Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ODM_Лекции_Рус.DOC
Скачиваний:
43
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
1.21 Mб
Скачать

31

Введение.

Предлагаемый курс называется ОДМ - "основы дискретной математики" или в общем случае - математическая теория систем.

Дадим формальное определение системе.

Системой будем называть устройство преобразования информации.

Схематически систему можно представить следующим образом:

L

X(T)  Y(T)

X(Y)-вектор входных информационных процессов, длины N, с компонентами Xi(T).

Y(T)-вектор выходных информационных процессов, длины N, с компонентами Yi(T).

T-множество моментов времени, в течение которого происходит работа системы.

Рассмотрим подробно информационные процессы, трансформируемые или

передаваемые системы:

1.Аналоговые системы в непрерывном времени.

Представляются функцией f(t) [a;b] - область значений функции принадлежит интервалу [a;b].

f(t)

t it t

t [0,]

2.Аналоговые процессы в дискретном времени.

Дискретным временем назовем множество определенных моментов времени. Такие процессы представляются функцией от дискретного аргумента f(idt),где dt - интервал между выбранными временными отрезками

(шаг дискретизации).

3.Квантованные процессы в непрерывном времени.

Эти процессы также представляются функцией f(t), но область значений функции является конечным множеством.

f(t)

df

t t

df - шаг квантования.

4.Квантовые процессы в дискретном времени.

Представлены функцией от дискретного аргумента idt и проквантованы по уровню.

f(t)

t it t

Квантованные процессы в дискретном времени носят название цифровых процессов, потому что могут быть представлены последовательностью

цифр им соответствующих, так, например если a=1, а b=6, то представляемый цифровой процесс задается рядом:

2.5 3.5 5 5 3.5 2 2 4 5 .

Символы соответствующие цифровому процессу называются алфавитом

процесса.

В соответствие с выше указанным разделением информационных процессов

их можно классифицировать по системам.

Так системы, работающие с информационными процессами 1 и 2, называются аналоговыми системами с непрерывным и дискретным временем соответственно. Системы, использующие процесс 3, называются квантованными системами с непрерывным временем. Системы, использующие процесс 4, называются цифровыми или дискретными системами.

Эта система очень важна для организации алгоритмов и структуры анализа, и будет, является основной целью изучения данного курса.

Если говорить о математическом аппарате, который используется

для изучения дискретных систем, то таким аппаратом является раздел математики, который называется дискретная математика.

В состав дискретной математики входят следующие основные разделы:

1.Теория множеств.

2.Булева алгебра.

3.Теория автоматов.

4.Теория алгоритмов.

1.Теория множеств изучает множества и отношения между ними.

2.Булева алгебра - изучает комбинаторные системы, системы имеющие

один оператор или системы с одним состоянием.

3.Теория автоматов - занимается системами с несколькими состояниями.

4.Теория алгоритмов - само говорит за себя.

СИСТЕМЫ ИСЧИСЛЕНИЯ.

ПЕРЕВОД ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ.

1.Десятичная и двоичная система счисления.

Числа могут быть записаны в любой системе. В десятичной системе основание 10. По такому принципу можно построить произвольную систему с произвольным основанием b. В общем случае любое число N можно представить в виде полинома:

N=Pnbn+Pn-1bn-1+…+P1b1+P0b0+P-1b-1+…+P-mb-m

N=Pibi

b - основание системы;

P - целое число, называемое позиционной цифрой.

Степень и основание системы называются весами.

Пример:

547=5*102+4*101+7*100=500+40+7=547

В принципе персональные компьютеры могут быть построены на любой

системе счисления. Но используется двоичная система, потому что

имеет ряд достоинств:

1) Имеет наименьшее кол-во цифр, необходимых для записи цифр (0 и 1)

2) наиболее экономична с точки зрения аппаратной реализации.

3) обеспечивает простоту выполнения элементарных арифметических

операций.

Для перевода чисел в десятичную систему из двоичной используется

последовательность весов вида:

23 22 21 20

Пример:

1. 1011012=1*25+0*24+1*23+0*21+1*20=32+8+4+1=4510

2. 10101,11012=1*24+0*23+1*22+0*21+1*20+1*2-1+1*2-2+0*2-3+1*2-4= =16+4+1+0.5++1/16=21,812510

Восьмеричная система исчисления.

