2.1. Способ 1.

Вычисляем средние арифметические значенияобъясняющих переменных (см. табл.3.6): в ячейкуC18вводим формулу=СРЗНАЧ(C3:C17)и копируем ее в ячейкиD18:E18.

Вычисляем оценки стандартных отклоненийобъясняющих переменных: в ячейкуC19вводим формулу=СТАНДОТКЛОНП(C3:C17)и копируем ее в ячейкиD19:E19.

Выполняем стандартизацию объясняющих переменных: в ячейкуF3вводим формулу=НОРМАЛИЗАЦИЯ(C3:C17;C$18;C$19)и копируем ее в ячейкиF4:F17. Затем формулу из ячейкиF3копируем в ячейкиG3:H3. После этого формулу из ячейкиG3копируем в ячейкиG4:G17, а из ячейкиH3копируем в ячейкиH4:H17. В результате в ячейкахF3:H17получаем матрицустандартизованных объясняющих переменных.

Если стандартизация выполнена правильно, то средние значения стандартизованных объясняющих переменных с точностью до ошибки вычислений будут равны нулю (см. суммы по столбцам в ячейках F18:H18).

На основе матрицы находим корреляционную матрицу объясняющих переменных (табл.3.8): выделяем область пустых ячеекB53:D55размера(у нас три объясняющих переменных), вводим формулу

=МУМНОЖ(ТРАНСП(F3:H17);F3:H17)/B20

нажимаем клавишу F2, затем – клавишиCtrl+Shift+Enter.

2.2. Способ 2.

Выбираем Сервис/Анализ данных/Корреляцияи в диалоговом окне указываем:

Входной интервал$C$2:$E$17

Группированиепо столбцам

Метки в первой строке

Выходной интервал$F$46

Подтверждаем ОК.

В результате в ячейках F46:I49появитсянижний треугольниккорреляционной матрицы.

Заполняем верхний треугольниккорреляционной матрицы, т.е. достраиваем корреляционную матрицу путем копирования значений ячеек нижнего треугольника в соответствующие ячейки верхнего треугольника. В примере для наглядности корреляционная матрица из ячеекF46:I49скопирована в ячейкиF52:I55, после чего значение ячейкиG54скопировано в ячейкуH53, значение ячейкиG55– в ячейкуI53и значение ячейкиH55– вI54.

3.Находим определителькорреляционной матрицы (табл.3.9): в ячейкуD57вводим формулу=МОПРЕД(G53:I55).

Поскольку определитель 0,003454 близок к нулю, то в массиве объясняющих переменных может существовать мультиколлинеарность.

Вычисляем статистику по формуле (3.1): в ячейкуD58вводим формулу=-(15-1-(2*3+5)/6)*LN(D57), результат применения которой равен68,96176.

Для определения прии степенях свободыв ячейкуD59вводим формулу=ХИ2ОБР(0,05;3), результат применения которой равен7,814725.

Поскольку , то с надежностью0,95в массиве объясняющих переменных существуетобщая мультиколлинеарность.

Таблица 3.9 – Исследование мультиколлинеарности методом Феррара-Глобера

	B	C	D	E	F	G	H	I	J
57	Определитель=		0,003454		R^2(X1)=	0,951906		F1=	118,7545
58	ХИ-факт=		68,96176		R^2(X2)=	0,951177		F2=	116,8931
59	ХИ-табл=		7,814725		R^2(X3)=	0,943311		F3=	99,83974
60								F-табл=	3,88529
61	Обратная матрица
62	20,79242	11,67875	8,791835		r12=	-0,56592		t12=	-2,27658
63	11,67875	20,48218	-8,47489		r13=	-0,45907		t13=	-1,71382
64	8,791835	-8,47489	17,63996		r23=	0,445859		t23=	1,65204
65								t-табл=	2,200986

Находим матрицу , обратную к корреляционной матрицеr: выделяем область свободных ячеекB62:D64размера(три объясняющих переменных), вводим формулу=МОБР(G53:I55), нажимаем клавишуF2и затем клавишиCtrl+Shift+Enter.

По формуле (3.3) определяем коэффициенты детерминации для каждой объясняющей переменной:

в ячейку G57вводим формулу=1-1/B62=0,951906

в ячейку G58вводим формулу=1-1/C63=0,951177

в ячейку G59вводим формулу=1-1/D64=0,943311

Все коэффициенты детерминации высокие.

