ODM_Лекции
.pdf21
n - число порожденных множеств.
Перечислим все конституенты нашего примера:
К0 = М 1 М 2 М 3 К1 = М 1 М 2М3 К2 = М 1М2 М 3 К3 = М 1М2М3
К4 = М1 М 2 М 3 К5 = М1 М 2М3 К6 = М1М2 М 3 К3 = М1М2М3
Очевидно, что каждой приведенной коституенте может быть сопоставлено дво-
ичное трехразрядное число , причем каждый разряд будет равен i первичного тер-
ма:
К0 = 000; К1 = 001; К2 = 010; К4 =011; К5 = 100; К6 = 110; К7 = 111.
Если учесть,что каждой конституенте длины П можно сопоставить n разр.
двоичное число, то общее количество конституент равно:
N = 2n
1)Выражения, заданные с помощью формул ,могут быть упрощены.
2)Необходимые шаги для упрощения не всегда очевидны и сложность упрощения находится в прямой зависимости от числа аргументов в формуле.
3)Для упрощения выражения произв. вида и произв. количества аргументов необ-
ходимо использовать математический аппарат минимизации функций подмно-
жеств.
Пересечение двух различных конституент - пустое множество.
Пересечение двух конституент – есть пересечение всех первичных термов их со-
ставляющих, если конституенты не равны , то найдется хотя бы 1 разряд с несовпа-
дающими первичными термами.
Обозначим этот разряд через i.
Mi i *Mi i*=
Объединение всех коституент,порожденных множествами Mi на универсальном множестве равно самому универсальному множеству:
n-1
I= (Mi M i)
i 0
n=1 M1, M 1 M1+ M 1=I
22
2 ^k-1
n=k к j = I
j 0
С помощью конституент, образованных множествами Mi ,можно представить ис-
ходное универсальное множество.
1. Проиллюстрируем на графическом примере:
(универсальное множество I, внутри М1-квадрат, М2-треугольник, М3-круг).
I |
|
|
|
|
М3 |
|
|
|
7 |
1 |
|
4 |
|
||
5 |
3 |
||
М1 6 |
|||
|
|||
|
|
2 М2 |
В дополнение к рассматриваемым свойствам ,рассмотрим сколько множеств на
I можно образовать из конституент.
Для этого произвольному множеству сопоставим m-разрядное двоичное чис-
ло,где m-длина конституент. При этом 0-отсутствие конституенты, 1-
присутствует.
Так например, двоичному числу
01101001 соответствует множество, из объединенных 0,3,5,и 6 конституент.
Вместо двоичных чисел можно использовать их десятичный эквивалент:
d = 1+23+25+26 = 1+8+32+64 = 40+ 65 = 105
Если любому, образованному из конституент, множеству соответствует m-
разрядное двоичное число, то таких множеств может быть 2m,а так как число кон-
ституент = 2n , где n-число образованных множеств,то общее число, которое обра-
зуется из конституент = 22^n
Для иллюстрации это количество -256.
Рассмотрев понятие конституент зададимся вопросом:»Как конституенты связаны с функциями от образующих множеств?»
23
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ.
Множество Mi равно объединению всех конституент ,содержащих Mi
Рассмотрим равенство:
2 ^n-1
I = к j-1 j 0
Возьмем пересечение левых и правых частей с Mi
2 ^n-1
Mi = к j-1Mi
j 0
Рассмотрим выражение Кj,Mi. Для него возможны два случая:
1.Kj не содержит в себе Mi, Ki*Mi = 2.Kj Mi , Kj*Mi =Kj
Следовательно, Mi можно представить в виде:
2 ^( n 1)-1
Мi = к l l 0
kl -конституенты,содержащие Mi.
ТЕОРЕМА.
Любая функция от порождающих множеств представима в виде объединения конституент.
Из аксиоматичного построения следует,что все операции представимы через операции объединения и отрицания.
Следовательно, достаточно доказать ,что объединение порождающих множеств представимо через объединение конституент, а так же ,что отрицание объединения конституент ,так же представимо через объединение множеств.
Для доказательства рассмотрим объединение произвольно образованных множеств Mi и Мк.
Согласно утверждению (Mi Мк) ,записывающихся в виде:
24
2 ^( n-1)-1 2 ^( n-1)-1 |
n |
|||
Мi Мк = |
|
к j+ |
к l |
Мi Мк = к j |
|
j 0 |
|
l 0 |
j 0 |
при этом М – различно,так как различно число совпадающих конституент в пред-
ставлениях множеств Mi иМк.
