ODM_Лекции

11

ции. При этом в результате выполнения арифметических операций получают значе-

ния запрещенных кодов, то используется прибавление или вычитание корректиру-

ющего кода.

Причем прибавление, если мы складывали, вычитание, если отнимали. Значение корректирующего кода в двоичной системе равно 0110.

ТАБЛИЦА ЗАПРЕЩЕННЫХ КОДОВ.

Коды являются запрещенными, потому что в десятичной системе эти числа дают перенос в старший разряд, а двоично-десятичная система использует по четыре бита на каждый десятичный разряд, поэтому эти комбинации оказываются лишними и не

12

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.

Теория множеств является логической основой современного математического ап-

парата.

Основатель теории множеств Г.Кантор определял множество следующим понятием

: «под множеством понимают всякую совокупность определенных элементов, кото-

рое может быть связано с помощью некоторого закона." Множество обозначают большими буквами латинского алфавита.

Объекты, составляющие множество называются его элементами и обозначаются ма-

ленькими латинскими буквами.

Для того чтобы указать, что множество состоит из элементов X применяют, вот та-

кую форму записи:

A={X}

Если нужно указать характеристическое свойство согласно которого объекты объединяются во множества применяется следующая запись: A={X:...} где

... характеристическое свойство.

Например:

B={X:x2-1=0}

Элементами множества B является множество корней уравнения x2-1=0 КЛАССИ-

ФИКАЦИЯ МНОЖЕСТВ:

Условимся различать конечные и бесконечные множества.

Конечным множеством назовем множество, количество элементов которого может быть выражено конечным числом, причем неважно, что это за число. Глав-

ное, что оно существует. Примерами конечных множеств может служить количе-

ство рук человека, количество букв на странице конспекта,

число букв во всех изданных книгах.

К конечным множествам мы также будем относить и пустое множество, не содер-

жащее элементов.

К бесконечным множествам отнесем все множества, не являющиеся конечными.

Примерами бесконечных множеств может служить множество всех целых чисел, множество точек на плоскости.

13

Конечные множества могут быть заданы простым перечислением его элементов.

Бесконечное множество может быть задано только указанием характеристического свойства элементов.

Пример: C={X1,X2,X3,X4}

Введем некоторые основные понятия и обозначения.

Для того чтобы указать, что X есть элемент множества A пишут: X A

Чтобы указать, что X не принадлежит множеству A записывают таким образом:

X A

Если множества A и B совпадают, то пишут: A=B

Это означает, что элементы этих множеств одни и те же.

Пример:

B-множество всех студентов в аудитории.

A-множество всех студентов мужского пола (горный факультет).

Если элементы множества A содержатся во множестве B, то записывается это сле-

дующим образом:

A B

и читается :"A содержится в B".

АКСИОМЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Существует 6 изначальных аксиом теории множеств:

1-Аксиома существования: "существует хотя бы одно множество".

Все аксиомы мы будем сопровождать диаграммами Эйлера.

2-Аксиома эквивалентности:

"если множество A и B состоят из одних и тех же элементов,

то они равны"

A=B

16

1.C=A\B=A В

2.C=B\A=B А

Первая формула читается A без B, вторая - B без A.

Графически выглядит следующим образом:

I

A B

Бинарная операция выглядит следующим образом C=A-B

3.Симметрическая разность множеств A,B.

C=A \ B B \ A

Графически выглядит следующим образом:

I

A B

Бинарная операция может быть записана следующим образом:

C=(A-B)+(B-A)=A B

ЗАКОНЫ ДЛЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ И ОБЪЕДИНЕНИЯ .

Исходя из формулировки объединения и пересечения :

1.Закон коммутативности

A B = B A A B = B A

2.Закон ассоциативности

A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C

3.Закон дистрибутивности

- (A B) C=(A C) (B C)

Доказательство:

Рассмотрим выражение в левой части :

М=(A B) C

17

Если х М, то значит, что х С и одновременно А или В

Когда х А, х (А С), а когда х В х (В С)

Объединение этих выражений даѐт правую часть.