По формуле (3.4) вычисляем F-статистики:

в ячейку J57вводим формулу=(B62-1)*(15-3)/(3-1)=118,7545

в ячейку J58вводим формулу=(C63-1)*(15-3)/(3-1)=116,8931

в ячейку J59вводим формулу=(D64-1)*(15-3)/(3-1)=99,83974

Для определения при уровне значимостии числе степеней свободы, в ячейкуJ60вводим формулу=FРАСПОБР(0,05;2;12), результат применения которой равняется3,88529.

Так как все , токаждая объясняющая переменная мультиколлинеарна с двумя другими.

Определяем наличие попарной мультиколлинеарности(пары факторов, между которыми существует мультиколлинеарность).

По формуле (3.5) находим частные коэффициенты корреляции:

в ячейку G62вводим формулу=-C62/КОРЕНЬ(B62*C63)=-0,56592

в ячейку G63вводим формулу=-D62/КОРЕНЬ(B62*D64)=-0,45907

в ячейку G64вводим формулу=-D63/КОРЕНЬ(C63*D64)=0,445859

По формуле (3.6) для частных коэффициентов корреляции находим t-статистики:

в ячейку J62вводим формулу=G62*КОРЕНЬ(15-3-1)/КОРЕНЬ(1-G62^2)

=-2,27658

в ячейку J63вводим формулу=G63*КОРЕНЬ(15-3-1)/КОРЕНЬ(1-G63^2)

=-1,71382

в ячейку J64вводим формулу=G64*КОРЕНЬ(15-3-1)/КОРЕНЬ(1-G64^2)

=1,65204

Для определения табличного значения t-критерия при уровне значимостии числе степеней свободы15-3-1=11в ячейкуJ65вводим формулу=СТЬЮДРАСПОБР(0,05;(15-3-1)), результат применения которой равняется2,200986.

Значение , то есть между объясняющими переменнымиисуществует мультиколлинеарность.

Таким образом, цена товараицена первого заменителя товарасоставляютмультиколлинеарную пару.

4.Примем меры к смягчению мультиколлинеарности.

Все , поэтому каждая объясняющая переменная мультиколлинеарна с двумя другими. Самые высокие (и практически одинаковые) коэффициенты детерминации имеют объясняющие переменные(цена товара) и(цена первого товара-заменителя). Поскольку только, то имеем одну мультиколлинеарную пару – междуи.

На первом этапе попробуем преобразоватьодну из объясняющих переменных мультиколлинеарной пары. Подвергать преобразованию объясняющую переменную(цена товара) не следует, т.к. это будет противоречить экономическому смыслу анализируемой причинной зависимости. Поэтому вместо фактора(цена первого товара-заменителя) введем фактор. Для наглядности скопируем массив исходных данных, расположенный в ячейкахA2:E17, в ячейкиA68:E83. Затем в ячейкуD69введем формулу=C3-D3и скопируем ее в ячейкиD70:D83(табл.3.10).

Таблица 3.10 – Замена фактора Х2 на фактор (Х1-Х2)

	A	B	C	D	E	F	G	H	I
68	Набл-ние	Y	X1	X1-Х2	X3
69	1	21,6	25,2	-0,6	7,9	Достроенная корр.матрица
70	2	25,2	24,3	-7	8,1		X1	X1-Х2	X3
71	3	26,0	23,9	-12,5	9,5	X1	1	0,986995	-0,96397
72	4	36,4	22,6	-16,1	10,3	X1-Х2	0,986995	1	-0,9705
73	5	38,5	21,5	-17,6	13,1	X3	-0,96397	-0,9705	1
74	6	43,6	20,4	-24,9	15,5	Определитель=		0,001465
75	7	40,1	19,1	-26,3	17,0	ХИ-факт=		79,3992
76	8	47,8	14,7	-37,3	17,0	ХИ-табл=		7,814725
77	9	55,5	14,4	-32,9	19,6
78	10	59,8	14,0	-37,8	20,8
79	11	68,0	12,2	-43,7	20,7
80	12	69,5	11,8	-47,1	21,6
81	13	73,4	8,9	-52,1	23,4
82	14	72,2	7,3	-56,9	23,0
83	15	76,6	5,9	-57,2	23,9

Теперь заново оценим существование общеймультиколлинеарности методом Феррара-Глобера (по критерию) в новом массиве объясняющими переменными, среди которых вместо факторарассматривается фактор. Для этого получим треугольную корреляционную матрицу новых объясняющих переменных с помощью инструментаАнализ данных/Корреляция, указав параметры диалогового окна:

Входной интервал$C$68:$E$83

Группированиепо столбцам

Метки в первой строке

Выходной интервал$F$70

В результате в ячейках F70:I73появитсянижний треугольниккорреляционной матрицы.

