Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ODM_Лекции

.pdf
Скачиваний:
18
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
1.12 Mб
Скачать

21

n - число порожденных множеств.

Перечислим все конституенты нашего примера:

К0 = М 1 М 2 М 3 К1 = М 1 М 2М3 К2 = М 1М2 М 3 К3 = М 1М2М3

К4 = М1 М 2 М 3 К5 = М1 М 2М3 К6 = М1М2 М 3 К3 = М1М2М3

Очевидно, что каждой приведенной коституенте может быть сопоставлено дво-

ичное трехразрядное число , причем каждый разряд будет равен i первичного тер-

ма:

К0 = 000; К1 = 001; К2 = 010; К4 =011; К5 = 100; К6 = 110; К7 = 111.

Если учесть,что каждой конституенте длины П можно сопоставить n разр.

двоичное число, то общее количество конституент равно:

N = 2n

1)Выражения, заданные с помощью формул ,могут быть упрощены.

2)Необходимые шаги для упрощения не всегда очевидны и сложность упрощения находится в прямой зависимости от числа аргументов в формуле.

3)Для упрощения выражения произв. вида и произв. количества аргументов необ-

ходимо использовать математический аппарат минимизации функций подмно-

жеств.

Пересечение двух различных конституент - пустое множество.

Пересечение двух конституент – есть пересечение всех первичных термов их со-

ставляющих, если конституенты не равны , то найдется хотя бы 1 разряд с несовпа-

дающими первичными термами.

Обозначим этот разряд через i.

Mi i *Mi i*=

Объединение всех коституент,порожденных множествами Mi на универсальном множестве равно самому универсальному множеству:

n-1

I= (Mi M i)

i 0

n=1 M1, M 1 M1+ M 1=I

22

2 ^k-1

n=k к j = I

j 0

С помощью конституент, образованных множествами Mi ,можно представить ис-

ходное универсальное множество.

1. Проиллюстрируем на графическом примере:

(универсальное множество I, внутри М1-квадрат, М2-треугольник, М3-круг).

I

 

 

 

М3

 

 

7

1

4

 

5

3

М1 6

 

 

 

2 М2

В дополнение к рассматриваемым свойствам ,рассмотрим сколько множеств на

I можно образовать из конституент.

Для этого произвольному множеству сопоставим m-разрядное двоичное чис-

ло,где m-длина конституент. При этом 0-отсутствие конституенты, 1-

присутствует.

Так например, двоичному числу

01101001 соответствует множество, из объединенных 0,3,5,и 6 конституент.

Вместо двоичных чисел можно использовать их десятичный эквивалент:

d = 1+23+25+26 = 1+8+32+64 = 40+ 65 = 105

Если любому, образованному из конституент, множеству соответствует m-

разрядное двоичное число, то таких множеств может быть 2m,а так как число кон-

ституент = 2n , где n-число образованных множеств,то общее число, которое обра-

зуется из конституент = 22^n

Для иллюстрации это количество -256.

Рассмотрев понятие конституент зададимся вопросом:»Как конституенты связаны с функциями от образующих множеств?»

23

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ.

Множество Mi равно объединению всех конституент ,содержащих Mi

Рассмотрим равенство:

2 ^n-1

I = к j-1 j 0

Возьмем пересечение левых и правых частей с Mi

2 ^n-1

Mi = к j-1Mi

j 0

Рассмотрим выражение Кj,Mi. Для него возможны два случая:

1.Kj не содержит в себе Mi, Ki*Mi = 2.Kj Mi , Kj*Mi =Kj

Следовательно, Mi можно представить в виде:

2 ^( n 1)-1

Мi = к l l 0

kl -конституенты,содержащие Mi.

ТЕОРЕМА.

Любая функция от порождающих множеств представима в виде объединения конституент.

Из аксиоматичного построения следует,что все операции представимы через операции объединения и отрицания.

Следовательно, достаточно доказать ,что объединение порождающих множеств представимо через объединение конституент, а так же ,что отрицание объединения конституент ,так же представимо через объединение множеств.

Для доказательства рассмотрим объединение произвольно образованных множеств Mi и Мк.

