Множество Mi равно объединению всех конституент ,содержащих Mi

Рассмотрим равенство:

I = _j-1

Возьмем пересечение левых и правых частей с M_i

Mi =_j-1M_i

Рассмотрим выражение К_j,M_i. Для него возможны два случая:

1.K_j не содержит в себе M_i, Ki*Mi = 

2.K_j  M_i , K_j*M_i =K_j

Следовательно, M_i можно представить в виде:

М_i =_l

k_l -конституенты,содержащие M_i.

ТЕОРЕМА.

Любая функция от порождающих множеств представима в виде объединения конституент.

Из аксиоматичного построения следует,что все операции представимы через операции объединения и отрицания.

Следовательно, достаточно доказать ,что объединение порождающих множеств представимо через объединение конституент, а так же ,что отрицание объединения конституент ,так же представимо через объединение множеств.

Для доказательства рассмотрим объединение произвольно образованных множеств M_i и М_к.

Согласно утверждению (M_i  М_к) ,записывающихся в виде:

М_i  М_к =_j+_l М_i  М_к =_j

при этом М – различно,так как различно число совпадающих конституент в представлениях множеств M_i иМ_к.

Остается доказать,что дополнения к объединению конституент в свою очередь есть объединение конституент .

Так как универсальльное множество является объединением всех конституент, ясно ,что если взять объединение некоторых из них, то оставшиеся конституенты будут дополнительными к исходному объединению.

Рассмотрим пример:

Функция от множеств А,В,С

f(A,В,С) = А(В  ((СА)\В)) = А(В ((С С)\В)) = А(В  (С  А) ) =

А(В  С  А) = АВ  А = А  АВС  АВ

Из пересечения АВ получена АВС  С. Ясно ,чтобы получит трех-разрядную конституенту, необходимо до термов АВ добавить С, а так как произв-но множество М:

М(С  ) = МС  М АВ = АВС  АВ

то просто получим из АВ трехразрядную конституенту.

Итак , любая функция от порождающих множеств , может быть представлена в виде объединения коституент и оно называется совершенной норм.Кантора (СНФК).

Если в представлении функции участвовали конституенты меньшей длины, то оно называется норм. формой Кантора (НФК).

Для получения РФК нужно минимизании СНФК любым (аналитическим, графическим,графо-аналитическим способом).

Назовем интервалами универсального пространства ранга n все коституенты длина l =1, n

Если какая-либо С₁ (интерв.) = С₂ С₃, то говорят что С₁ включает в себя С₂ и С₃ или С₁ покрывает С₂ и С₃

Из этого следует , что функция ,представленная в СНФК равна:

f (A,В,С) = _j=_l

где C_l - интервалы,покрывающие все конституенты К_j .

Если рассмотреть предыдущий пример,то можно заметить ,что f(А,В,С):

f (A,В,С) = АВ  А

где, АВ покрывает АВС и АВ, а втор. совпадает с А.

ГРАФИЧЕСКАЯ МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ ОТ

ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Введем геометрическое представление интервалов при n=3.

Для этого каждой из 8 конституент , сопоставив вершину трехмерного куба и двоичный эквивалент. При этом расположим вершины так,чтобы их двоичные представления отличались лишь в одном разряде.

Сопоставим коституенты с их двоичным эквивалентом:

000 –; 001 – C; 010 – В; 011 –ВС; 100 – А;

101 – АС; 110 – АВ; 111 – АВС.

Рассмотрим более сложные интервалы:

В=

О – О , где — - отсутствие разряда

Геометрически - сопоставляется ребро соединения вершины 000 и 010.

Запишем соответствие ребер интервала:

-00 = ; -01 =С; -10 = В;

0-0 = ; 0-1 =С; 1-0 = А;

00- = ; 01- =В; 10- = А;

-11 = ВС; 1-1 = АС; 11- = АВ.

По аналогии ребра конституенты можно объеденить в грань.

АВ  В В ВС = В

Соответствия граней:

--0 = ; --1 = С

-0- = ; -1- = В;

0-- = ; 1-- = А.

Для представления функции на кубе ,участвующие интервалы выделяются.

