ODM_Лекции

31

Аппарат работы с картами и их преимущество.

1)Простота применения .

2)Наглядность расположения интервалов.

Недостатки:

1)Сложность работы возростает намного быстрее, чем увеличивается число эле-

ментов функции.

2)Трудоемкость алгоритмизации.

Исходя из недостатков следует, что для работы с функциями большего числа пе-

ременных нужны иные методы, причем они должны быть не графическими а аналитическими.

Для компьюторной технологии существует отличный от рассмотренного метода минимизации множеств ,который называется метод Квайна.

МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ МЕТОДОМ КВАЙНА.

Максимальный интервал I , который не содержится ни в каком другом интервале I Iк

где Iк - все интервалы функции, кроме I .

Рассмотрим функцию, заданную в СНФК:

32

Лемма.

Если в представление функции включен не максимальный интервал, то этот интервал может быть преобразован с помощью вычеркивания первичных термов.

Доказательство:

Исходя из определения , в функциональном представлении присутствует интервал, содержащий не максимум,а состоящий из некоторых первичных термов не максимальный интервал. Следовательно, максимальный интервал мажет быть получен вычеркиванием незначительных термов из немаксималь-

ного интервала.

М= А + В A = А + В

В– максимальный интервал

ВA В - не максимальный интервал

Вычеркиванием терма A – получим максимальный интервал.

Тупиковой формой –называется нормальная форма Кантора, из которой не может быть вычеркнут ни один терм без изменения представления функции.

Минимальной формой – называется тупиковаяформа, минимальной слож-

ности Выражения для максимальных интервалов называются простыми импли-

кантами.

ТЕОРЕМА.

33

Все тупиковые ,а следовательно и минимальные формы содержатся в объ-

единении всех простых импликант.

Доказательство:

Из определения следует,что если вНФК присутствует неминимальный ин-

тервал ,то она не является тупиковой и не является минимальной.

Следовательно, тупиковой и минимальной формой есть объединение неко-

торых простых импликант из множества всех простых импликант.

Согласно вышеуказанной теореме 1-й шаг метода Квайна состоит в выделе-

нии простых импликант функции и составлении таблицы.

Строки соответствуют простым импликантам.

Столбцы – конституентам функции.

Если конституента содержится соответственном максимальном интерва-

ле, то в клетке ставится 1, если нет, то клетка остаѐтся пустой.

2-й шаг Состоит в том, что из множества простых импликант составляются всевоз-

можные подмножества, обладающие свойствами :

1.Элементы подмножества суммарно покрывают все конституенты функ-

ции.

2.При вычеркивании любого элемента подмножества свойство 1 не вы-

полняется.

Подмножество, удовлетворяющее свойствам называется минимальными

покрытиями таблицы Квайна.

34

ТЕОРЕМА Возможные минимальные покрытия таблицы Квайна представляют все

тупиковые формы функционального представления, среди которых со-

держатся и минимальные формы.

Доказательство:

Необходимость следует из того, что тупиковые и минимальные формы есть объединение простых импликант. Достаточность следует из того ,

что не возможно вычеркнуть простую импликанту, а следовательно лю-

бой первичный термин, без нарушения покрытия всех конституент функции.

СПОСОБЫ ПОКРЫТИЯ ТАБЛИЦЫ КВАЙНА При первом способе выделяются простые импликанты, без которых не-

возможно представление функции. Их характерной особенностью является то,

что некоторые конституенты принадлежат только им. Для приведеннолго

примера такими импликантами являются 0х1 1х0.

Объединение этих импликант называется ядром покрытия. Если ядро по-

крытия не перекрывает все конституенты функции, то к нему добавляются дополнительные импликанты до полного покрытия. Все минимальные покры-

тия отыскиваются с помощью простого перебора.

