- •1) Имеет наименьшее кол-во цифр, необходимых для записи цифр (0 и 1)
- •Пример: из 2-й в 8-ю
- •Исходя из формулировки объединения и пересечения :
- •Доказательство:
- •Возьмем правую часть равенства. Согласно закону ассоциативности
- •Законы де Моргана.
- •Доказательство :
- •Минимизация функционального представления
- •Стандартные формы представлений формул
- •Множество Mi равно объединению всех конституент ,содержащих Mi
- •Способы покрытиятаблицы квайна
- •В этом случае конституенты покрываются следующими множествами.
Множество Mi равно объединению всех конституент ,содержащих Mi
Рассмотрим равенство:
I = j-1
Возьмем пересечение левых и правых частей с Mi
Mi =j-1Mi
Рассмотрим выражение Кj,Mi. Для него возможны два случая:
1.Kj не содержит в себе Mi, Ki*Mi =
2.Kj Mi , Kj*Mi =Kj
Следовательно, Mi можно представить в виде:
Мi =l
kl -конституенты,содержащие Mi.
ТЕОРЕМА.
Любая функция от порождающих множеств представима в виде объединения конституент.
Из аксиоматичного построения следует,что все операции представимы через операции объединения и отрицания.
Следовательно, достаточно доказать ,что объединение порождающих множеств представимо через объединение конституент, а так же ,что отрицание объединения конституент ,так же представимо через объединение множеств.
Для доказательства рассмотрим объединение произвольно образованных множеств Mi и Мк.
Согласно утверждению (Mi Мк) ,записывающихся в виде:
Мi Мк =j+l Мi Мк =j
при этом М – различно,так как различно число совпадающих конституент в представлениях множеств Mi иМк.
Остается доказать,что дополнения к объединению конституент в свою очередь есть объединение конституент .
Так как универсальльное множество является объединением всех конституент, ясно ,что если взять объединение некоторых из них, то оставшиеся конституенты будут дополнительными к исходному объединению.
Рассмотрим пример:
Функция от множеств А,В,С
f(A,В,С) = А(В ((СА)\В)) = А(В ((С С)\В)) = А(В (С А) ) =
А(В С А) = АВ А = А АВС АВ
Из пересечения АВ получена АВС С. Ясно ,чтобы получит трех-разрядную конституенту, необходимо до термов АВ добавить С, а так как произв-но множество М:
М(С ) = МС М АВ = АВС АВ
то просто получим из АВ трехразрядную конституенту.
Итак , любая функция от порождающих множеств , может быть представлена в виде объединения коституент и оно называется совершенной норм.Кантора (СНФК).
Если в представлении функции участвовали конституенты меньшей длины, то оно называется норм. формой Кантора (НФК).
Для получения РФК нужно минимизании СНФК любым (аналитическим, графическим,графо-аналитическим способом).
Назовем интервалами универсального пространства ранга n все коституенты длина l =1, n
Если какая-либо С1 (интерв.) = С2 С3, то говорят что С1 включает в себя С2 и С3 или С1 покрывает С2 и С3
Из этого следует , что функция ,представленная в СНФК равна:
f (A,В,С) = j=l
где Cl - интервалы,покрывающие все конституенты Кj .
Если рассмотреть предыдущий пример,то можно заметить ,что f(А,В,С):
f (A,В,С) = АВ А
где, АВ покрывает АВС и АВ, а втор. совпадает с А.
ГРАФИЧЕСКАЯ МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ ОТ
ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ.
Введем геометрическое представление интервалов при n=3.
Для этого каждой из 8 конституент , сопоставив вершину трехмерного куба и двоичный эквивалент. При этом расположим вершины так,чтобы их двоичные представления отличались лишь в одном разряде.
Сопоставим коституенты с их двоичным эквивалентом:
000 –; 001 – C; 010 – В; 011 –ВС; 100 – А;
101 – АС; 110 – АВ; 111 – АВС.
Рассмотрим более сложные интервалы:
В=
О – О , где — - отсутствие разряда
Геометрически - сопоставляется ребро соединения вершины 000 и 010.
