ODM_Лекции

51

ствующего набора, на котором функция принимает 1 или 0 соответ-

ственно, то есть

Согласно теореме Шеннона функция в ДСНФ имеет вид :

f(х1,х2, х3) = x 1 x 2 x 3 x 1 x2 x 3 x 1x2 x3 x1 x2 x3 (ДСНФ)

Выясним каково количество возможных булевых функций к-значных.

Если мы имеем к переменных, то из них можно составить m=2к комбинаций, а

так как для каждой комбинации может быть задана своя функция, то общее число возможных функций V=2m=22^k

Теорема :

Алгебра множеств с к-порожденными множествами изоморфна к-значной алгебре Буля.

Доказательство:

Изоморфизм строится следующим образом:

(Мi)=xi - для алгебры множеств

52

(fi)=yi - для алгебры Буля

Тогда согласно представлению Булевых функций в ДСНФ и представлению функций от порождающих множеств в СНФК следует следующее :

Основным следствием этой теоремы является возможность применения всех методов минимизации из теории множеств для алгебры Буля.

Метод Квайна для функции Буля :

Y(x1, x2, x3) = x 1 x 3 x2x3

Минимизация по методу Карно :

f(x1, x2, x3) = x 1 x 3 x2x3

53

ФУНКЦИОНАЛЬНО ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ.

Запишем таблицу функций 1-й перем.:

Некоторые из этих функций встречались ранее :

F1(x1, x2) = x1 * x2 - дизъюнкция

F6(x1, x2) = x1 x2 - слож. по модулю 2 F7(x1, x2) = x1 x2 - конъюкция Сведем в таблицу :

54

Функционально-полной системой алгебры Буля – набор функций Рк, с помо-

щью которых может быть выраженна любая функция из Рк.

Тривиальной функционально-полной системой является весь набор функций из Рк.

Базисом алгебры Буля называется функционально-полная система, которая перестает быть таковой при выбрасывании из неѐ любой функции.

Примером алгебры с функционально-полной системой, но не являющейся ба-

зисом является функция вида :

А = < M, , &, - >

55

На основании законов де Моргана из неѐ можно получить алгебры с базисами.

А1 = < M, , - > , А2 = < M, &, - >

Принцип нахождения функционально-полных систем и базисов для Рк .

Будем искать такой набор из Рк, с помощью которого можно представить функции дезъюнкции, конъюкции, отрицания, а следовательно и все осталь-

ные функции. Для изучения свойств пространства Р2 , т. е. Функция от двух переменных, представим все функции с помощью операций дезъюнкции,

конъюкции и отрицания.

F1 = х1*х2

F2 = х1* x 2

F4 = x 1*х2

F6 = х1 х2 = x 1*х2 х1* x 2

F7 = х1 х2

F8 = x 1* x 2 = x 1 x 2

F9 = x 1 x 2 х1х2 = х1 х2

F10 = x 2

F11 = x 1 x 2 х1 x 2 х1х2 = x1 x 2

F12 = x 1

F13 = x 1 x 2 x 1х2 х1х2 = x 1 х2

F14 = x 1 x 2 x 1х2 х1 x 2 = x 1 x 2 = x 1 x 2

Для каждой из перечисленных функций существует двух ходовой логический

56

На основании этих элементов можно синтезировать любую логическую функцию.

Реализуем функцию вида f(х1,х2,х3):

f(х1,х2,х3) = х1 x 2х3 x 1х3 = x 1 х2 x 3 x1 x 3

57