Так для нашего примера: ядро покрытия покрывает конституенты

Констутиента 111 осталась непокрытой ,следовательно к ядру нужно доба-

вить еще одну импликанту. При этом получаем 2 минимальных покрытия:

{0х1 , 1х0 , х11} {0х1 , 1х0 , 11х}

Первому покрытию соответствует тупиковая форма

f = М 1М3 + М1 М 3 + М2 М3

35

а второму:

f = М 1 М3 + М1М3 + М1М2

Такой способ образования минимальных покрытий для функций с большим

числом переменных затруднен при применении.

Рассмотрим другой ,более эффективный способ.

Для этого каждую простую импликанту таблицы Квайна представим с помо-

щью множества. При этом будем считать ,что для таблицы Квайна множество

– малые латинские буквы.

В этом случае конституенты покрываются следующими множествами.

001 – P1=a

011 – P3=a+b

100 – P4=c

110– P6=c+d

111– P7=b+d

Из этого следует, что все возможные минимальные покрытия представля-

ются множествам Р равным:

Р = а( а + b ) с ( с + d )( b + d)

Применяя, рассмотренные ранее, законы для операций над множествами:

Р = а( а + b ) c ( c + d )( b + d ) = ac ( b + d ) = acb + acd

acb – { 0x1, 1x0, x11 } acd – { 0x1, 1x0, 11x }

36

Рассмотрим более сложный пример . Функция от четырех переменных:

Выпишем все образующие функцию конституенты, разбив на классы по ко-

личеству единиц.

Объединяя их, получим: х10х х10х

37

Следовательно имеем одну минимизированную форму f1

P = a(b+c)(a+d)(e+f)a(b+d)(c+e)(a+f) = a(b+c)(e+f)(b+d)(c+e) = a(b+cd)(e+cf) =

(ab+acd)(e+cf) = abe + abcf + acde + acdf

Алгебра – некоторое множество М , с определенными на этом множестве операциями. Все функции ,заданные на М ,обозначаются буквой S –сигнатура алгебры. Множество М – носитель алгебры. Произв. алгебра А обозначается:

А < М, S >

38

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ.

1. Алгебра А = < М , f0 > ,где f0 - двуместная функция, называется группой.

При этом f : a , b с , c = ab - обобщенное умножение С обладает свойствами:

- если (а,b М, то результат обобщенного умножения так же принадлежит М

ab = ba

называется коммутативной или абелевой группой.

ПРИМЕРЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ

N - множество натуральных чисел

R - множество целых чисел

Z - множество действительных чисел Определим алгебру вида:

А = < N, + , * , - >

Эта алгебра не является алгебраической системой А = < N < + , * , > - алгебраическая система

Причем в данном примере содержится алфавит из бесконечного числа эле-

ментов.

Существуют алгебры с конечным алфавитом. Примером такой алгебры есть алгебра подстановок.

Образовывающаяся алгебра подстановок с помощью перестановок 3-х элементов х1, х2,х3 .

Отметим возможные варианты.

39

Элементы носителя определяются следующим образом

Определим групповую операцию, как общий переход:

Составим мультипликативную таблицу:

40

Проверим выполняется ли закон ассоциативности для данного примера:

(bd)f = cf =d b(df) = bc =d

то есть, закон выполняется.

Так же можно показать, что закон справедлив для любых элементов данной алгебры .Видно, что алгебра замкнута, но не выполнено свойство коммутатив-

ности.

Поэтому алгебра – мультипликативная некоммутативная группа.

Алгебра вида А = < М , * , + >

Называется кольцом, если < М , + > есть аддитивная абелевая группа, вы-

полняется закон дистрибутивности.

Если операция обобщ. умн. кольца < М, * > содержит 1, то имеет место кольцо с единицей.

Если умн. коммут. то кольцо – коммутат. Полем называется кольцо с едини-

цей, ненулевые элементы которого образуют группу по умножению. Если эта группа имеет конечное число элементов и является абелевой, то такие поля называются полями Галуа.

Рассмотрим примеры :

1.Множество действительных чисел с опер. слож. и умноженные есть комму-

тативное поле.