Запишем соответствие ребер интервала:
-00 = ; -01 =С; -10 = В;
0-0 = ; 0-1 =С; 1-0 = А;
00- = ; 01- =В; 10- = А;
-11 = ВС; 1-1 = АС; 11- = АВ.
По аналогии ребра конституенты можно объеденить в грань.
АВ В В ВС = В
Соответствия граней:
--0 = ; --1 = С
-0- = ; -1- = В;
0-- = ; 1-- = А.
Для представления функции на кубе ,участвующие интервалы выделяются.
111 110
101 100
001 000
f(A,В,С) = С В
111 B110
В этом примере видно,что конституенты Ви
ВС покрытые В
101 100 и В и АВ покрытые В можно покрыть одним
001 000 интервалом В.
f(A,В,С) = С В
и так как сложность уменьшилась с трех до двух, была произведена минимизация функции.
МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ
ГРАФИЧЕСКИМ СПОСОБОМ.
f(M1,М2,М3) = 12М3 + 1М2М3 + М1М2М3 + М123
111 110
101 100
001 000
f(M1,М2,М3) = 1М3 + М2М3 + М123
МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ КАРТ
КАРНО.
Графический способ минимизации удобен для трех ,четырех переменных, а для функции пяти переменных и выше применение графического метода невозможно.
Поэтому для использования принципа этого метода для большеге количества переменных предложена модернизация.
Идея: развернуть куб на плоскости
000 001 011 010 000
|
|
|
|
100 101 111 100 100
Исходя из развертки куба , строится таблица:
М1 М2М3 00 01 М3 11 10
-
1
1
1
1
М1
М2
Построенная таблица – карта КАРНО.
В ней отмечены конституенты,присутствующие в функции, подобно тому, как отмеченные вершины куба объеденены в ребра и грани.
Объед. и еден. карты (интервалы).
Объединение единиц в интнрвалы в карте иначе называют склеиванием.
Этапы заполнения карты КАРНО.
Все конституенты , присутствующие в функции заносятся в карту с помощью единиц в соответствующие клетки.
Выделяют интервалы на карте по следующим принципам:
а) в один интервал объединяют только соседние единицы по вертикали или горизонтали;
б) в один интервал можно объеденить 2к единиц, где k=0,1,2,3,4,….
в) карта циклически замкнута по вертикали и горизонтали.
г) в выделенный интервал объединено максимально возможное количество единиц.
Всего на карте выделено 3 интервала, в каждый входят те минитермы в которых он полностью находится.
Запишем минимальную функцию:
f(M1,М2,М3) = М1М3 + М2М3 + М123
Пример:
Минимизировать функцию:
f(M1,М2,М3)= 12 3 + М123 +12 М3 + М12 М3 + М1М2М3 +
+ 1М2 3 + М1М2 3
00 01 М3 11 10
-
1
1
1
1
1
1
1
М1
М2
f(M1,М2,М3) = 2 + М1 + 3
При правильном объединении функцию больше минимизировать невозможно.
Карта Карно для 4-х переменных:
М1М2 М3М4 00 01 11 10
-
00
1
1
01
1
1
М2
11
1
1
10
1
1
М1
М3
М4
f(M1,М2,М3) = М1М4 + М2М4 + 124
Пример:
f(M1,М2,М3,М4 ) (3,4,5,7,9,11,12,13 конституенты)
М1М2 М3М4 00 01 11 10
-
00
1
01
1
1
1
11
1
1
10
1
1
3 - 0011 4 - 0100 5 - 0101 7 - 0111 9 - 1001
11- 1011 12 - 1100 13 - 1101
f(M1,М2,М3,М4 )= М23+ 1М3М4 +М12М4
Карты Карно для 5-ти переменных:
М4М5
М1М2 М3М4М5 001 М3 011 010 110 111 101 100
-
00
01
1
1
М2 11
1
1
М1 10
1
1
При выделении интервалов необходимо соблюдать дополнительные правила:
Все интервалы должны быть симметричны относительно исходных размеров карт;
Если 2 единицы находятся симметрично границы раздела они считаются соседними.
f(М1,М2,М3,М4,М5) = М23 М5 + М13 М4 М5 + М12 М3М45
f(М1,М2,М3,М4,М5) = 1 М23 4М5 + 1 М23 М4 М5 +
+ М1М23 4 М5 + М1 М23 М4 М5 + М1 23 4 М5 +
+ М1 23 М4 М5 + 1 М23 М4 5 + М1 М23 М4 5 +
+ 1М2М3 М4 5 + М1 М2М3 М4 5 + М1 2М3 М4 М5 +
+ М12М3 4 М5
М1М2 М3М4М5 001 011 010 110 111 101 100
-
00
01
1
1
1
1
11
1
1
1
1
10
1
1
1
1
f(М1,М2,М3,М4,М5) = М23 М5 + М2 М4 5 + М12 М5
Аппарат работы с картами и их преимущество.