111 110

_{101 100}

001 000

f(A,В,С) = С  В

111 B110

В этом примере видно,что конституенты Ви

ВС покрытые В

^{101 100} и В и АВ покрытые В можно покрыть одним

_{001 000} интервалом В.

f(A,В,С) = С  В

и так как сложность уменьшилась с трех до двух, была произведена минимизация функции.

МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ГРАФИЧЕСКИМ СПОСОБОМ.

f(M₁,М₂,М₃) = ₁₂М₃ + ₁М₂М₃ + М₁М₂М₃ + М₁₂₃

111 110

_{101 100}

001 000

f(M₁,М₂,М₃) = ₁М₃ + М₂М₃ + М₁₂₃

МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ КАРТ

КАРНО.

Графический способ минимизации удобен для трех ,четырех переменных, а для функции пяти переменных и выше применение графического метода невозможно.

Поэтому для использования принципа этого метода для большеге количества переменных предложена модернизация.

Идея: развернуть куб на плоскости

_{000 001 011 010 000}

^{100 101 111 100 100}

Исходя из развертки куба , строится таблица:

М₁ М₂М_{3 00 01} М_{3 11 10}

	1	1
1		1

М₁

М₂

Построенная таблица – карта КАРНО.

В ней отмечены конституенты,присутствующие в функции, подобно тому, как отмеченные вершины куба объеденены в ребра и грани.

Объед. и еден. карты (интервалы).

Объединение единиц в интнрвалы в карте иначе называют склеиванием.

Этапы заполнения карты КАРНО.

1. Все конституенты , присутствующие в функции заносятся в карту с помощью единиц в соответствующие клетки.

2. Выделяют интервалы на карте по следующим принципам:

а) в один интервал объединяют только соседние единицы по вертикали или горизонтали;

б) в один интервал можно объеденить 2^к единиц, где k=0,1,2,3,4,….

в) карта циклически замкнута по вертикали и горизонтали.

г) в выделенный интервал объединено максимально возможное количество единиц.

Всего на карте выделено 3 интервала, в каждый входят те минитермы в которых он полностью находится.

Запишем минимальную функцию:

f(M₁,М₂,М₃) = М₁М₃ + М₂М₃ + М₁₂₃

Пример:

Минимизировать функцию:

f(M₁,М₂,М₃)= _{12 3} + М₁₂₃ +₁₂ М₃ + М₁₂ М₃ + М₁М₂М₃ +

+ ₁М_{2 3} + М₁М_{2 3}

_{00 01} М_{3 11 10}

1	1		1
1	1	1	1

М₁

М₂

f(M₁,М₂,М₃) = ₂ + М₁ + ₃

При правильном объединении функцию больше минимизировать невозможно.

Карта Карно для 4-х переменных:

М₁М₂ М₃М_{4 00 01 11 10}

00	1			1
01		1	1		М2
11		1	1
10		1	1		М1

^М3

М₄

f(M₁,М₂,М₃) = М₁М₄ + М₂М₄ + ₁₂₄

Пример:

f(M₁,М₂,М₃,М₄ ) (3,4,5,7,9,11,12,13 конституенты)

М₁М₂ М₃М_{4 00 01 11 10}

00			1
01	1	1	1
11	1	1
10		1	1

3 - 0011 4 - 0100 5 - 0101 7 - 0111 9 - 1001

11- 1011 12 - 1100 13 - 1101

f(M₁,М₂,М₃,М₄ )= М₂₃+ ₁М₃М₄ +М₁₂М₄

Карты Карно для 5-ти переменных:

М₄М₅

М₁М₂ М₃М₄М_{5 001} М_{3 011 010 110 111 101 100}

00
01		1	1
М2 11		1	1
М1 10			1		1

При выделении интервалов необходимо соблюдать дополнительные правила:

1. Все интервалы должны быть симметричны относительно исходных размеров карт;

2. Если 2 единицы находятся симметрично границы раздела они считаются соседними.

