Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ODM_Лекции_Рус.DOC
Скачиваний:
43
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
1.21 Mб
Скачать

Множество Mi равно объединению всех конституент ,содержащих Mi

Рассмотрим равенство:

I = j-1

Возьмем пересечение левых и правых частей с Mi

Mi =j-1Mi

Рассмотрим выражение Кj,Mi. Для него возможны два случая:

1.Kj не содержит в себе Mi, Ki*Mi = 

2.Kj  Mi , Kj*Mi =Kj

Следовательно, Mi можно представить в виде:

Мi =l

kl -конституенты,содержащие Mi.

ТЕОРЕМА.

Любая функция от порождающих множеств представима в виде объединения конституент.

Из аксиоматичного построения следует,что все операции представимы через операции объединения и отрицания.

Следовательно, достаточно доказать ,что объединение порождающих множеств представимо через объединение конституент, а так же ,что отрицание объединения конституент ,так же представимо через объединение множеств.

Для доказательства рассмотрим объединение произвольно образованных множеств Mi и Мк.

Согласно утверждению (Mi  Мк) ,записывающихся в виде:

Мi  Мк =j+l Мi  Мк =j

при этом М – различно,так как различно число совпадающих конституент в представлениях множеств Mi иМк.

Остается доказать,что дополнения к объединению конституент в свою очередь есть объединение конституент .

Так как универсальльное множество является объединением всех конституент, ясно ,что если взять объединение некоторых из них, то оставшиеся конституенты будут дополнительными к исходному объединению.

Рассмотрим пример:

Функция от множеств А,В,С

f(A,В,С) = А(В  ((СА)\В)) = А(В ((С С)\В)) = А(В  (СА) ) =

А(В  СА) = АВ  А = А  АВС  АВ

Из пересечения АВ получена АВС  С. Ясно ,чтобы получит трех-разрядную конституенту, необходимо до термов АВ добавить С, а так как произв-но множество М:

М(С  ) = МС  М АВ = АВС  АВ

то просто получим из АВ трехразрядную конституенту.

Итак , любая функция от порождающих множеств , может быть представлена в виде объединения коституент и оно называется совершенной норм.Кантора (СНФК).

Если в представлении функции участвовали конституенты меньшей длины, то оно называется норм. формой Кантора (НФК).

Для получения РФК нужно минимизании СНФК любым (аналитическим, графическим,графо-аналитическим способом).

Назовем интервалами универсального пространства ранга n все коституенты длина l =1, n

Если какая-либо С1 (интерв.) = С2 С3, то говорят что С1 включает в себя С2 и С3 или С1 покрывает С2 и С3

Из этого следует , что функция ,представленная в СНФК равна:

f (A,В,С) = j=l

где Cl - интервалы,покрывающие все конституенты Кj .

Если рассмотреть предыдущий пример,то можно заметить ,что f(А,В,С):

f (A,В,С) = АВ  А

где, АВ покрывает АВС и АВ, а втор. совпадает с А.

ГРАФИЧЕСКАЯ МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ ОТ

ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Введем геометрическое представление интервалов при n=3.

Для этого каждой из 8 конституент , сопоставив вершину трехмерного куба и двоичный эквивалент. При этом расположим вершины так,чтобы их двоичные представления отличались лишь в одном разряде.

Сопоставим коституенты с их двоичным эквивалентом:

000 –; 001 – C; 010 – В; 011 –ВС; 100 – А;

101 – АС; 110 – АВ; 111 – АВС.

Рассмотрим более сложные интервалы:

В=

О – О , где — - отсутствие разряда

Геометрически - сопоставляется ребро соединения вершины 000 и 010.

Запишем соответствие ребер интервала:

-00 = ; -01 =С; -10 = В;

0-0 = ; 0-1 =С; 1-0 = А;

00- = ; 01- =В; 10- = А;

-11 = ВС; 1-1 = АС; 11- = АВ.

По аналогии ребра конституенты можно объеденить в грань.