Т.К. ее основанием является 8, а это 23, то для перевода данного двоичного числа в восьмеричную его надо разбить на триады или группы по три числа.

b=10 b=2 b=8 b=16

0 0 0 0

1 1 1 1

2 10 2 2

3 11 3 3

4 100 4 4

5 101 5 5

6 110 6 6

7 111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 a

11 1011 13 b

12 1100 14 c

13 1101 15 d

14 1110 16 e

15 1111 17 f

Пример: из 2-й в 8-ю

110 100 101 =64510

6 4 5

ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА.

Применяется для облегчения чтения записи двоичных кодов. Т.К. основанием является 16, что составляет 24, то для перевода из двоичной в шестнадцатеричную двоичное число разбивается на 4-х битовые группы, называемые тетрадами.

b=10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

b=16

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

a

b

c

d

e

f

Пример:

1011 1110 1111 1001 1101 1000 = bef9d8

b e f 9 d 8

ПОРЯДОК ПЕРЕВОДА ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ

СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ (АЛГОРИТМ ПЕРЕВОДА). ПЕРЕВОД ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ.

  1. Поделить данное число на основание новой системы .

2. Перевести остаток от деления в новую систему исчисления.

Получится младший разряд нового числа.

3. Если частное от деления больше основания системы, то продолжить

деление, второй остаток от деления даст 2-й разряд и т.д.

Перевести 256 из 10-й в 8-ую.

256 8

24 32 8

16 32 4 25610=4008

16 0 4008=4*82=25610

0

Перевести 397 из 10-й в 16-ую.

397 16

32 24 16

  1. 16 1 39710=18D16

  1. 8

13

18*d=1*162+8*161+13*160=256+128+13=39710

Перевод дробной части

1.Умножить дробную часть на основание новой системы исчисления.

2.В полученном произведении выделить целую часть числа. Это будет старший разряд искомого числа.

3.Дробную часть произведения снова умножить на основание системы.

Целая часть будет следующим разрядом.

4.Выполнять умножение до получения необходимого количества разрядов.

Пример:

0,78410 перевести в двоичную

0,784

2 0,78410=0,110012

1,568

2

1,136

2

0,272

2

0,544

2

1,088

Перевести:

0,6125 в 8-ую

0,6125

8 0,612510=0,471468

4,9000

8

7,2000

8

1,6000

8

4,8000

Перевести: 0,378 в 16-ую

0,378

16 0,37810=0,60c416

2,268

378

6,048

16

288

48

0,768

16

12,288

16

4,608

Для перевода из одной системы в другую смешанного числа, необходимо отдельно перевести целую и дробную части.

ДВОИЧНО-ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА

Образуется заменой каждого десятичного разряда 4-х битовым представлением.

Пример:

7 4 3 5 (743510)

0111 0100 0011 010110-2

Пример: перевести 01100101 в двоичный эквивалент.

Представим данное число через веса его разрядов:

0110*101 + 0101*100=0110(8+2)+0101

Для упрощения умножения выразим весовой коэффициент 10 в виде (8+2). Учитывая, что умножение на 8 есть сдвиг на 3 разряда влево, а

на 2 - на 2 разряда влево, то получим.

0101

0110

0110

1000001

1=1

2=21

8=23

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ С ДВОИЧНЫМИ ЧИСЛАМИ (СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ, УМНОЖЕНИЕ, ДЕЛЕНИЕ)

Правило выполнения арифметических операций над двоичными числами задается соответствующими таблицами двоичного сложения, вычитания и умножения.

ТАБЛИЦА 2-ГО СЛОЖЕНИЯ.

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=0+1

ТАБЛИЦА 2-ГО ВЫЧИТАНИЯ.

0-0=0

1-0=1

1-1=0

0-1=1 с учетом из старшего разряда взяли единицу

ТАБЛИЦА 2-ГО УМНОЖЕНИЯ.