Остается доказать,что дополнения к объединению конституент в свою очередь
есть объединение конституент .
Так как универсальльное множество является объединением всех конституент,
ясно ,что если взять объединение некоторых из них, то оставшиеся конституенты будут дополнительными к исходному объединению.
Рассмотрим пример:
Функция от множеств А,В,С
f(A,В,С) = А(В ((С А)\В)) = А(В ((С A С A )\В)) = А(В (С A C А) B ) =
А(В С A В С А В ) = АВ С А В = А В С АВС АВ С
Из пересечения АВ получена АВС A В С. Ясно ,чтобы получит трех-разрядную
конституенту, необходимо до термов |
АВ добавить С, а так как произв-но множе- |
||||||
ство М: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
М(С |
С |
) = МС М |
С |
|
АВ = АВС АВ |
С |
|
то просто получим из АВ трехразрядную конституенту.
Итак , любая функция от порождающих множеств , может быть представлена в виде объединения коституент и оно называется совершенной норм.Кантора (СНФК).
Если в представлении функции участвовали конституенты меньшей длины, то оно называется норм. формой Кантора (НФК).
Для получения РФК нужно минимизании СНФК любым (аналитическим, гра-
фическим,графо-аналитическим способом).
Назовем интервалами универсального пространства ранга n все коституенты длина l =1, n
Если какая-либо С1 (интерв.) = С2 С3, то говорят что С1 включает в себя С2 и С3
или С1 покрывает С2 и С3
Из этого следует , что функция ,представленная в СНФК равна:
25
m |
k |
f (A,В,С) = к j= C l |
|
j 0 |
l 0 |
где Cl - интервалы,покрывающие все конституенты Кj .
Если рассмотреть предыдущий пример,то можно заметить ,что f(А,В,С): f (A,В,С) = АВ А В С
где, АВ покрывает АВС и АВ С , а втор. совпадает с А В С .
ГРАФИЧЕСКАЯ МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ ОТ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ.
Введем геометрическое представление интервалов при n=3.
Для этого каждой из 8 конституент , сопоставив вершину трехмерного куба и двоичный эквивалент. При этом расположим вершины так,чтобы их двоичные пред-
ставления отличались лишь в одном разряде.
Сопоставим коституенты с их двоичным эквивалентом:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
000 |
– A В С ; |
001 – A В C; |
010 – A В С ; |
011 – A ВС; 100 – А В С ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
101 |
– А В С; |
110 – АВ С ; |
111 – АВС. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Рассмотрим более сложные интервалы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
A |
|
В |
|
С |
|
|
A |
В |
С |
= |
A |
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
О – О , где |
— - отсутствие разряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Геометрически |
- сопоставляется ребро соединения вершины 000 и 010. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Запишем соответствие ребер интервала: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
-00 = В С ; |
|
|
|
|
|
|
|
-01 = В С; |
-10 = В С ; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
0-0 = A С ; |
|
|
|
|
|
|
|
0-1 = A С; |
1-0 = А С ; |
26
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00- = A В ; |
|
01- = A В; |
10- = А В ; |
|||||||||||
-11 = ВС; |
|
1-1 = АС; |
11- = АВ. |
|||||||||||
По аналогии ребра конституенты можно объеденить в грань. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
АВ В |
С |
|
A |
В ВС = В |
|
|
|
|||||||
Соответствия граней: |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
--0 = С ; |
--1 = С |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
-0- = В ; |
-1- = В; |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0-- = A ; |
1-- = А. |
|
|
|
Для представления функции на кубе ,участвующие интервалы выделяются.
111 110
101 |
|
100 |
|
|
|||
|
|
|
|
001 |
|
000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f(A,В,С) = С В |
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
111 |
B |
110 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом примере видно,что конституенты А В С и |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А ВС покрытые А В |
|||||||||||||||||
|
101 |
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и А В С и АВ С |
покрытые В С можно покрыть одним |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
001 |
|
|
|
000 |
|
интервалом В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
f(A,В,С) = С В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и так как сложность уменьшилась с трех до двух, была произведена минимизация функции.