АВ  ВВ ВС = В

Соответствия граней:

--0 = ; --1 = С

-0- = ; -1- = В;

0-- = ; 1-- = А.

Для представления функции на кубе ,участвующие интервалы выделяются.

111 110

101 100

001 000

f(A,В,С) = С  В

111 B110

В этом примере видно,что конституенты Ви

ВС покрытые В

101 100 и В и АВ покрытые В можно покрыть одним

001 000 интервалом В.

f(A,В,С) = С  В

и так как сложность уменьшилась с трех до двух, была произведена минимизация функции.

МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ГРАФИЧЕСКИМ СПОСОБОМ.

f(M123) = 12М3 + 1М2М3 + М1М2М3 + М123

111 110

101 100

001 000

f(M123) = 1М3 + М2М3 + М123

МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ КАРТ

КАРНО.

Графический способ минимизации удобен для трех ,четырех переменных, а для функции пяти переменных и выше применение графического метода невозможно.

Поэтому для использования принципа этого метода для большеге количества переменных предложена модернизация.

Идея: развернуть куб на плоскости

000 001 011 010 000

100 101 111 100 100

Исходя из развертки куба , строится таблица:

М1 М2М3 00 01 М3 11 10

1

1

1

1

М1

М2

Построенная таблица – карта КАРНО.

В ней отмечены конституенты,присутствующие в функции, подобно тому, как отмеченные вершины куба объеденены в ребра и грани.

Объед. и еден. карты (интервалы).

Объединение единиц в интнрвалы в карте иначе называют склеиванием.

Этапы заполнения карты КАРНО.

  1. Все конституенты , присутствующие в функции заносятся в карту с помощью единиц в соответствующие клетки.

  2. Выделяют интервалы на карте по следующим принципам:

а) в один интервал объединяют только соседние единицы по вертикали или горизонтали;

б) в один интервал можно объеденить 2к единиц, где k=0,1,2,3,4,….

в) карта циклически замкнута по вертикали и горизонтали.

г) в выделенный интервал объединено максимально возможное количество единиц.

Всего на карте выделено 3 интервала, в каждый входят те минитермы в которых он полностью находится.

Запишем минимальную функцию:

f(M123) = М1М3 + М2М3 + М123

Пример:

Минимизировать функцию:

f(M123)= 12 3 + М123 +12 М3 + М12 М3 + М1М2М3 +

+ 1М2 3 + М1М2 3

00 01 М3 11 10

1

1

1

1

1

1

1

М1

М2

f(M123) = 2 + М1 + 3

При правильном объединении функцию больше минимизировать невозможно.

Карта Карно для 4-х переменных:

М1М2 М3М4 00 01 11 10

00

1

1

01

1

1

М2

11

1

1

10

1

1

М1

М3

М4

f(M123) = М1М4 + М2М4 + 124

Пример:

f(M1234 ) (3,4,5,7,9,11,12,13 конституенты)

М1М2 М3М4 00 01 11 10

00

1

01

1

1

1

11

1

1

10

1

1

3 - 0011 4 - 0100 5 - 0101 7 - 0111 9 - 1001

11- 1011 12 - 1100 13 - 1101

f(M1234 )= М23+ 1М3М4 12М4

Карты Карно для 5-ти переменных:

М4М5

М1М2 М3М4М5 001 М3 011 010 110 111 101 100

00

01

1

1

М2 11

1

1

М1 10

1

1

При выделении интервалов необходимо соблюдать дополнительные правила:

  1. Все интервалы должны быть симметричны относительно исходных размеров карт;

  2. Если 2 единицы находятся симметрично границы раздела они считаются соседними.

f(М12345) = М23 М5 + М13 М4 М5 + М12 М3М45

f(М12345) = 1 М23 4М5 + 1 М23 М4 М5 +

+ М1М23 4 М5 + М1 М23 М4 М5 + М1 23 4 М5 +

+ М1 23 М4 М5 + 1 М23 М4 5 + М1 М23 М4 5 +

+ 1М2М3 М4 5 + М1 М2М3 М4 5 + М1 2М3 М4 М5 +

+ М12М3 4 М5

М1М2 М3М4М5 001 011 010 110 111 101 100

00

01

1

1

1

1

11

1

1

1

1

10

1

1

1

1

f(М12345) = М23 М5 + М2 М4 5 + М12 М5

Аппарат работы с картами и их преимущество.