- (А В) С=(А С) (В С)

Доказательство:

Возьмем правую часть равенства. Согласно закону ассоциативности раскроем скобки и получим: (А С) (В С)=А В С В А С С С=А В С (упростили используя закон поглощения ). Из записи закона ассоциативности и закона дистрибутивности видно, что один закон можно получить из другого,

заменив знаки ― ‖ и ― ‖, следовательно, законы двойственны.

4.Закон поглощения

Если А содержится в В, то А B=В.

Согласно аксиоме объединения в результирующее множество входят элементы,

принадлежащие хотябы одному А или В, а так как все А входят в В то справед-

ливо:

А B=В

А А М=А

Исходя из определения операции пересечения ясно, что А М содержится в А.В

итоге получаем А.

Следствие:

Если М=1, то А А=А

5.Свойство степени.

Если множество пересекается с самим собой, то из определения пересечения следует

А А=А

6.Законы де Моргана.

Эти законы позволяют выразить законы объединения и пересечения друг через друга с использованием операции дополнения :

18

а) А В= А В

Доказательство :

Обозначим через М: М=А В и М = А В . Если теперь объединение М и М даст единичное множество, то закон будет доказан.

М М = А В А В = А (В А ) (В В ). Используя определение дополне-

ния получим :

М М = А В А =1 В=1=I

б) А В= А В

Доказательство :

Обозначим через М: М=А В и М = А В . Если теперь объединение М и М даст единичное множество, то закон будет доказан.

М М = А В А В =( А А) (В А ) В = В А В =1 А =1=I

Законы де Моргана так же являются двойственными.

А В=АВ.

ВЫВОДЫ ПО РАЗДЕЛУ.

1.А А

2.Если А В и В А, то А=В

3.Если А В и В С, то А С

5.А I

6.А В =В А

7.А В =В А

8.А (В С)=(А В) С

9.А (В С)=(А В) С

10.А А = А

11.А (В С)=(А В) (А С)

12.А (В С)=(А В) (А С)

13.А = А

19

14.А I= I

15.А I = A

16.А A = A

17.А =

18.Если А В, то А В=В, А В=А

19.А А = I

20.A А =

21.=I

22.I =

23.А = A

24.Если А В, то В А

25.( А В ) = А В

26.( А В ) = А В

МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МНОЖЕСТВ.

Определим функцию от фрагментов, являющихся множествами. Функцией будем называть взаимооднозначное отображение элементов группы множеств Аi в эле-

менты множества С. Если каждому элементу С соответствует некоторый элемент Аi, такую функцию называют всюду значимой

С = f (Ai)

f – функция переводит элементы Ai во множество С.

Если пересечение множеств обозначать как функциональную операцию Р , то Р (А,В) = АВ

На единичном множестве 1 заданы множества А,В,С. В этом случае с помощью из-

вестной операции над множествами переводим исходное множество в какое-либо другое.

f (А,В,С) = АВС А В C A В C A В C АВ AС A С A В;

20

Записанное выражение назовем формулой. Определим сложность формулы, как ко-

личество, содержащихся в ней исходных множеств. Для приведенного примера сложность =20. При аналазе формул первым вопросом является: «Можно ли

= В C В С = В C В C =1

f(А,В,С) = АС В С A ВС АВС АВ C A В C = АС В С A В АВ = =В АС В С;

Или :

F(А,В,С) = АС В С A ВС АВС АВ C A В C = АС В С ВС АВ C

A В C = АС В С ВС В C = С В C

Как видно из примеров минимизация одних и тех же функций может дать раз-

ные результаты при применении одних и тех же законов.

СТАНДАРТНЫЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ФОРМУЛ МНОЖЕСТВ.

На 1 определении М1,М2,М3 совокупность Мi назовем порожд-ми множествами пространства и определим Мi по универсальной формуле:

Мi ; i =1;

Mi, i – первичный термом

n

Ki = M i i - конституентой

i 1