Стандартная форма.

Z=CX->max

Ax<=b

x>=0 1)

Двойственной задачей к данной З.Л.П. называется задача вида

w=yb->min

YA>=C

Y>=0 2)

Задача 1) и 2) называется пара двойственных задач.

Если по этим правилам построить двойственную задачу к 2) то получим 1) . И в этом смысле задачи называются взаимозаменяемыми или сопряженными.

(y- строка)

(y1,y2..ym) a11

a21

am1

Экономический смысл : Экономически двойственную и прямую задачу можно интерпретировать прямая на max прибыль. , при выпуске х1 х2 х3 , а двойственную min -> расходов на ресурсы.

1. b – сырье ; у1 у2 – оценка ресурсов.

Правило построения двойственных задач к общей з.Л.П.

1. Количество переменных в двойственной задаче равно количеству ограничений в прямой задаче.

2. Количество ограничений двойственной задачи равно числу переменных в прямой задачи.

3. Вектор свободных элементов прямой задачи b является вектором коэффициентов двойственной задачи.

4. Вектор коэффициентов функции цели C=(C1…Cn) прямой задачи служит вектором свободных членов системы ограничений двойственной задачи.

5. Если прямой Z->max то в Д.З. W->min/

6. Каждому ограничению – неравенству ai1x1+a12x2+..+ainxm , i=1,m Соответствует неотрицательная переменная yi>=0 ; i=1,m Д.З.

7. Каждой неотрицательной переменной (xj>=0) j=1,n прямой задачи соответствует ограничения неравенства Д.З. a1jy1+a2jy2+…+amjym>=Cj (j=1,n)

8. Матрица системы ограничений Д.З. служит транспонированная матрица прямой задачи.

9. Каждом ограничению равенству прямой задачи ai1x1+ai2x2+…+ainxn=bi (i=1,m) соответствует свободная переменная yi><0

10. Каждой свободной переменной xj><0 (j=1,n) соответствует ограничение равенства a1j+a2j+…+amjym=Cj

Теорема двойственности.

1. Если прямая и двойственная задача имеют допустимые решения Х и У , то они имеют оптимальное решение Х^* и У^* и причем значение функции в этих точках совпадают. Zmax=Wmin CX^*=Y^*b

Лемма №1

Для любых двух допустимых решений Х и У пары Д.З. справедливо СХ<=Уb

Док-во:

Z=CX->max W=yb->min

Ax<=b YA>=C

x>=0 y>=0

Допустим что X¹ – любое допустимое решение П.З. , а Y¹ – для Д.З.

Тогда Х¹ удовлетворяет системе ограничений , т.е. АХ¹<=b ¦ y¹>=0 Y¹A>=C¦x¹>=0

Первое ограничение умножим на y¹

Y¹Ax¹<=y¹b

Y¹Ax¹>=Cx¹

Cx¹<=T<=y¹b => Cx¹<=y¹b

Лемма № 2

Если для допустимых решений X^* и У ^* , выполняется условие равенства СХ^* =У^*b , то Х^* и У^* являются оптимальными решениями пары двойственных задач.

Док-во : Дана пара Д.З. Х^* и У^* допустимые решения. СХ^*=У^*b , док-ть Х^* и У^* оптим. решение

Предположим что Х- ОДР (любое) , тогда по первой лемме СХ<=У^*b , но У^*b=Cx^* => Cx=Cx^* отсюда следует , что Х^* т. максимума => у^* т. минимума.

На основании графического анализа Д.З. исследовать разрешимость данной задачи в случаи разрешимости – найти экстремальные значение целевой функции.

2. часть теоремы.

Если одна из задач не разрешима из-за не ограниченности функции , то и вторая задача не имеет решения по причине не совместимости систем ограничений.

Док-во :

Согласно первой лемме СХ<=уb , если прямая задача не имеет решения zmax->бесконечности , то, очевидно, что нет такого допустимого решения (у) в котором значение функции было бы больше бесконечности.