ODM_Лекции

72

Основанием для метода является теор. Шиннона, исходя из которой произв.

Функция может быть представлена в следующем виде :

f(x1, … , xn) = x i f(x1, …, xi-1, ,xi+1, …, xn)+f (x1, …,xi-1,1,xi+1,…, xn ) = = x i f ( ) + xi f( 1 )

Эту функцию можно реализовать следующей схемой :

f1

&

xi

&

f0

Это устройство – каскадный элемент, который на схемах обозначают в следу-

ющем виде :

f1 &

1

f0

С помощью данного каскада получено представление от n аргументов, через остат-ные функции f0 и f1 для функций от n-1 аргумент, с помощью искл. хi

перемен.

На втором шаге каскада реализуется искл. следующая перемен. И далее по-

ступая также мы получим остат – ные функции.

Это – каскадный метод – при этом каждый каскад соответствует исключению некоторой переменной. Для одной и той же функции можно получить не-

сколько реализаций. Число реализаций равно :

N ( N - 1)( N – 2) - … = n!

Отсюда следует, что найти самую эффективную реализацию простым перебо-

ром весьма затруднительно.

73

Поэтому для метода должна быть найдена эффективная стратегия. Это позво-

ляет сделать аппарат произв – ных от булевых функций. Пр – ная от функции n-аргументов.

Найти пр-ную от функции двух переменных f (x1,x2) = x1 + x2

Повторные пр-ные определяются следующим образом :

Пр-ная от булевой функции определяет условия при которых функция зависит

от хi

f (x1,…, xi-1, ,xi+1,…, xn) f (x1, …, xi-1,1,xi+1, …, xn) т.е. при изменении хi ме-

няется значение функции. ( функция зависит от перем.)

Если пр-ная равна 0, то функция от хi не зависит, т.е. при изменении хi значе-

ние функции не меняется.

Рассмотрим пример:

f (x1, x2, x3, x4) = x1x2x3 + x 1х4 + x2x3 + x1 x 3x4

Определить при каких условиях функция зависит от переменной х3. Найдем соответствующую производную :

f = ( x 1х4 +х1х4) (х1х2 + x 1х4 +х2) = х4 ( х2+ x 1х4) =

x 3

= х4 x 2 x 1х4 + x 4 ( х2+ x 1х4 ) = х4 x 2 (х1+ x 4) + x 4х2 = x 4х2 + х4 x 2х1

Ответом на поставленную задачу будут значения х1, х2 , х4 при которых

74

f = 1.

x 3

Составим соответствующую таблицу:

На этих наборах функция зависит от переменной х3. Первый шаг каскадной реализации.

х4

&

f0

f0 ( x1,x3,x4 ) = x 1 + x 3 x 4 + x3x4 = x 1 + x3 x4

Введем определение :

75

Весом пр-ной функции называется количество возможных наборов, при кото-

рых производная равна 1. Исходя из предыдущего примера сложность произ-

Запишем утверждение :

Чем больше состояний имеет функция, прикоторых она зависит от xi, тем сильнее она зависит от этой переменной.

Для примера выясним от какой переменной функция зависит сильнее. f ( x1, x2, x3,x4 ) = x1x2x3 + x 1x4 + x2x3 + x1 x 3x4

77

Оказалось, что сильнее всего функция зависит от переменной х4. При этом видно, что чем сильнее зав-ть функции, тем меньше сложность ост-ной функ-

ции при ее искл-нии.

Для функции заданной таблично удобно использовать следующий метод определения веса производной:

Рассмотрим на примере :

Функция от четырех переменных задана таблицей истинности :

Для заданной функции определить веса производных по х1, х2, х3, х4.

79

x3 :

W4 = 5

Анализ производных показал, что для данного примера первыми исключ-ми переменными будут х1 и х4.

Рассмотрим более сложную задачу для которой функция задана аналитически

( от 5-и переменных ).

f ( x1, x2, x3, x4, x5 ) = x1 x 2x3 + x 1 x 3x4 + x1x3 x 5 + x1x2x4 + x 2x3x5 + x 3 x 4x5