Здесь же заполняем верхний треугольниккорреляционной матрицы, т.е. достраиваем корреляционную матрицу путем копирования значений ячеек нижнего треугольника в соответствующие ячейки верхнего треугольника.

Находим определитель корреляционной матрицы: в ячейку H74вводим формулу=МОПРЕД(G71:I73), результат применения которой равняется0,001465.

Определитель уменьшился (был 0,003454,стал0,001465). Следовательно, общая мультиколлинеарностьусилилась, что подтверждает критерий:

• вычисляем статистику по формуле (3.1): в ячейкуH75вводим формулу=-(15-1-(2*3+5)/6)*LN(H74), результат применения которой равен79,3992, что больше, чем было для исходного массива объясняющих переменных (68,96176);

• прии тех же степенях свободыостался прежним (7,814725);

• поскольку , то с надежностью0,95в массиве объясняющих переменных существуетобщая мультиколлинеарность.

Т.к. степень мультиколлинеарности возросла, то строить регрессию на преобразованных данных не имеет смысла – результат будет не лучше ранее полученного.

Поэтому делаем вывод, что замена переменной ничего не дала, и переменную исключаем из рассмотрения. Т.е. теперь рассматриваем две объясняющие переменные:(цена товара) и(цена второго товара-заменителя).

Проверяем наличие общеймультиколлинеарности методом Феррара-Глобера (по критерию) между двумя оставшимися объясняющими переменнымии.

Для наглядности копируем исходные данные для Y,ив ячейкиA86:D101(табл.3.11).

Оцениваем существование общеймультиколлинеарности методом Феррара-Глобера (по критерию) между объясняющими переменнымии. Для этого получим треугольную корреляционную матрицу этих объясняющих переменных с помощью инструментаАнализ данных/Корреляция, указав параметры диалогового окна:

Входной интервал$C$87:$D$101

Группированиепо столбцам

Метки в первой строке

Выходной интервал$F$88

В результате в ячейках F88:H90появитсянижний треугольниккорреляционной матрицы.

Таблица 3.11 – Исключение фактора Х2

	A	B	C	D	E	F	G	H
86	Набл-ние	Y	X1	X3
87	1	21,6	25,2	7,9		Достроенная корр.матрица
88	2	25,2	24,3	8,1			X1	X3
89	3	26,0	23,9	9,5		X1	1	-0,96397
90	4	36,4	22,6	10,3		X3	-0,96397	1
91	5	38,5	21,5	13,1		Определитель=		0,070755
92	6	43,6	20,4	15,5		ХИ-факт=		33,10668
93	7	40,1	19,1	17,0		ХИ-табл=		3,841455
94	8	47,8	14,7	17,0
95	9	55,5	14,4	19,6
96	10	59,8	14,0	20,8
97	11	68,0	12,2	20,7
98	12	69,5	11,8	21,6
99	13	73,4	8,9	23,4
100	14	72,2	7,3	23,0
101	15	76,6	5,9	23,9

Заполняем верхний треугольниккорреляционной матрицы, т.е. достраиваем корреляционную матрицу путем копирования значения ячейкиG90в ячейкуH89.

Находим определитель корреляционной матрицы: в ячейку H91вводим формулу=МОПРЕД(G89:H90), результат применения которой равняется0,070755. Определитель существенно возрос. Общая мультиколлинеарность уменьшилась:

• вычисляем критерий по формуле (3.1): в ячейкуH92вводим формулу=-(15-1-(2*2+5)/6)*LN(H91), результат применения которой равен33,10668;

• прии степенях свободы: в ячейкуH93вводим формулу=ХИ2ОБР(0,05;1), результат применения которой равен3,841455.

• поскольку , то с надежностью0,95в массиве объясняющих переменных существуетобщая мультиколлинеарность, но степень её по сравнению с исходным массивом объясняющих переменных существенно ниже.

По данным B87:D101с помощью инструментаАнализ Данных/Регрессиястроим множественную линейную регрессияYна факторы. Таблицы регрессионного анализа представлены в табл.3.12.

