ODM_Лекции

41

Из таблиц видно, что эта алгебра есть коммут. кольцо с 1. 3. А = < М, 0 , + > М{0,1,2,3,4,5,6} c = a + b mod 7

42

Для данного алфавита можно определить и обратную операцию вычитания.

а – в = а(-в)

Для данной алгебры составленна таблица :

43

По аналогии составляется таблица обратных элементов для деления.

1-1=1; 2-1=4; 3-1=5; 4-1=2; 5-1=3; 6-1=6;

Вышепреведенные алгебры являются полем Галуа.

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И ПОЛЯ ГАЛУА.

Как и в обычной алгебре можно решать системы уравнений и в полях Га-

луа.Возьмем следующую систему :

X1+3x2+6x3=2 4x1+5x2+2x3=1 2x2+x3=5

Будем решать систему по методу Гаусса :

x1=3*2-1=3*4=5 x2=5*2-1=5*4=6 x1=0*2-1=0*4=

44

5+3*6+6* =5+4+ =2+ =2 4*5+5*6=6+2=1 2*6=5

БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ.

Изоморфизмом между алгебрами называется взаимооднозначное соответствие

между носителями и сигнатурами. fi(x1,…xn) =xk (fi)[ (x1),… (xn)] = (xk)

Алгебры для которых существует изоморфизм называют изоморф-ми.

Очевидно, что законы справедливые для некоторой алгебры , также будут справедливы и для изоморфной с ней алгебры.

Булевы алгебры – алгебры вида :

A = < M, + , * , - > для которых справедливы следующие отношения :

хi M

1.xi + xj = xj + xi

2.xi * xj = xj * xi

3.(xi + xj) + xk = xi + (xj +xk)

4.(xi * xj) * xk = xi * (xj *xk)

5.(xi + xj) * xk = xi *xk+ xj*xk

6.xi + xj * xk = (xi + xj)(xi+xk)

7.xi+xj M, xi xj M

8.x = x; x = ; x + E = E; x + = x;

9. x * x = E; x * x = ;

Множество вида М = {Ij, E, }

Ij – интервалы пораждающих множеств;

E – единичное множество;

- пустое множество;

45

и определенные на нем операции +, *, - есть булева алгебра или алгебра мно-

жеств. Булевы алгебры есть частный случай фундаментальных видов алгебр.

АЛГЕБРА БУЛЯ.

Булевой переменной является переменная, которая принимает значение 0 или

1. Будем обозначать такую переменную Х. Если в некоторой алгебре Буля определены функции от к переменных, то будем называть еѐ к-значной, а сиг-

натуру обозначать как Рк .

Операция обобщ-го сложения в случае булевых алгебр называют дизъюнкци-

ей, а операция обобщ-го умножения – конъюкцией.

Групповая операция обобщ. сложения :

х1 х2 ~ x1 + x2

Операция обобщенного умножения :

Установим выполдняется ли для данной алгебры законы теории множеств :

1. Дистрибутивный закон х1(х2 х3)=х1х2 х1х3

Составим таблицу :

46

1-й закон дистрибутивности применим к алгебре Буля. Аналогичная табли-

ца для 2-го закона дистрибутивности.

2.Проверим закон де Моргана.

Отрицание конъюкции есть дизъюнкция отрицания.

x1& x 2 = x 1 x 2

48

5. Эквиваленция х1 ~ х2 « ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА »

49

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ В АЛГЕБРЕ БУЛЯ.

Функция трех переменных :

Кроме табличного задания алгебры логики применяются различные аналити-

ческие методы. К ним относятся – дизъюктивная и коньюктивная форма. Для представления в дизъюктивной соверш. норм. форме (ДСНФ) вводится фар-

кая функция единицы, которая соответствует конституентам, в которых функция принимает значение = 1.

Единичная функция записывается ,как элементарная конъюнкция, содер-

жащая n – переменных и называется минитермом. Алгоритм представления функции алгебры логики в виде ДСНФ записывается в виде:

50

1)Выбрать в таблице функции все наборы аргументов , на которых функ-

ция обращ. в единицу

2)Вычислить конъюкцию, соответствующей этим наборам аргументам.

При этом аргумент xi входит в данный набор как 1 , он вписывается без изменения в конъюнкцию, соответствующую данному набору. Если хi

входит как 0 ,то в конъюнкцию вписывается его отриц.

3)Все полученные конъюнкции соединены между собой знаками дизъ-

юнкции.

Для примера запишем ДСНФ

f(х1,х2, х3) = x 1 x 2 x 3 x 1 x2 x 3 x 1 x 2 x3 x1 x 2 x 3 x1 x 2 x3

x1 x2 x 3

Для представления функции алгебры логики в КСНФ вводится хар-кая функция О ,которая соответствует набору, на котором функция принимает значение О. Функция нуля записывается как элементарная дизъюнкция, со-

держащая n-переменных и называется макситермом.

Алгоритм построения КСНФ:

1)Выбрать в таблице функции все наборы аргументов , на которых функ-

ция обращается в О.

2)Выписать дизъюнкции, соответствующие этим наборам. При этом если

хi входит как О, он вписывается без изменений в дизъюнкцию, если хi

входит как 1, то в дизъюнкцию вписывается его отрицание.

Для примера запишем КНФ

f(х1,х2, х3) = (x1 x2 x 3 ) & ( x 1 x 2 x 3)

По аналогии с теорией множеств при минимизации:

ДСНФ ДНФ КСНФ КНФ

ДНФ,КНФ – обозначения для сокращения макситермами и минитерма-

ми. Номера мини- и макситермов являются дес-ными экв-ми соответ-