместный предикат вида р (5,2,х3)
При х3 = 3 , он становится истинным высказыванием При х3 3 - ложным.
86
В логике предикатов большое значение имеют две операции, которые называются КВАНТОРН., с помощью которых выражается отношение общности к существованию.
Пусть предикат р(х) определенный на множестве М , утверждение , что все х М и обладают свойством р(х) , записывают с помощью квантора общности
x p(x) {Для всех х ,р(х) }.
Утверждение ,что существует хотя бы 1 объект х из множества М , обла-
дающий свойством р(х), записывается с помощью квантора существования:
х р(х) {существует такой х, что р(х)}
Вэтих двух выражениях встречаются переменные х , но они не зависят от значения этой переменной. Кванторы общности и существования связыва-
ют переменные х , превращая одноместный предикат в высказывание.
Рассмотрим предикат р(х) , где х – простое число. Предикат р определен на множестве натуральных чисел. Подставляя вместо х числа натурального ряда,
получаем счетное множество высказываний. Некоторые из них р(1),р(2),р(3)…. являются истинными. Высказывание х р(х) – ложное, а
х р(х) для 2-го предиката (некоторые числа простые) – истинными.Между кванторами общности и существования имеют место соотношениния, обоб-
щающие законы де Моргана вида:
х р(х) = х p(x)
х р(х) = х p(x)
Применение квантора к n – местному предикату, превращает его в (n – 1)
местный предикат. Кванторы можно также применять к нескольким раз-
личным переменным ( по 1 квантору к-л. типа к каждой переменной). Если к n местному предикату применяется k кванторов, то он превращается в
(n – k) предикат.
87
Переменные , к которым применяются кванторы – связанные , остальные переменные – свободные.
Например: из двуместного предиката р(х,у) можно получить следующий одноместные предикаты:
x p(x,y)
x p(x,y)
y p(x,y)
y p(x,y)
атак же высказывания:
x y p(x,y);
x y p(x,y);
…………………
x y p(x,y); и т.д.
Порядок следования одноименных кванторов не имеет значения, но раз-
ноименные переставлять нельзя.
x y p(x,y) y x p(x,y)
x y p(x,y) y x p(x,y)
Вэтом можно убедиться на примере:
p(х,у) = << x делит у >>
|
x |
y |
<< |
x |
делит |
у |
>> - это высказывание истинное |
|
y |
x |
<< |
y |
делит |
x |
>> - это высказывание ложное. |
Категорические высказывания.
В традиционной логике большое внимание уделяется 4-м типам катего-
рических высказываний , которые обозначаются: |
A, E, I, O. |
А – общеутвержденное высказывание. |
|
<< Всякое S суть P >> |
|
Для всех х ,если х обладает свойством S , то |
х обладает и свойством р. |
x ( S(x) p(x)) |
|
88
Е – общеотрицательное высказывание
<<никакое S не есть p >>
x ( S(x) p(x) )
Для всех х , если х обладает свойством S ,то он обладает свойством р.
I - частноутвердительное высказывание.
<< некоторое S суть р >>
x ( S(x) & p(x))
cуществует такой объект х , который обладает свойством S и одновре-
менно обладающий свойством р.
О – частноотрицательное высказывание
<< некоторое S не суть р >>
x ( S(x) & p(x) )
существует такой объект х, который обладает свойством S и не обладает свойством р.
Пример: S(x) = << x – селедка >> p(x) = << x – рыба >>
Четырем типам высказываний соответствуют утверждения:
А : всякая селедка – рыба Е : никакая селедка не является рыбой
I : некоторая селедка – рыба
О: некоторая селедка не является рыбой
Взаконах де Моргана эти категоричные высказывания выглядят следующим образом:
x (S(x) p(x)) x (S(x) & p(x) );
x (S(x) p(x) ) x (S(x) & p(x));
x (S(x) p(x) ) x (S(x) & p(x));
x (S(x) p(x)) x (S(x) & p(x) );
89
Высказываеие А и О, а так же Е и I отличаются друг от друга. Если одно из них истинное, то другое – ложно и нызываются противоположными.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АВТОМАТОВ.
Конечный автомат:
x1 |
|
y1 |
………КА ………
xn |
yn |
Рассмотрим следующий элемент:
Дано некоторое логическое устройство ,имеющее один вход и один выход:
х1 |
|
у1 |
|
|
|
На вход подается некоторая двоичная последовательность: х = 011101001101
Алгоритм устройства следующий:
Выходом У будет текущего и предыдущего элемента вход. последова-
тельности:
У = 10011101011
С помощью логических устройств, которые мы рассматривали ранее, данная задача не выполнима. Для решения этой задачи нужно применить устройство конечного автомата.
Основные определения:
Декарт. Произведение 2-х множеств АВ называется множество С ,элементы которого составляют пары исходных элементов 2-х множеств.
Пример: С = А*В; А{a1,a2,a3}; B{b1,b2} C{(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)}
Конечный автомат – объект определенный 5-ю параметрами:
1) S = < A, Q, V, , >
90
A – множество букв входящего алфавита;
Q – множество сост. автомата;
V – множество букв выход. алфавита;
: A*Q Q - функция переход. КА;
: A*Q V - функция выходов
Пример конечного автомата: Задан вход и выход , набор , и набор состояний:
A = {a0,a1}, V = { V0, V1}, Q = { q0, q1, q2}.
Одним из способов задания функции переходов и выходов является таблич-
ный метод: |
|
Функция переходов |
Функция выходов |
|
q0 |
q1 |
q2 |
|
|
|
|
a0 |
q1 |
q0 |
q2 |
|
|
|
|
a1 |
q2 |
q1 |
q0 |
|
|
|
|
|
q0 |
q1 |
q2 |
|
|
|
|
a0 |
v0 |
v1 |
v1 |
|
|
|
|
a1 |
v1 |
v1 |
v0 |
|
|
|
|
С помощью 2-х функций из 3-х исходных множеств полностью задается КА.
Кроме табличного способа задания КА можно использовать аппарат графов.
Граф – топологический объект , основными элементами которого являются вершины.
1 |
2 |
1,2 – вершины |
Ребро графа может соединять вершины и входить само в себя.
1) Неориентировочные графы.
1 2
Для данного графа имеет значение соединение между собой, направления не учитываются.
2) Ориентировочные графы.