Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ODM_Лекции_Рус.DOC
Скачиваний:
43
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
1.21 Mб
Скачать

Исходя из формулировки объединения и пересечения :

  1. Закон коммутативности

A  B = B  A

A  B = B  A

  1. Закон ассоциативности

A(BC)=(AB)C

A(BC)=(AB)C

  1. Закон дистрибутивности

  • (AB)C=(AC)(BC)

Доказательство:

Рассмотрим выражение в левой части :

М=(AB)C

Если хМ, то значит, что хС и одновременноА илиВ

Когда хА, х(АС), а когда хВ х(ВС)

Объединение этих выражений даёт правую часть.

  • (АВ)С=(АС)(ВС)

Доказательство:

Возьмем правую часть равенства. Согласно закону ассоциативности

раскроем скобки и получим:

(АС)(ВС)=АВСВАССС=АВС (упростили используя

закон поглощения ). Из записи закона ассоциативности и закона

дистрибутивности видно, что один закон можно получить из другого,

заменив знаки “” и “”, следовательно, законы двойственны.

  1. Закон поглощения

Если А содержится в В, то АB=В.

Согласно аксиоме объединения в результирующее множество входят элементы, принадлежащие хотябы одному А или В, а так как все А входят в В то справедливо:

АB=В

ААМ=А

Исходя из определения операции пересечения ясно, что АМ содержится в А.В итоге получаем А.

Следствие:

Если М=1, то АА=А

  1. Свойство степени.

Если множество пересекается с самим собой, то из определения пересечения следует

АА=А

  1. Законы де Моргана.

Эти законы позволяют выразить законы объединения и пересечения друг через друга с использованием операции дополнения :

а) АВ=

Доказательство :

Обозначим через М: М=АВ и =. Если теперь объединение М идаст единичное множество, то закон будет доказан.

М  = А  В  = А(В )(В ). Используя определение дополнения получим :

М  =АВ=1В=1=I

б) АВ=

Доказательство :

Обозначим через М: М=АВ и =. Если теперь объединение М идаст единичное множество, то закон будет доказан.

М  = А  В  =( А)  (В )= В=1 =1=I

Законы де Моргана так же являются двойственными.

АВ=АВ.

ВЫВОДЫ ПО РАЗДЕЛУ.

  1. АА

  2. Если АВ и ВА, то А=В

  3. Если АВ и ВС, то АС

  4.   

  5. А  I

  6. А  В =В  А

  7. А  В =В  А

  8. А(ВС)=(АВ)С

  9. А(ВС)=(АВ)С

  10. А  А = А

  11. А (ВС)=(АВ)(АС)

  12. А  (ВС)=(АВ)  (АС)

  13. А   = А

  14. А  I= I

  15. А  I = A

  16. А  A = A

  17. А   = 

  18. Если АВ, то АВ=В, АВ=А

  19. А  = I

  20. A  =

  21. =I

  22. =

  23. = A

  24. Если АВ, то

  25. ( ) =

  26. ( ) =

Минимизация функционального представления

МНОЖЕСТВ.

Определим функцию от фрагментов, являющихся множествами. Функцией будем называть взаимооднозначное отображение элементов группы множеств Аiв элементы множества С. Если каждому элементу С соответствует некоторый элемент Аi, такую функцию называют всюду значимой

С = f (Ai)

f – функция переводит элементыAiво множество С.

Если пересечение множеств обозначать как функциональную операцию Р , то

Р (А,В) = АВ

На единичном множестве 1 заданы множества А,В,С. В этом случае с помощью известной операции над множествами переводим исходное множество в какое-либо другое.

f (А,В,С) = АВС  АС  В  АВ  AС  С  В;

Записанное выражение назовем формулой. Определим сложность формулы, как количество, содержащихся в ней исходных множеств. Для приведенного примера сложность =20. При аналазе формул первым вопросом является: «Можно ли уменьшить сложность формулы?» Сделаем это на примере применяя законы дистрибутивности и поглощения

f(А,В,С) = АВС  АВ  А(В  С)  (В  С) =

= АВС  АB  В  С = В А С =

=  В  С ==1

f(А,В,С) = АС  С  ВС  АВС  АВВ = АС  С  В  АВ =

=В  АС  С;

Или :

F(А,В,С) = АС  С  ВС  АВС  АВВ = АС  С  ВС  АВ  В = АС  С  ВС  В = С  В

Как видно из примеров минимизация одних и тех же функций может дать разные результаты при применении одних и тех же законов.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]