Согласно утверждению (Mi Мк) ,записывающихся в виде:

24

2 ^( n-1)-1 2 ^( n-1)-1

n

Мi Мк =

 

к j+

к l

Мi Мк = к j

 

j 0

 

l 0

j 0

при этом М – различно,так как различно число совпадающих конституент в пред-

ставлениях множеств Mi иМк.

Остается доказать,что дополнения к объединению конституент в свою очередь

есть объединение конституент .

Так как универсальльное множество является объединением всех конституент,

ясно ,что если взять объединение некоторых из них, то оставшиеся конституенты будут дополнительными к исходному объединению.

Рассмотрим пример:

Функция от множеств А,В,С

f(A,В,С) = А(В ((С А)\В)) = А(В ((С A С A )\В)) = А(В (С A C А) B ) =

А(В С A В С А В ) = АВ С А В = А В С АВС АВ С

Из пересечения АВ получена АВС A В С. Ясно ,чтобы получит трех-разрядную

конституенту, необходимо до термов

АВ добавить С, а так как произв-но множе-

ство М:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М(С

С

) = МС М

С

 

АВ = АВС АВ

С

 

то просто получим из АВ трехразрядную конституенту.

Итак , любая функция от порождающих множеств , может быть представлена в виде объединения коституент и оно называется совершенной норм.Кантора (СНФК).

Если в представлении функции участвовали конституенты меньшей длины, то оно называется норм. формой Кантора (НФК).

Для получения РФК нужно минимизании СНФК любым (аналитическим, гра-

фическим,графо-аналитическим способом).

Назовем интервалами универсального пространства ранга n все коституенты длина l =1, n

Если какая-либо С1 (интерв.) = С2 С3, то говорят что С1 включает в себя С2 и С3

или С1 покрывает С2 и С3

Из этого следует , что функция ,представленная в СНФК равна:

25

m

k

f (A,В,С) = к j= C l

j 0

l 0

где Cl - интервалы,покрывающие все конституенты Кj .

Если рассмотреть предыдущий пример,то можно заметить ,что f(А,В,С): f (A,В,С) = АВ А В С

где, АВ покрывает АВС и АВ С , а втор. совпадает с А В С .

ГРАФИЧЕСКАЯ МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ ОТ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Введем геометрическое представление интервалов при n=3.

Для этого каждой из 8 конституент , сопоставив вершину трехмерного куба и двоичный эквивалент. При этом расположим вершины так,чтобы их двоичные пред-

ставления отличались лишь в одном разряде.

Сопоставим коституенты с их двоичным эквивалентом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

000

– A В С ;

001 – A В C;

010 – A В С ;

011 – A ВС; 100 – А В С ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

101

– А В С;

110 – АВ С ;

111 – АВС.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим более сложные интервалы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

В

 

С

 

 

A

В

С

=

A

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О – О , где

— - отсутствие разряда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометрически

- сопоставляется ребро соединения вершины 000 и 010.

Запишем соответствие ребер интервала:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-00 = В С ;

 

 

 

 

 

 

 

-01 = В С;

-10 = В С ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0-0 = A С ;

 

 

 

 

 

 

 

0-1 = A С;

1-0 = А С ;

26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

00- = A В ;

 

01- = A В;

10- = А В ;

-11 = ВС;

 

1-1 = АС;

11- = АВ.

По аналогии ребра конституенты можно объеденить в грань.

 

 

 

 

 

 

 

 

АВ В

С

 

A

В ВС = В

 

 

 

Соответствия граней:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

--0 = С ;

--1 = С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-0- = В ;

-1- = В;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0-- = A ;

1-- = А.

 

 

 

Для представления функции на кубе ,участвующие интервалы выделяются.

111 110

101

 

100

 

 

 

 

 

001

 

000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(A,В,С) = С В

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

111

B

110

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В этом примере видно,что конституенты А В С и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А ВС покрытые А В

 

101

 

 

 

 

 

100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и А В С и АВ С

покрытые В С можно покрыть одним

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

001

 

 

 

000

 

интервалом В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(A,В,С) = С В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и так как сложность уменьшилась с трех до двух, была произведена минимизация функции.

