ODM_Лекции

61

Таким образом с помощью суперпозиции нелинейных функции и функции от-

рицания можно получать функцию коньюнкции.

Пример: f(x1,x2,x3) = x1 x 2 + x 1x3 + x2

Преобразуем функцию в мин.форму, представив с помощью операции сло-

жения по

mod 2 и конъюнкции

f(х1,х2,х3) = x1 x 2 & x 1x3 & x 2 = ((х1(х2 1)) 1)) & ((х3(х1 1) 1) & (х2

1) 1 = (х1х2 х1 1)(х1х3 х3 1)(х2 1) 1 = (х1х2х3 х1х2 х1х3х1 х3 1)(х2 1) = х1х2х3 х1х2 х2х3 х2 х1х3 х1 х3 1 Выберем в качестве мин. слагаемого х1х2 х3 = 0

f(x1,x2, ) = x1x2 x1 x2 1 = x 1 x 2 x1x2 = f(q(x1),q(x2), )

ФУНКЦИОНАЛЬНО – ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ И БАЗИСЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ.

ФПС пространства Р в широком смысле называется множество функций с помощью суперпозиции которых можно представить любую функцию из Р ,

используя при этом конституенты 0 и 1.

Базисом Р в широком смысле называется ФПС, из которого не может быть вычеркнута ни одна функция без потери полноты системы.

ТЕОРЕМА.

Система функции полная в широком смысле , если в ней присутствует хотя бы одна немонотонная и хотя бы одна нелинейная функция.

Доказательство:

Достоверность следует из того , что если в системе существует хотя бы од-

на немонотонная функция, то может быть представлена функция отрицания.

Если при этом есть нелинейная функция, то с помощью ее может быть пред-

62

ставлена любая функция Р .

Необходимость.

Если в системе все функции монотонны, то не может быть получена немо-

нотонная функция, так как класс функций замкнут.

Следовательно, найдутся такие функции, которые не представимы суперпо-

зиции функции системы, тоесть такая система не функционально-полная.

ПОСТРОЕНИЕ БАЗИСА Р В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ.

Составим следующую таблицу:

у1 = х1х2

у2 = х1 x 2 = х1(х2 1) = х1х2 х1 у6 = x 1х2 + х1 x 2 = х1 х2

у7 = х1 + х2 = х1х2 х2 + х2

у8 = x 1 x 2 = х1х2 х1 х2 х1 у9 = x 1 x 2 + х1х2 = х1 х2 1 у12 = x 1 = х1 1

у13 = x 1 + х2 = х1х2 х1 1

63

у14 = x 1 + x 2 = х1х2 1

Это сокращенная таблица Поста, служит для нахождения базисов в широко

смысле пространства Р .

Таблица заполняется по принципу:

-если данная функция не принадлежит данному классу ,то в соответствующей клетке ставится 1.

Для получения всех базисов в широком смысле пространства Р нужно найти все мин. покрытия, удовлетворяющим полноты ,но теряющие это свойство при удалении любого элемента из покрытия. Для этого применим метод Квай-

на.

P = (b + c + e + f + q + h + k) &(a + b + d + e + h + k) = ((b + e + h + k) + c + f + q) &((b + e + h + k) + a + d) = ( b + e + h + k) + (a + d)(b + e + h + k) + (c + f + q) * *(b + e + h + k) + (c + f + q)(a + d)= b + e + h + k + ca + fa + fd + qa + qd

Получены 10 базисов в широком смысле пространства Р .

Используя любой из 10 указанных базисов в широком смысле, можно выра-

зить произвольную булеву функцию.

ФУНКЦИОНАЛЬНО – ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ И БАЗИСЫ В УЗКОМ СМЫС-

ЛЕ.

Функционально полной системой пр-ва Р в узком смысле называется множество функции с помощью суперпозиций которых можно представить любую функцию пр-ва Р , при этом 0 и 1 не используются.

Для построения базиса рассмотрим следующие классы функций :

- класс самодвойственных функций

64

Функция f от n аргументов называется самодвойственной если выполняется условие:

f (x1, x2, …, xn) = f ( x 1, x 2, …, x n)

Класс самодвойственных функций замкнут.