Таблица 3.12 – Регрессия Yна факторы Х1 и Х3

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,982854
R-квадрат	0,966002
Нормированный R-квадрат	0,960335
Стандартная ошибка	3,777272
Наблюдения	15
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	4864,731	2432,365	170,4795	1,54E-09
Остаток	12	171,2134	14,26778
Итого	14	5035,944
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	51,9163	20,5685	2,524068	0,026709	7,101384	96,73122
X1	-1,60369	0,587316	-2,73055	0,018248	-2,88335	-0,32404
X3	1,472891	0,661826	2,225496	0,045982	0,030896	2,914886

Проанализируем статистическое качество полученной эконометрической модели.

Коэффициент детерминации 0,966002(значение высокое и не намного уступает ранее полученному значению0,968117, т.е. коэффициент детерминации снизился незначительно), что указывает на очень тесную связь факторов и результата.

Уровень значимости F-статистики1,54E-09, что значительно меньше допустимого уровня значимости 0,05. Поэтому с надежностью 0,95 полученное значение коэффициента детерминации статистически значимо, и, следовательно, модель в целом является статистически достоверной.

Р-значения оценок параметров:

для (Y-пересечение):0,026709< 0,05;

для (коэффициент приX1): 0,018248< 0,05;

для (коэффициент приХ3): 0,045982< 0,05.

Следовательно, с надежностью 0,95 оценки всех параметров являются статистически значимыми.

Вывод: в данном случае мультиколлинеарность не является серьезной проблемой(мультиколлинеарность удалось несколько смягчить).

5.Поскольку оценки всех параметров уравнения регрессии с надежностью 0,95 статистически значимые, построим 95-процентные доверительные интервалы для параметров модели. Они приведены в последней таблице регрессионного анализа (Нижние 95%;Верхние 95%):

7,101384 <(Y-пересечение) <96,73122;

-2,88335 <(параметр приX1) <-0,32404;

0,030896 <(параметр приХ3) <2,914886.

Видно, что 95%-доверительные интервалы для параметров довольно большие, что указывает на недостаточное смягчение мультиколлинеарности (рассмотренные способы смягчения мультиколлинеарности оказались недостаточно эффективными).

6.Получимпрогнозныезначения спроса на товар при наблюдаемых сочетаниях значений учтенных в модели факторови, т.е. определимточечные прогнозы.

Вначале скопируем данные, на которых построена модель, в ячейки A125:E140(табл.3.13). В этот массив добавим переменную, значения которой во всех наблюдениях равныединице. Переменнаясоответствует переменной при свободном члене. Эта переменная потребуется при определении интервального прогноза.

Таблица 3.13 – Прогнозирование

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K
124	Прогнозирование
125	Набл-ние	Y	Х0	X1	X3	Y^(n=15)	ТЕНДЕНЦ	Под корнем	ДельтаY	Ymin	Ymax
126	1	21,6	1	25,2	7,9	23,13906	23,13906	0,254143	4,14894	18,99012	27,28801
127	2	25,2	1	24,3	8,1	24,87697	24,87697	0,285455	4,397106	20,47986	29,27407
128	3	26,0	1	23,9	9,5	27,58049	27,58049	0,185016	3,539998	24,04049	31,12049
129	4	36,4	1	22,6	10,3	30,84361	30,84361	0,173994	3,432929	27,41068	34,27654
130	5	38,5	1	21,5	13,1	36,73176	36,73176	0,125601	2,916717	33,81505	39,64848
131	6	43,6	1	20,4	15,5	42,03077	42,03077	0,235813	3,996517	38,03425	46,02728
132	7	40,1	1	19,1	17,0	46,3249	46,3249	0,27681	4,330011	41,99489	50,65491
133	8	47,8	1	14,7	17,0	53,38116	53,38116	0,117807	2,824769	50,55639	56,20592
134	9	55,5	1	14,4	19,6	57,69178	57,69178	0,111952	2,753684	54,9381	60,44546
135	10	59,8	1	14,0	20,8	60,10073	60,10073	0,19644	3,647648	56,45308	63,74838
136	11	68,0	1	12,2	20,7	62,84009	62,84009	0,100493	2,608954	60,23113	65,44904
137	12	69,5	1	11,8	21,6	64,80717	64,80717	0,127583	2,939648	61,86752	67,74681
138	13	73,4	1	8,9	23,4	72,10908	72,10908	0,164619	3,339163	68,76992	75,44824
139	14	72,2	1	7,3	23,0	74,08583	74,08583	0,28306	4,378623	69,70721	78,46446
140	15	76,6	1	5,9	23,9	77,65661	77,65661	0,361215	4,94631	72,7103	82,60292
141	Сумма					754,2	754,2
142
143	t-табл=	2,178813