Исходя из формулировки объединения и пересечения :

1. Закон коммутативности

A  B = B  A

A  B = B  A

2. Закон ассоциативности

A(BC)=(AB)C

A(BC)=(AB)C

3. Закон дистрибутивности

• (AB)C=(AC)(BC)

Доказательство:

Рассмотрим выражение в левой части :

М=(AB)C

Если хМ, то значит, что хС и одновременноА илиВ

Когда хА, х(АС), а когда хВ х(ВС)

Объединение этих выражений даёт правую часть.

• (АВ)С=(АС)(ВС)

Доказательство:

Возьмем правую часть равенства. Согласно закону ассоциативности

раскроем скобки и получим:

(АС)(ВС)=АВСВАССС=АВС (упростили используя

закон поглощения ). Из записи закона ассоциативности и закона

дистрибутивности видно, что один закон можно получить из другого,

заменив знаки “” и “”, следовательно, законы двойственны.

4. Закон поглощения

Если А содержится в В, то АB=В.

Согласно аксиоме объединения в результирующее множество входят элементы, принадлежащие хотябы одному А или В, а так как все А входят в В то справедливо:

АB=В

ААМ=А

Исходя из определения операции пересечения ясно, что АМ содержится в А.В итоге получаем А.

Следствие:

Если М=1, то АА=А

5. Свойство степени.

Если множество пересекается с самим собой, то из определения пересечения следует

АА=А

6. Законы де Моргана.

Эти законы позволяют выразить законы объединения и пересечения друг через друга с использованием операции дополнения :

а) АВ=

Доказательство :

Обозначим через М: М=АВ и =. Если теперь объединение М идаст единичное множество, то закон будет доказан.

М  = А  В  = А(В )(В ). Используя определение дополнения получим :

М  =АВ=1В=1=I

б) АВ=

Доказательство :

Обозначим через М: М=АВ и =. Если теперь объединение М идаст единичное множество, то закон будет доказан.

М  = А  В  =( А)  (В )= В=1 =1=I

Законы де Моргана так же являются двойственными.

АВ=АВ.

ВЫВОДЫ ПО РАЗДЕЛУ.

1. АА

2. Если АВ и ВА, то А=В

3. Если АВ и ВС, то АС

4.   

5. А  I

6. А  В =В  А

7. А  В =В  А

8. А(ВС)=(АВ)С

9. А(ВС)=(АВ)С

10. А  А = А

11. А (ВС)=(АВ)(АС)

12. А  (ВС)=(АВ)  (АС)

13. А   = А

14. А  I= I

15. А  I = A

16. А  A = A

17. А   = 

18. Если АВ, то АВ=В, АВ=А

19. А  = I

20. A  =

21. =I

22. =

23. = A

24. Если АВ, то 

25. ( ) = 

26. ( ) = 

Минимизация функционального представления

МНОЖЕСТВ.

Определим функцию от фрагментов, являющихся множествами. Функцией будем называть взаимооднозначное отображение элементов группы множеств А_iв элементы множества С. Если каждому элементу С соответствует некоторый элемент А_i, такую функцию называют всюду значимой

С = f (A_i)

f – функция переводит элементыA_iво множество С.

Если пересечение множеств обозначать как функциональную операцию Р , то

Р (А,В) = АВ

На единичном множестве 1 заданы множества А,В,С. В этом случае с помощью известной операции над множествами переводим исходное множество в какое-либо другое.

f (А,В,С) = АВС  АС  В  АВ  AС  С  В;

Записанное выражение назовем формулой. Определим сложность формулы, как количество, содержащихся в ней исходных множеств. Для приведенного примера сложность =20. При аналазе формул первым вопросом является: «Можно ли уменьшить сложность формулы?» Сделаем это на примере применяя законы дистрибутивности и поглощения

f(А,В,С) = АВС  А  В   А(В  С)  (В  С) =

= АВС  А  B   В  С = В А  С =

=  В  С = =1

f(А,В,С) = АС  С  ВС  АВС  АВ  В = АС  С  В  АВ =

=В  АС  С;

Или :

F(А,В,С) = АС  С  ВС  АВС  АВ В = АС  С  ВС  АВ  В = АС  С  ВС  В = С  В

Как видно из примеров минимизация одних и тех же функций может дать разные результаты при применении одних и тех же законов.