27
МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ
ГРАФИЧЕСКИМ СПОСОБОМ.
f(M1,М2,М3) = М 1 М 2М3 + М 1М2М3 + М1М2М3 + М1 М 2 М 3
111 110
101 |
|
100 |
|
|
|||
|
|
|
|
001 000
f(M1,М2,М3) = М 1М3 + М2М3 + М1 М 2 М 3
МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ КАРТ КАРНО.
Графический способ минимизации удобен для трех ,четырех переменных, а для функции пяти переменных и выше применение графического метода невозможно.
Поэтому для использования принципа этого метода для большеге количества пе-
ременных предложена модернизация.
Идея: развернуть куб на плоскости
000 |
001 |
011 |
010 |
000 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
101 |
111 |
100 |
1 00 |
Исходя из развертки куба , строится таблица:
М1 |
|
М2М3 00 |
01 |
М3 |
11 |
10 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М2 |
28
Построенная таблица – карта КАРНО.
В ней отмечены конституенты,присутствующие в функции, подобно тому, как от-
меченные вершины куба объеденены в ребра и грани.
Объед. и еден. карты (интервалы).
Объединение единиц в интнрвалы в карте иначе называют склеиванием.
Этапы заполнения карты КАРНО.
1.Все конституенты , присутствующие в функции заносятся в карту с помощью единиц в соответствующие клетки.
2.Выделяют интервалы на карте по следующим принципам:
а) в один интервал объединяют только соседние единицы по вертикали или гори-
зонтали;
б) в один интервал можно объеденить 2к единиц, где k=0,1,2,3,4,….
в) карта циклически замкнута по вертикали и горизонтали.
г) в выделенный интервал объединено максимально возможное количество еди-
ниц.
Всего на карте выделено 3 интервала, в каждый входят те минитермы в кото-
рых он полностью находится.
Запишем минимальную функцию:
f(M1,М2,М3) = М1М3 + М2М3 + М1 М 2 М 3
Пример:
Минимизировать функцию:
f(M1,М2,М3)= М 1 М 2 М 3 + М1 М 2 М 3 + М 1 М 2 М3 + М1 М 2 М3 + М1М2М3 +
+ М 1М2 М 3 + М1М2 М 3
00 |
01 |
М3 |
|
11 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
М1
М2
f(M1,М2,М3) = М 2 + М1 + М 3
29
При правильном объединении функцию больше минимизировать невозможно.
Карта Карно для 4-х переменных:
М1М2 М3М4 00 |
01 |
11 |
10 |
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
М2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
М1 |
|||
|
|
|
|
|
М
3
М4
f(M1,М2,М3) = М1М4 + М2М4 + М 1 М 2 М 4
Пример: |
|
|
|
|
|
f(M1,М2,М3,М4 ) (3,4,5,7,9,11,12,13 |
конституенты) |
||||
М1М2 М3М4 00 |
01 |
|
11 |
10 |
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
01 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
11 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 - 0011 4 - 0100 5 - 0101 7 - 0111 9 - 1001 111011 12 - 1100 13 - 1101
f(M1,М2,М3,М4 )= М2 М 3+ М 1М3М4 +М1 М 2М4
30
Карты Карно для 5-ти переменных:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М4 |
|
|
|
М5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М1М2 |
|
М3М4М5 |
001 |
М3 |
011 010 |
|
|
110 |
111 |
101 100 |
||||||
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
М2 |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М1 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При выделении интервалов необходимо соблюдать дополнительные правила:
1)Все интервалы должны быть симметричны относительно исходных размеров карт;
2)Если 2 единицы находятся симметрично границы раздела они считаются со-
седними.
f(М1,М2,М3,М4,М5) = М2 М 3 М5 + М1 М 3 М4 М5 + М1 М 2 М3М4 М 5 f(М1,М2,М3,М4,М5) = М 1 М2 М 3 М 4М5 + М 1 М2 М 3 М4 М5 +
+М1М2 М 3 М 4 М5 + М1 М2 М 3 М4 М5 + М1 М 2 М 3 М 4 М5 +
+М1 М 2 М 3 М4 М5 + М 1 М2 М 3 М4 М 5 + М1 М2 М 3 М4 М 5 +
+М 1М2М3 М4 М 5 + М1 М2М3 М4 М 5 + М1 М 2М3 М4 М5 +
+М1 М 2М3 М 4 М5
М1М2 М3М4М5 |
001 |
011 |
010 |
110 |
111 |
101 |
100 |
||
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(М1,М2,М3,М4,М5) = М2 М 3 М5 + М2 М4 М 5 + М1 М 2 М5