Простота применения .
Наглядность расположения интервалов.
Недостатки:
Сложность работы возростает намного быстрее, чем увеличивается число элементов функции.
Трудоемкость алгоритмизации.
Исходя из недостатков следует, что для работы с функциями большего числа переменных нужны иные методы, причем они должны быть не графическими а аналитическими.
Для компьюторной технологии существует отличный от рассмотренного метода минимизации множеств ,который называется метод Квайна.
МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ МЕТОДОМ КВАЙНА.
Максимальный интервал I , который не содержится ни в каком другом интервале I Iк
где Iк - все интервалы функции, кроме I .
Рассмотрим функцию, заданную в СНФК:
-
N
Ki
F
0
000
0
1
001
1
2
010
0
3
011
1
4
100
1
5
101
0
6
110
1
7
111
1
В левой части двоичный эквивалент конституент,а в правой присутствует ли она в функциональном представлении или нет.
Кроме интервалов,представленные конституентами выделим другие интервалы более крупные.
001 0х1
011 х11
100 1х0 - максимальные интервалы относительно конституент.
110 11х
111
Лемма.
Если в представление функции включен не максимальный интервал, то этот интервал может быть преобразован с помощью вычеркивания первичных термов.
Доказательство:
Исходя из определения , в функциональном представлении присутствует интервал, содержащий не максимум,а состоящий из некоторых первичных термов не максимальный интервал. Следовательно, максимальный интервал мажет быть получен вычеркиванием незначительных термов из немаксимального интервала.
М = А + В= А + В
В – максимальный интервал
В В - не максимальный интервал
Вычеркиванием терма – получим максимальный интервал.
Тупиковой формой –называется нормальная форма Кантора, из которой не может быть вычеркнут ни один терм без изменения представления функции.
Минимальной формой – называется тупиковаяформа, минимальной сложности
Выражения для максимальных интервалов называются простыми импликантами.
ТЕОРЕМА.
Все тупиковые ,а следовательно и минимальные формы содержатся в объединении всех простых импликант.
Доказательство:
Из определения следует,что если вНФК присутствует неминимальный интервал ,то она не является тупиковой и не является минимальной.
Следовательно, тупиковой и минимальной формой есть объединение некоторых простых импликант из множества всех простых импликант.
Согласно вышеуказанной теореме 1-й шаг метода Квайна состоит в выделении простых импликант функции и составлении таблицы.
Строки соответствуют простым импликантам.
Столбцы – конституентам функции.
|
001 |
011 |
100 |
110 |
111 |
0х1 |
1 |
1 |
|
|
|
х11 |
|
1 |
|
|
1 |
1х0 |
|
|
1 |
1 |
|
11х |
|
|
|
1 |
1 |
Если конституента содержится соответственном максимальном интервале, то в клетке ставится 1, если нет, то клетка остаётся пустой.
2-й шаг
Состоит в том, что из множества простых импликант составляются всевозможные подмножества, обладающие свойствами :
Элементы подмножества суммарно покрывают все конституенты функции.
При вычеркивании любого элемента подмножества свойство 1 не выполняется.
Подмножество, удовлетворяющее свойствам называется минимальными покрытиями таблицы Квайна.
ТЕОРЕМА
Возможные минимальные покрытия таблицы Квайна представляют все тупиковые формы функционального представления, среди которых содержатся и минимальные формы.
Доказательство:
Необходимость следует из того, что тупиковые и минимальные формы есть объединение простых импликант. Достаточность следует из того , что не возможно вычеркнуть простую импликанту, а следовательно любой первичный термин, без нарушения покрытия всех конституент функции.