- •Математическое программирование
- •Метод Гаусса.
- •Переход от одной формы модели к другой форме модели , различные формы моделей з.Л.П.
- •Переход от стандартной формы к канонической форме.
- •Переход от канонической к стандартной.
- •Переход от задачи max к min и наоборот.
- •Графический метод решения л.П.
- •Геометрическая интерпретация линейного неравенства.
- •Геометрическая интерпретация системы линейны неравенств.
- •Графический метод .
- •Опорный план. Свойства допустимых планов.
- •Свойства допустимых планов.
- •Идея симплекс метода.
- •Алгебра симплекс метода.
- •Альтернативный оптимум.
- •Монотонность и конечность алгоритма симплекс метода.
- •Проблема выражденности.
- •Метод искусственного базиса.
- •Теория двойственности.
- •Стандартная форма.
- •Правило построения двойственных задач к общей з.Л.П.
- •Теорема двойственности.
- •Вторая теорема двойственности и свойства двойственных оценок.
- •Свойства двойственных оценок.
- •Транспортная задача.
- •Особенности т.З.
- •Теорема о ранге матрицы.
- •Этапы решения т.З.
- •Метод нахождения первоначального опорного плана.
- •Переход от одного опорного плана к другому.
- •Проверка плана на оптимальность. Теорема об оптимальности плана или теорема о потенциальности плана.
- •Алгоритм потенциалов.
- •Задачи о назначении.
- •Математическая модель.
- •Алгоритм решения.
- •Задача коммивояжера.
- •Метод ветвей и границ.
- •Ветвлениею
- •Признак оптимальности.
Задачи о назначении.
Пусть имеются m исполнителей которые должны быть назначены на выполнение n работ.
Известна матрица C. С – затраты при назначении i – исполнителя на выполнение j – вида работ C = Cij
Произвести назначение таким образом, чтобы каждый исполнитель выполнял только 1 работу, и каждая работа выполнялась только 1 исполнителем. При этом затраты должны быть минимальными.
Возможные постановки:
Ai – Экономисты. (i = 1,m) Bj – Работа. (j = 1,n) Cij – Затраты.
Ai – Строительные механизмы. Bj –Площади. Cij – производительность.
Математическая модель.
Предположим m=n. Введем целочисленное обозначение пусть Xij 1- i-ый на j—ю , 0 в противном случае. Получим матрицу из элементов 0 и 1. Так как исполнитель может быть назначен на одну работу и одна работа может быть выполнена только одним исполнителем в каждой строке и столбце только одна 1. Система ограничение все = 1 (по строкам и столбцам) Х –(0 ;1) Z=двойная сумма СijXij ->min =>Задача о назначениях является частной Т.З. , где ai и bj=1 причем r=m+n-1=2n-1>n –решение всегда выраждена.
Теоремы на которых основаны решения задачи о Назначениях.
Т. Кенинга Если элементы матрицы С, разделить на два класса , на основании свойства R , то минимальное число линий содержащих все элементы со свойством R = максимальному числу таких элементов со свойством R, не какие два из которых не лежат на одной прямой.
Теорема: Решения задачи о назначениях не изменится если к матрице прибавить или отнять из каждого столбца иил каждой строки одно и тоже число.
С=¦Сij¦
C1=¦Cij-Ui+Vj¦ - док-ть что Х не изменится.
Z1(X)=(Cij-Ui+Vj)Xij=CijXij-UiXij+VjXij=Z(x)-UiXij +VjXij = > Z1(x)=Z(x)- Ui+Vj – очевидно что решение не изменилосьXij=1
Изменилось только значение функции
Если можно найти такую матрицу назначений функции Х, для которой значение функции Z будет равно=0 то Х является оптимальным решением данной задачи. Если Xij>=0; Сij>=0, то произведение их Сij*Xij>=0 сумма их тоже >=0. Очевидно что самое минимальное число 0, Х – будет являться решением задачи. => назначение производится по 0.
Алгоритм решения.
Все действия выполняются с матрицей С
Из каждой строки матрицы вычитается минимальный элемент этой строки
Так же и столбец
Минимальным числом линий вычеркиваем все 0, если число линий = n то произодим назначение.
Если число линий меньше n , то выбираем минимальный элемент из не вычеркнутых и вычитаем его из не вычеркнутых, а перечеркнутым дважды прибавляем.
Задача коммивояжера.
Постановка задачи:
Известно что комиваяжер выезжает из города и должен посетить A1, A2, A3,…, AKгородов и вернутся в город A1. Известно расстояние Cij между городами Ai – Bj причем известно CijCji.
Cij = Cjj = . Спланировать маршрут таким образом, чтобы расстояние L для этого маршрута (I1, I2 , I3,…, Ik) было кротчайшим.
Математическая модель этой задачи:
х11+х12+…+х1k =1
x21+x22+…+x2k =1
xk1+xk2+…+xkk = 1
x11+ +x21 +xk1 = 1
x12+ x22+ xk2 = 1
x1k+ x2k+ +xkk = 1
Z = CijXijmin
Маршрут – это цикл.