27

МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ГРАФИЧЕСКИМ СПОСОБОМ.

f(M123) = М 1 М 2М3 + М 1М2М3 + М1М2М3 + М1 М 2 М 3

111 110

101

 

100

 

 

 

 

 

001 000

f(M123) = М 1М3 + М2М3 + М1 М 2 М 3

МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ КАРТ КАРНО.

Графический способ минимизации удобен для трех ,четырех переменных, а для функции пяти переменных и выше применение графического метода невозможно.

Поэтому для использования принципа этого метода для большеге количества пе-

ременных предложена модернизация.

Идея: развернуть куб на плоскости

000

001

011

010

000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

100

101

111

100

1 00

Исходя из развертки куба , строится таблица:

М1

 

М2М3 00

01

М3

11

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М1

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М2

28

Построенная таблица – карта КАРНО.

В ней отмечены конституенты,присутствующие в функции, подобно тому, как от-

меченные вершины куба объеденены в ребра и грани.

Объед. и еден. карты (интервалы).

Объединение единиц в интнрвалы в карте иначе называют склеиванием.

Этапы заполнения карты КАРНО.

1.Все конституенты , присутствующие в функции заносятся в карту с помощью единиц в соответствующие клетки.

2.Выделяют интервалы на карте по следующим принципам:

а) в один интервал объединяют только соседние единицы по вертикали или гори-

зонтали;

б) в один интервал можно объеденить 2к единиц, где k=0,1,2,3,4,….

в) карта циклически замкнута по вертикали и горизонтали.

г) в выделенный интервал объединено максимально возможное количество еди-

ниц.

Всего на карте выделено 3 интервала, в каждый входят те минитермы в кото-

рых он полностью находится.

Запишем минимальную функцию:

f(M123) = М1М3 + М2М3 + М1 М 2 М 3

Пример:

Минимизировать функцию:

f(M123)= М 1 М 2 М 3 + М1 М 2 М 3 + М 1 М 2 М3 + М1 М 2 М3 + М1М2М3 +

+ М 1М2 М 3 + М1М2 М 3

00

01

М3

 

11

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

М1

М2

f(M123) = М 2 + М1 + М 3

29

При правильном объединении функцию больше минимизировать невозможно.

Карта Карно для 4-х переменных:

М1М2 М3М4 00

01

11

10

 

 

 

 

 

00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

01

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

М2

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

М1

 

 

 

 

 

М

3

М4

f(M123) = М1М4 + М2М4 + М 1 М 2 М 4

Пример:

 

 

 

 

 

f(M1234 ) (3,4,5,7,9,11,12,13

конституенты)

М1М2 М3М4 00

01

 

11

10

00

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

01

 

 

 

 

 

1

1

 

1

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 - 0011 4 - 0100 5 - 0101 7 - 0111 9 - 1001 111011 12 - 1100 13 - 1101

f(M1234 )= М2 М 3+ М 1М3М4 1 М 2М4

30

Карты Карно для 5-ти переменных:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М4

 

 

 

М5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М1М2

 

М3М4М5

001

М3

011 010

 

 

110

111

101 100

 

 

 

00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

01

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М2

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М1

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При выделении интервалов необходимо соблюдать дополнительные правила:

1)Все интервалы должны быть симметричны относительно исходных размеров карт;

2)Если 2 единицы находятся симметрично границы раздела они считаются со-

седними.

f(М12345) = М2 М 3 М5 + М1 М 3 М4 М5 + М1 М 2 М3М4 М 5 f(М12345) = М 1 М2 М 3 М 4М5 + М 1 М2 М 3 М4 М5 +

+М1М2 М 3 М 4 М5 + М1 М2 М 3 М4 М5 + М1 М 2 М 3 М 4 М5 +

+М1 М 2 М 3 М4 М5 + М 1 М2 М 3 М4 М 5 + М1 М2 М 3 М4 М 5 +

+М 1М2М3 М4 М 5 + М1 М2М3 М4 М 5 + М1 М 2М3 М4 М5 +

+М1 М 2М3 М 4 М5

М1М2 М3М4М5

001

011

010

110

111

101

100

00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

01

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(М12345) = М2 М 3 М5 + М2 М4 М 5 + М1 М 2 М5

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]