Вторая теорема двойственности и свойства двойственных оценок.

Z=CX->max W=yb->min

Ax>=b ¦ y1 A- матрица коэффициентов

x>=0 ¦ y>=0 y1>=c

теорема : Для того что бы допустимое решение Х^* и У^* пары двойственных задач были оптимальными , необходимо и достаточно , что бы для них выполнялись условия «дополнительное не жесткости»

Z=Cx->max W=yb->min

Ax<=b ¦y YA>=C ¦x

x>=0 y>=0

1. Y*(Ax*-b)=0 (тогда оптимальное решение)

2. (У*А-С)Х*=0

необходимость :

Х* У* - оптимальное решение.

Док-ть: 1 и 2

Док-во: т.к. Х* является оптимальным решением , то и я является допустимым решением => Ах*<=b¦y*>=0 Y*Ax*<=y*b; y* в ходит ОДР => Y*A>=C¦x*>=0 y*Ax*>=Cx* =>

Cx*<=Y*Ax*<=y*b, т.к. х* и у* - оптимальное решение , то Сх*=уb* , по первой теореме => Сх*=у*Ах*=у*b. Ч.т.д

(С-у*А)х*=0

2) (у*А-С)х*=0

1) у*(Ах*-b)=0

достаточность

Дано

1) 2)

Док-ть

Х* и У* - оптим. решение.

Док-во: у*Ах*-у*b=0

Y*Ax*=y*b

y*Ax*-Cx=0

yAx*=Cx*

Cx*=T=y*b=> Cx*=y*b

Вывод для практики : Если в оптимальном решении исходной задачи х*j ><0 , то соответствующее ограничение Д.З. превращается в оптимальное решение равенства. Если какое либо из ограничений исходной задачи в оптимальном решении превращается в строгое не равенство , то соответствующая переменная Д.З=0

Свойства двойственных оценок.

В экономике вектор у, называется вектором двойственных оценок или «теневыми ценами». Двойственные оценки сырья и т.д.

Свойства:

1. y*i – является покупателем дефицитности i-го ресурса (i=1,m) Оценка не дефицитного ресурса –0 (y*=0) , если аijxj<bi Чем выше yi (оценка ресурса), тем ресурс дефицитнее.

2. Y*i=dzmax/dbi y*i=lim ▲Zmax/▲bi (bi->0) => y*i≈▲Zmax/▲bi => Zmax=y*i*▲bi

3. Вектор y*i – является показателем необходимости введения в производство j- технологии Х*j(aijy*i-Cj)=0 , еслиaijy*i>Cj, то выгодно (Cj- цена ед. продукции) =>Х*j=0 , то не надо выпускать продукцию Х*j>0 , то затраты совпадают с доходами .

4. Вектор У является показателем сопоставимости затрат на ресурсы (у*1b1+y*2b2..) со стоимостью продукции.

Транспортная задача.

Дадим постановку транспортной задачи в общем виде.

Пусть имеется m- пунктов производства однородного продукта, мощности каждого пункта соответственно = а1 а2 а3 … аь(столбец) , имеется n- пунктов потребления данной продукции. Потребности которых составляют соответственно b1 b2 bn (строка) Известны затраты на перевозки единицы продукции из i-го пункта j- потребителю, которые составляют Сij денежных единиц. Требуется спланировать перевозки таким образом что бы суммарные затраты были минимальными.

Математическая модель. Матрица С – матрица затрат. Обозначим через Xij кол-во единиц продукции от i-ог производителя j-потребителю. =>матрица m*n где последний элемент Xmn/ из условия Xij>=0 3)

Предположим что српос = предложению т.е. сумма всех аi= сумме всех bj

х11+х12+…+х1n =a1

x21+x22+…+x2n =a2 m

2) xm1+xm2+…+xmn = am

x11+ x21 +xm1 = b1

x12+ x22+ xm2 = b2 n

x1n+ x2n+ +xmn=bn

1. Z=C11X11+C12X12+…+CmnXmn->min

Бывают задачи типа закрытого и открытого.

А) предположим что спрос >предложения , т.е. сумма ai< суммы bj . Тогда что бы перейти к закрытой задачи вводят фиктивного производителя мощность которого равно am+1=а в транспортно таблице вводится новая строка m+1 в которой am+1=,а затраты = 0 (Cm+1,j=0)

Б) Если >, т.е. предложение выше чем спрос. Вводят фиктивного потребителя bn+1=-, а в таблице добавляем фиктивный столбец с затратами =0

Очевидно что Т.З. является Л.П., то можно решить симплекс методом., но таблица которая будет состоять к примеру из 100 столбцов – считать не удобно , то используют такие методы как : распределительный метод, метод дифференциальных рент, метод потенциалов.