Для доказательства возьмем 2 самодвойственных функции, для которых выразим x через t и найдем их суперпозицию.

x1 (t1, t 2, t3) = x 1 ( t 1, t 2, t 3)

f(x1 (t1, t 2, t3), x2, x3) = d (t1, t 2, t3, x2, x3) = f (x1 ( t 1, t 2, t 3), x 2, x 3) =

=d ( t 1, t 2, t 3, x 2, x 3)

На основании вышезаписанного делаем вывод, что класс самодвойствен-

ных функций замкнут.

-класс функций, сохраняющих 0

Функция f от n аргумента называется сохраняющей 0 если : f ( , , …, ) =

Можно доказать, что и класс функций сохраняющих 0, замкнут.

-класс функций, сохраняющих 1

Функция f от n аргумента называется сохраняющей 1 если : f ( 1 , 1, …, 1 ) = 1

Можно доказать, что и класс функций сохраняющих 1, замкнут.

ВТОРАЯ ТЕОРЕМА О ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ПОЛНОТЕ.

Система функций будет полной если она содержит хотя бы одну из функций :

-несамодвойственную

-несохраняющую 0

-несохраняющую 1

-немонотонную

-нелинейную

Доказательство :

67

F1 = х1*х2

F2 = х1* x 2 = х1х2 x1

F6 = x 1*х2 + х1* x 2 = х1 х2

F7 = х1 + х2 = х1х2 x1 х2

F8 = x 1* x 2 = х1х2 x1 х2 1

F9 = x 1 x 2 + х1х2 = х1 х2 1

F12 = x 1 = х1 1

F13 = x 1 + х2 = х1х2 x1 1

F14 = x 1 + x 2 = х1х2 1

1 - не принадлежит классу.

С помощью метода Квайна найдем мин. покрытие табл., т. е. Получим все ба-

зисы в узком смысле в пр-ве Р

P = ( b + c + e + f + g + h + k )( a + b + d + e + h + k )( e + f + g + h + k ) &

& ( b + c + g + k )( a + b + c + d + e + f + h + k ) = e + k + ( b + c + f + g + h ) ( a + b + d + h )( f + g + h )( b + c + g )( a + b + c + d + f + h ) =

=e + k ( h + b + ( c + f + g )( a + d ) (a + c + d + f))( f + g + h )( b + c + g ) =

=e + k + (h + ac + b + a + af + ag + dc + df + dg )( g + bf + bh +c + ch) =

=e + k + hg + hb + hc + bg + bf + acf + ag + dcf + dg.

68

П11 = {f7 ,f12}

Если результаты исследования базисов в узком смысле объед., то можно сде-

лать вывод, что общее число всех возможных различных базисов равно 17.

Если сравнить базисы в узком смысле с базисами в широком смысле, то мож-

но выявить следующие соответствия :

П11 В9

На основани базисов в узком смысле можно реализовать любую Булеву функ-

Через имеющиеся функции выразим функцию отрицания, для этого с помо-

щью у9 получим константу 1. y9(x , x ) = 1, тогда y2( у9 (x , x ) = x

Используя функцию отрицания и y2 получим конъюкцию : y2( x1 , y2 (у9 (x2 , x2), x2 )) = x1x2

x1

69

x2

Имея функцию отрицания и конъюкцию, можно реализовать произвольную булеву функцию.

Если рассматривать базисы в узком и широком смысле с практической точки зрения, то следует отметить, что базисы в узком смысле не имеют никаких преимуществ, так как на практике всегда имеются константы 0 и 1.

СИНТЕЗ КОМБИНАТОРНЫХ СИСТЕМ.

Комбинаторной системой называется автомат выполняющий преобразование х в у, где

x= { x1, x2, …, xn } – множество входных булевых переменных

y= { y1, y2, …, yn } – множество выходных булевых функций

Отличительной особенностью комбинаторных систем является то, что выход-

ной сигнал в момент времени T является функцией только входного сигнала в момент времени Т. В общем виде на стр-ных и функциональных схемах ком-

бинаторные системы изображаются в виде перевернутой трапеции. x1 xn

КС

у1 уn

КС представляет собой схемы, состоящие из логических элементов. Каждый логический элемент реализует элементарную булеву функцию. Минимальная совокупность логических элементов достаточное для реализации произв-ной системы называется эл-ным базисом.