0*0=0

0*1=0

1*0=0

1*1=1

Двоичное сложение выполняется по тем же правилам, что и десятичное, за исключением того, что перенос в следующий разряд производится, как сумма достигнет 2-х.(1+1)

Пример:

11,25 1011,01

13,50 1101,10

24,7510 11000,112

При вычитании 2-х чисел в данном разряде при необходимости

(когда цифра в разряде вычитаемого больше в том же разряде цифры уменьшаемого) занимается единица из следующего старшего разряда.

Эта занимаемая единица равна 2-м единицам данного разряда.

Пример:

13,50 1101,10

11,25 1011,01

2,2510 0010,01

Умножение 2-х много разрядных чисел выполняется образованием частичных произведений и их последующим суммированием.

Согласно таблице двоичного умножения каждое частичное произведение равно нулю, если в соответствующем разряде множителя стоит ноль или равно множимому, сдвинутому на определенное число разрядов влево, если в разряде множителя записана еденица. Таким образом, операция умножения могоразрядных 2-х чисел сводится к операции сдвига и сложения. Положение запятой определяется также, как и при умножении десятичных чисел.

Пример:

11,5 10111

5,25 10101

60,37510 10111

00000

10111

00000

10111

1111000112

Деление:

Производится аналогично десятичному делению.

Пример:

12,375 2,25 1100,011 10,010

5,5 10010 101,1

11011

10010

10010

10010

00000

Двоичное дополнение числа.

Мы рассмотрим примеры арифметических операций, в которых используются прямые ходы. В персональных компьютерах при выполнении операции вычитания и сложения отрицательных чисел используются не прямые, а дополнительные коды, что позволяет заменить операцией сложения.

Чтобы получить дополнительный ход необходимо:

1) получить обратный код, который образуется инвертированием каждого разряда двоичного число.

прямой код: 010 110 101 011 обратный код: 101 001 010 100

2) образовать дополнительный код, который равен сумме обратного кода и еденице младшего разряда.

101 001 010 101

Пример вычитания чисел с помощью дополнительного кода.

7-3=4

0111 0111

0011 1101

0100

Единица переноса из старшего разряда отбрасывается.

Поскольку число 9 можно представить только в четырех битовым

двоичным числом, поэтому в операциях с дополнительным ходом числа всегда дополняются до четырех битового числа.

Над двоично-десятичными кодами также можно выполнять арифметические операции. При этом в результате выполнения арифметических операций получают значения запрещенных кодов, то используется прибавление или вычитание корректирующего кода.

Причем прибавление, если мы складывали, вычитание, если отнимали. Значение корректирующего кода в двоичной системе равно 0110.

ТАБЛИЦА ЗАПРЕЩЕННЫХ КОДОВ.

2 10

1010 10

1011 11

1100 12

1101 13

1110 14

1111 15

Коды являются запрещенными, потому что в десятичной системе эти числа дают перенос в старший разряд, а двоично-десятичная система использует по четыре бита на каждый десятичный разряд, поэтому эти комбинации оказываются лишними и не используются.

Пример на сложение и вычитание

5+3=810 7+5=12

1001 0111

0011 0101

1000 1100 – запр.

0110 – коррект.код

000100102

17+5=22 15-7=8

0001 0111 1111 0001 0101

0101 0111 0111

0001 1100 10002 = 810 0000 1110

0110 0110

0010 00102 0000 100010-2 = 8

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.

Теория множеств является логической основой современного математического аппарата.

Основатель теории множеств Г.Кантор определял множество следующим понятием : «под множеством понимают всякую совокупность определенных элементов, которое может быть связано с помощью некоторого закона." Множество обозначают большими буквами латинского алфавита.

Объекты, составляющие множество называются его элементами и обозначаются маленькими латинскими буквами.

Для того чтобы указать, что множество состоит из элементов X применяют, вот такую форму записи:

A={X}

Если нужно указать характеристическое свойство согласно которого

объекты объединяются во множества применяется следующая запись: A={X:...} где ... характеристическое свойство.