f(М₁,М₂,М₃,М₄,М₅) = М₂₃ М₅ + М₁₃ М₄ М₅ + М₁₂ М₃М₄₅

f(М₁,М₂,М₃,М₄,М₅) = ₁ М_{23 4}М₅ + ₁ М₂₃ М₄ М₅ +

+ М₁М_{23 4} М₅ + М₁ М₂₃ М₄ М₅ + М_{1 23 4} М₅ +

+ М_{1 23} М₄ М₅ + ₁ М₂₃ М_{4 5} + М₁ М₂₃ М_{4 5} +

+ ₁М₂М₃ М_{4 5} + М₁ М₂М₃ М_{4 5} + М_{1 2}М₃ М₄ М₅ +

+ М₁₂М_{3 4} М₅

М₁М₂ М₃М₄М_{5 001 011 010 110 111 101 100}

00
01		1	1	1	1
11		1	1	1	1
10		1	1			1	1

f(М₁,М₂,М₃,М₄,М₅) = М₂₃ М₅ + М₂ М_{4 5} + М₁₂ М₅

Аппарат работы с картами и их преимущество.

1. Простота применения .

2. Наглядность расположения интервалов.

Недостатки:

1. Сложность работы возростает намного быстрее, чем увеличивается число элементов функции.

2. Трудоемкость алгоритмизации.

Исходя из недостатков следует, что для работы с функциями большего числа переменных нужны иные методы, причем они должны быть не графическими а аналитическими.

Для компьюторной технологии существует отличный от рассмотренного метода минимизации множеств ,который называется метод Квайна.

МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ МЕТОДОМ КВАЙНА.

Максимальный интервал I_ , который не содержится ни в каком другом интервале I_  I_к

где I_к - все интервалы функции, кроме I_ .

Рассмотрим функцию, заданную в СНФК:

N	Ki	F
0	000	0
1	001	1
2	010	0
3	011	1
4	100	1
5	101	0
6	110	1
7	111	1

В левой части двоичный эквивалент конституент,а в правой присутствует ли она в функциональном представлении или нет.

Кроме интервалов,представленные конституентами выделим другие интервалы более крупные.

001 0х1

011 х11

100 1х0 - максимальные интервалы относительно конституент.

110 11х

111

Лемма.

Если в представление функции включен не максимальный интервал, то этот интервал может быть преобразован с помощью вычеркивания первичных термов.

Доказательство:

Исходя из определения , в функциональном представлении присутствует интервал, содержащий не максимум,а состоящий из некоторых первичных термов не максимальный интервал. Следовательно, максимальный интервал мажет быть получен вычеркиванием незначительных термов из немаксимального интервала.

М = А + В= А + В

В – максимальный интервал

В В - не максимальный интервал

Вычеркиванием терма – получим максимальный интервал.

Тупиковой формой –называется нормальная форма Кантора, из которой не может быть вычеркнут ни один терм без изменения представления функции.

Минимальной формой – называется тупиковаяформа, минимальной сложности

Выражения для максимальных интервалов называются простыми импликантами.

ТЕОРЕМА.

Все тупиковые ,а следовательно и минимальные формы содержатся в объединении всех простых импликант.

Доказательство:

Из определения следует,что если вНФК присутствует неминимальный интервал ,то она не является тупиковой и не является минимальной.

Следовательно, тупиковой и минимальной формой есть объединение некоторых простых импликант из множества всех простых импликант.

Согласно вышеуказанной теореме 1-й шаг метода Квайна состоит в выделении простых импликант функции и составлении таблицы.

Строки соответствуют простым импликантам.

Столбцы – конституентам функции.

	001	011	100	110	111
0х1	1	1
х11		1			1
1х0			1	1
11х				1	1

Если конституента содержится соответственном максимальном интервале, то в клетке ставится 1, если нет, то клетка остаётся пустой.

2-й шаг

Состоит в том, что из множества простых импликант составляются всевозможные подмножества, обладающие свойствами :

1. Элементы подмножества суммарно покрывают все конституенты функции.

2. При вычеркивании любого элемента подмножества свойство 1 не выполняется.

Подмножество, удовлетворяющее свойствам называется минимальными покрытиями таблицы Квайна.

ТЕОРЕМА

Возможные минимальные покрытия таблицы Квайна представляют все тупиковые формы функционального представления, среди которых содержатся и минимальные формы.

Доказательство:

Необходимость следует из того, что тупиковые и минимальные формы есть объединение простых импликант. Достаточность следует из того , что не возможно вычеркнуть простую импликанту, а следовательно любой первичный термин, без нарушения покрытия всех конституент функции.