  1. Простота применения .

  2. Наглядность расположения интервалов.

Недостатки:

  1. Сложность работы возростает намного быстрее, чем увеличивается число элементов функции.

  2. Трудоемкость алгоритмизации.

Исходя из недостатков следует, что для работы с функциями большего числа переменных нужны иные методы, причем они должны быть не графическими а аналитическими.

Для компьюторной технологии существует отличный от рассмотренного метода минимизации множеств ,который называется метод Квайна.

МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ МЕТОДОМ КВАЙНА.

Максимальный интервал I , который не содержится ни в каком другом интервале I  Iк

где Iк - все интервалы функции, кроме I .

Рассмотрим функцию, заданную в СНФК:

N

Ki

F

0

000

0

1

001

1

2

010

0

3

011

1

4

100

1

5

101

0

6

110

1

7

111

1

В левой части двоичный эквивалент конституент,а в правой присутствует ли она в функциональном представлении или нет.

Кроме интервалов,представленные конституентами выделим другие интервалы более крупные.

001 0х1

011 х11

100 1х0 - максимальные интервалы относительно конституент.

110 11х

111

Лемма.

Если в представление функции включен не максимальный интервал, то этот интервал может быть преобразован с помощью вычеркивания первичных термов.

Доказательство:

Исходя из определения , в функциональном представлении присутствует интервал, содержащий не максимум,а состоящий из некоторых первичных термов не максимальный интервал. Следовательно, максимальный интервал мажет быть получен вычеркиванием незначительных термов из немаксимального интервала.

М = А + В= А + В

В – максимальный интервал

В В - не максимальный интервал

Вычеркиванием терма – получим максимальный интервал.

Тупиковой формой –называется нормальная форма Кантора, из которой не может быть вычеркнут ни один терм без изменения представления функции.

Минимальной формой – называется тупиковаяформа, минимальной сложности

Выражения для максимальных интервалов называются простыми импликантами.

ТЕОРЕМА.

Все тупиковые ,а следовательно и минимальные формы содержатся в объединении всех простых импликант.

Доказательство:

Из определения следует,что если вНФК присутствует неминимальный интервал ,то она не является тупиковой и не является минимальной.

Следовательно, тупиковой и минимальной формой есть объединение некоторых простых импликант из множества всех простых импликант.

Согласно вышеуказанной теореме 1-й шаг метода Квайна состоит в выделении простых импликант функции и составлении таблицы.

Строки соответствуют простым импликантам.

Столбцы – конституентам функции.

001

011

100

110

111

0х1

1

1

х11

1

1

1х0

1

1

11х

1

1

Если конституента содержится соответственном максимальном интервале, то в клетке ставится 1, если нет, то клетка остаётся пустой.

2-й шаг

Состоит в том, что из множества простых импликант составляются всевозможные подмножества, обладающие свойствами :

  1. Элементы подмножества суммарно покрывают все конституенты функции.

  2. При вычеркивании любого элемента подмножества свойство 1 не выполняется.

Подмножество, удовлетворяющее свойствам называется минимальными покрытиями таблицы Квайна.

ТЕОРЕМА

Возможные минимальные покрытия таблицы Квайна представляют все тупиковые формы функционального представления, среди которых содержатся и минимальные формы.

Доказательство:

Необходимость следует из того, что тупиковые и минимальные формы есть объединение простых импликант. Достаточность следует из того , что не возможно вычеркнуть простую импликанту, а следовательно любой первичный термин, без нарушения покрытия всех конституент функции.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]