Например:

B={X:x2-1=0}

Элементами множества B является множество корней уравнения x2-1=0 КЛАССИФИКАЦИЯ МНОЖЕСТВ:

Условимся различать конечные и бесконечные множества.

Конечным множеством назовем множество, количество элементов которого

может быть выражено конечным числом, причем неважно, что это за число. Главное, что оно существует. Примерами конечных множеств может служить количество рук человека, количество букв на странице конспекта,

число букв во всех изданных книгах.

К конечным множествам мы также будем относить и пустое множество, не содержащее элементов.

К бесконечным множествам отнесем все множества, не являющиеся конечными. Примерами бесконечных множеств может служить множество

всех целых чисел, множество точек на плоскости.

Конечные множества могут быть заданы простым перечислением его

элементов.

Бесконечное множество может быть задано только указанием характеристического свойства элементов.

Пример: C={X1,X2,X3,X4}

Введем некоторые основные понятия и обозначения.

Для того чтобы указать, что X есть элемент множества A пишут: XA

Чтобы указать, что X не принадлежит множеству A записывают таким образом: XA

Если множества A и B совпадают, то пишут: A=B

Это означает, что элементы этих множеств одни и те же.

Пример:

B-множество всех студентов в аудитории.

A-множество всех студентов мужского пола (горный факультет).

Если элементы множества A содержатся во множестве B, то записывается это следующим образом:

AB

и читается :"A содержится в B".

АКСИОМЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Существует 6 изначальных аксиом теории множеств:

1-Аксиома существования:

"существует хотя бы одно множество".

Все аксиомы мы будем сопровождать диаграммами Эйлера.

2-Аксиома эквивалентности:

"если множество A и B состоят из одних и тех же элементов,

то они равны"

A=B

3-Аксиома объединения:

"Для двух произвольных множеств A и B существует такое множество

C, элементами которого является каждый элемент содержащийся хотя бы в одном из этих множеств".

Аксиома обобщается на случай нескольких исходных множеств и звучит так:

"Для произвольных множеств Ai существует множество C, элементами которого является каждый элемент, содержащийся хотя бы в одном из этих множеств Ai".

Аналитическое выражение для двух множеств:

C =AB

Для операции объединения справедливы свойства:

1) AA=A

2) AI = I

3) A   =A

Исходя из этих свойств бинарную операцию объединения обозначают следующим образом:

C=A+B

А множественную операцию обозначают:

M = Mi

4-Аксиома пересечения:

"Для двух произвольных множеств A и B существует множество C элементами которого является каждый элемент, принадлежащий как множеству A, так и множеству B".

I

Аналитически записывается C=A  B

читается множество C равно пересечению множеств A и B.

Для операции пересечения справедливы следующие соотношения:

1) A  A = A

2) A  I = I

3) A   =

Обобщенная аксиома на случай нескольких исходных множеств:

"Для произвольных множеств Ai существует множество C, элементами которого является каждый элемент, принадлежащий множествам Ai одновременно".

Далее бинарная операция будет обозначаться:

C=A*B

А множественная:

M= Mi

5-Аксиома универсального множества:

"Для произвольной группы множеств Ai всегда можно выбрать такое множество I, что Ai  I".

Множество I назовем единичным множеством универсальным.

6-Аксиома пустого множества:

"Всегда существует пустое множество - , которому не принадлежит ни один элемент, иначе нулевое множество".

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ.

1.Операция отрицания:

"Для произвольного множества A существует дополнение к единичному множеству, обозначаемое (не A)".

Следствие:

1) A  = I

2) A  = 

Графически изображается следующим образом:

2.Разность между множествами:

"Для произвольных множеств A,B существует множество C, определяемое как

  1. C=A\B=A 

  2. C=B\A=B 

Первая формула читается A без B, вторая - B без A.

Графически выглядит следующим образом:

I

Бинарная операция выглядит следующим образом C=A-B

3.Симметрическая разность множеств A,B.

C=A \ B  B \ A

Графически выглядит следующим образом:

Бинарная операция может быть записана следующим образом:

C=(A-B)+(B-A)=A B

ЗАКОНЫ ДЛЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ И ОБЪЕДИНЕНИЯ .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]